Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1fvf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1fvf 33145
Description: The subring evaluation function for a univariate polynomial as a function, with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fn.o 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1fn.p 𝑃 = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆))
evls1fn.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evls1fn.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evls1fn.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
evls1fvf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
evls1fvf.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
evls1fvf (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘„):𝐡⟢𝐡)

Proof of Theorem evls1fvf
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (𝑅 ↑s 𝐡) = (𝑅 ↑s 𝐡)
2 evls1fvf.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2726 . 2 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡))
4 evls1fn.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
52fvexi 6898 . . 3 𝐡 ∈ V
65a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
7 evls1fn.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
8 evls1fn.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑅 β†Ύs 𝑆) = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
10 evls1fn.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆))
118, 2, 1, 9, 10evls1rhm 22191 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐡)))
124, 7, 11syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐡)))
13 evls1fn.u . . . . 5 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1413, 3rhmf 20384 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐡)) β†’ 𝑂:π‘ˆβŸΆ(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))
1512, 14syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂:π‘ˆβŸΆ(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))
16 evls1fvf.q . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ π‘ˆ)
1715, 16ffvelcdmd 7080 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))
181, 2, 3, 4, 6, 17pwselbas 17441 1 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘„):𝐡⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179   ↑s cpws 17398  CRingccrg 20136   RingHom crh 20368  SubRingcsubrg 20466  Poly1cpl1 22046   evalSub1 ces1 22182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-cring 20138  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-assa 21743  df-asp 21744  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-evls 21972  df-psr1 22049  df-ply1 22051  df-evls1 22184
This theorem is referenced by:  irngnminplynz  33290
  Copyright terms: Public domain W3C validator