Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcnvid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcnvid2 38663
Description: Value of the converse of the map defined by df-mapd 38631. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcnvid2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcnvid2.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvid2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcnvid2.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑀)
Assertion
Ref Expression
mapdcnvid2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem mapdcnvid2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcnvid2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2825 . . . 4 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdcnvid2.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2825 . . . 4 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2825 . . . 4 (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
6 eqid 2825 . . . 4 (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7 eqid 2825 . . . 4 (LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8 eqid 2825 . . . 4 (LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
9 eqid 2825 . . . 4 (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10 eqid 2825 . . . 4 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)} = {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}
11 mapdcnvid2.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapd1o 38654 . . 3 (𝜑𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}))
13 f1of1 6610 . . 3 (𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}) → 𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1→((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}))
14 f1f1orn 6622 . . 3 (𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1→((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}) → 𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→ran 𝑀)
1512, 13, 143syl 18 . 2 (𝜑𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→ran 𝑀)
16 mapdcnvid2.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑀)
17 f1ocnvfv2 7031 . 2 ((𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→ran 𝑀𝑋 ∈ ran 𝑀) → (𝑀‘(𝑀𝑋)) = 𝑋)
1815, 16, 17syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3146  cin 3938  𝒫 cpw 4541  ccnv 5552  ran crn 5554  1-1wf1 6348  1-1-ontowf1o 6350  cfv 6351  LSubSpclss 19626  LFnlclfn 36063  LKerclk 36091  LDualcld 36129  HLchlt 36356  LHypclh 36990  DVecHcdvh 38084  ocHcoch 38353  mapdcmpd 38630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 35959
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-0g 16708  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-proset 17531  df-poset 17549  df-plt 17561  df-lub 17577  df-glb 17578  df-join 17579  df-meet 17580  df-p0 17642  df-p1 17643  df-lat 17649  df-clat 17711  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17948  df-grp 18039  df-minusg 18040  df-sbg 18041  df-subg 18209  df-cntz 18380  df-oppg 18407  df-lsm 18684  df-cmn 18831  df-abl 18832  df-mgp 19163  df-ur 19175  df-ring 19222  df-oppr 19296  df-dvdsr 19314  df-unit 19315  df-invr 19345  df-dvr 19356  df-drng 19427  df-lmod 19559  df-lss 19627  df-lsp 19667  df-lvec 19798  df-lsatoms 35982  df-lshyp 35983  df-lcv 36025  df-lfl 36064  df-lkr 36092  df-ldual 36130  df-oposet 36182  df-ol 36184  df-oml 36185  df-covers 36272  df-ats 36273  df-atl 36304  df-cvlat 36328  df-hlat 36357  df-llines 36504  df-lplanes 36505  df-lvols 36506  df-lines 36507  df-psubsp 36509  df-pmap 36510  df-padd 36802  df-lhyp 36994  df-laut 36995  df-ldil 37110  df-ltrn 37111  df-trl 37165  df-tgrp 37749  df-tendo 37761  df-edring 37763  df-dveca 38009  df-disoa 38035  df-dvech 38085  df-dib 38145  df-dic 38179  df-dih 38235  df-doch 38354  df-djh 38401  df-mapd 38631
This theorem is referenced by:  mapdcnvordN  38664  mapdcv  38666  mapdin  38668  mapdlsm  38670  mapdcnvatN  38672  hdmaprnlem3N  38856  hdmaprnlem9N  38863  hdmaprnlem16N  38868
  Copyright terms: Public domain W3C validator