MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znleval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znleval2 21417
Description: The ordering of the β„€/nβ„€ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znle2.f 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
znle2.w π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
znle2.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
znleval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znleval2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ↔ (β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅)))

Proof of Theorem znleval2
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . 4 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 znle2.f . . . 4 𝐹 = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ) β†Ύ π‘Š)
3 znle2.w . . . 4 π‘Š = if(𝑁 = 0, β„€, (0..^𝑁))
4 znle2.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
5 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Œ)
61, 2, 3, 4, 5znleval 21416 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅))))
763ad2ant1 1130 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅))))
8 3simpc 1147 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋))
98biantrurd 532 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅))))
10 df-3an 1086 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅)))
119, 10bitr4di 289 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅))))
127, 11bitr4d 282 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ↔ (β—‘πΉβ€˜π΄) ≀ (β—‘πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4520   class class class wbr 5138  β—‘ccnv 5665   β†Ύ cres 5668  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11105   ≀ cle 11245  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  ..^cfzo 13623  Basecbs 17142  lecple 17202  β„€RHomczrh 21353  β„€/nβ„€czn 21356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-ec 8700  df-qs 8704  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-dvds 16194  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-0g 17385  df-imas 17452  df-qus 17453  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18985  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-rhm 20363  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-lidl 21056  df-rsp 21057  df-2idl 21096  df-cnfld 21228  df-zring 21301  df-zrh 21357  df-zn 21360
This theorem is referenced by:  zntoslem  21418
  Copyright terms: Public domain W3C validator