Theorem evlcl 41673

Description: A polynomial over the ring 𝑅 evaluates to an element in 𝑅. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlcl.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evlcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlcl	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem evlcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
2		evlcl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
4		evlcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		ovexd 7437	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
6		evlcl.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		evlcl.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
8		evlcl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9	7, 2, 8, 1	evlrhm 21990	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	6, 4, 9	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		evlcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12	11, 3	rhmf 20383	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
14		evlcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
15	13, 14	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	pwselbas 17440	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
17		evlcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
18	16, 17	ffvelcdmd 7078	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑_m cmap 8817  Basecbs 17149   ↑_s cpws 17397  CRingccrg 20135   RingHom crh 20367   mPoly cmpl 21789   eval cevl 21965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-srg 20088  df-ring 20136  df-cring 20137  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-assa 21737  df-asp 21738  df-ascl 21739  df-psr 21792  df-mvr 21793  df-mpl 21794  df-evls 21966  df-evl 21967

This theorem is referenced by:  evlselv  41688