MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znleval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znleval2 20367
Description: The ordering of the ℤ/n structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l = (le‘𝑌)
znleval.x 𝑋 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znleval2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))

Proof of Theorem znleval2
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 znle2.f . . . 4 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3 znle2.w . . . 4 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4 znle2.l . . . 4 = (le‘𝑌)
5 znleval.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑌)
61, 2, 3, 4, 5znleval 20366 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
763ad2ant1 1134 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
8 3simpc 1151 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑋𝐵𝑋))
98biantrurd 536 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
10 df-3an 1090 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
119, 10bitr4di 292 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵))))
127, 11bitr4d 285 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  ifcif 4411   class class class wbr 5027  ccnv 5518  cres 5521  cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608  cle 10747  0cn0 11969  cz 12055  ..^cfzo 13117  Basecbs 16579  lecple 16668  ℤRHomczrh 20313  ℤ/nczn 20316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-ec 8315  df-qs 8319  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-dvds 15693  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-0g 16811  df-imas 16877  df-qus 16878  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-nsg 18388  df-eqg 18389  df-ghm 18467  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-rnghom 19582  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-lidl 20058  df-rsp 20059  df-2idl 20117  df-cnfld 20211  df-zring 20283  df-zrh 20317  df-zn 20320
This theorem is referenced by:  zntoslem  20368
  Copyright terms: Public domain W3C validator