Theorem evls1fvf 33160

Description: The subring evaluation function for a univariate polynomial as a function, with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1fn.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1fn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1fn.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1fn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1fn.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1fvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1fvf.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
evls1fvf	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑄):𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem evls1fvf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. 2 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
2		evls1fvf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2727	. 2 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
4		evls1fn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	2	fvexi 6905	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
7		evls1fn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		evls1fn.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
9		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
10		evls1fn.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
11	8, 2, 1, 9, 10	evls1rhm 22215	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
12	4, 7, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
13		evls1fn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
14	13, 3	rhmf 20406	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
16		evls1fvf.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
17	15, 16	ffvelcdmd 7089	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑄) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
18	1, 2, 3, 4, 6, 17	pwselbas 17456	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑄):𝐵⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165   ↾_s cress 17194   ↑_s cpws 17413  CRingccrg 20158   RingHom crh 20390  SubRingcsubrg 20488  Poly₁cpl1 22070   evalSub₁ ces1 22206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-srg 20111  df-ring 20159  df-cring 20160  df-rhm 20393  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-assa 21767  df-asp 21768  df-ascl 21769  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-evls 21996  df-psr1 22073  df-ply1 22075  df-evls1 22208

This theorem is referenced by:  irngnminplynz  33305