Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlcl 41805
Description: A polynomial over the ring 𝑅 evaluates to an element in 𝑅. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlcl.q 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evlcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlcl.i (𝜑𝐼𝑉)
evlcl.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlcl.f (𝜑𝐹𝐵)
evlcl.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlcl (𝜑 → ((𝑄𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem evlcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (𝑅s (𝐾m 𝐼)) = (𝑅s (𝐾m 𝐼))
2 evlcl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2728 . . 3 (Base‘(𝑅s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑅s (𝐾m 𝐼)))
4 evlcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5 ovexd 7455 . . 3 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
6 evlcl.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
7 evlcl.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
8 evlcl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
97, 2, 8, 1evlrhm 22041 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s (𝐾m 𝐼))))
106, 4, 9syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s (𝐾m 𝐼))))
11 evlcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
1211, 3rhmf 20423 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅s (𝐾m 𝐼))))
1310, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅s (𝐾m 𝐼))))
14 evlcl.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
1513, 14ffvelcdmd 7095 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s (𝐾m 𝐼))))
161, 2, 3, 4, 5, 15pwselbas 17470 . 2 (𝜑 → (𝑄𝐹):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
17 evlcl.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
1816, 17ffvelcdmd 7095 1 (𝜑 → ((𝑄𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  m cmap 8844  Basecbs 17179  s cpws 17427  CRingccrg 20173   RingHom crh 20407   mPoly cmpl 21838   eval cevl 22016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-assa 21786  df-asp 21787  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-evls 22017  df-evl 22018
This theorem is referenced by:  evlselv  41820
  Copyright terms: Public domain W3C validator