Theorem eflog 24661

Description: Relationship between the natural logarithm function and the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eflog	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem eflog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflog2 24645	. . . 4 ⊢ log = ◡(exp ↾ ran log)
2	1	fveq1i 6411	. . 3 ⊢ (log‘𝐴) = (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)
3	2	fveq2i 6413	. 2 ⊢ ((exp ↾ ran log)‘(log‘𝐴)) = ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴))
4		logrncl 24652	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
5		fvres 6429	. . 3 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ran log → ((exp ↾ ran log)‘(log‘𝐴)) = (exp‘(log‘𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp ↾ ran log)‘(log‘𝐴)) = (exp‘(log‘𝐴)))
7		eldifsn 4505	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
8		eff1o2 24648	. . . 4 ⊢ (exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0})
9		f1ocnvfv2 6760	. . . 4 ⊢ (((exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
10	8, 9	mpan 682	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
11	7, 10	sylbir 227	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
12	3, 6, 11	3eqtr3a 2856	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2970   ∖ cdif 3765  {csn 4367  ^◡ccnv 5310  ran crn 5312   ↾ cres 5313  –1-1-onto→wf1o 6099  ‘cfv 6100  ℂcc 10221  0cc0 10223  expce 15125  logclog 24639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-pre-sup 10301  ax-addf 10302  ax-mulf 10303

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-iin 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-supp 7532  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-2o 7799  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-pm 8097  df-ixp 8148  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-fsupp 8517  df-fi 8558  df-sup 8589  df-inf 8590  df-oi 8656  df-card 9050  df-cda 9277  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-7 11378  df-8 11379  df-9 11380  df-n0 11578  df-z 11664  df-dec 11781  df-uz 11928  df-q 12031  df-rp 12072  df-xneg 12190  df-xadd 12191  df-xmul 12192  df-ioo 12425  df-ioc 12426  df-ico 12427  df-icc 12428  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-fl 12845  df-mod 12921  df-seq 13053  df-exp 13112  df-fac 13311  df-bc 13340  df-hash 13368  df-shft 14145  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-limsup 14540  df-clim 14557  df-rlim 14558  df-sum 14755  df-ef 15131  df-sin 15133  df-cos 15134  df-pi 15136  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-topgen 16416  df-pt 16417  df-prds 16420  df-xrs 16474  df-qtop 16479  df-imas 16480  df-xps 16482  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-fbas 20062  df-fg 20063  df-cnfld 20066  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-cld 21149  df-ntr 21150  df-cls 21151  df-nei 21228  df-lp 21266  df-perf 21267  df-cn 21357  df-cnp 21358  df-haus 21445  df-tx 21691  df-hmeo 21884  df-fil 21975  df-fm 22067  df-flim 22068  df-flf 22069  df-xms 22450  df-ms 22451  df-tms 22452  df-cncf 23006  df-limc 23968  df-dv 23969  df-log 24641

This theorem is referenced by:  logeq0im1  24662  reeflog  24665  lognegb  24674  explog  24678  relog  24681  eflogeq  24686  logcj  24690  efiarg  24691  logimul  24698  logneg2  24699  logmul2  24700  logdiv2  24701  logcnlem4  24729  cxpeq  24839  logrec  24842  cxplogb  24865  ang180lem1  24888  asinneg  24962  efiasin  24964  efiatan2  24993  2efiatan  24994  atantan  24999  birthdaylem2  25028  gamcvg  25131  gamp1  25133  gamcvg2lem  25134  iprodgam  32135  stirlinglem14  41036