Theorem eflog 26709

Description: Relationship between the natural logarithm function and the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eflog	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem eflog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflog2 26693	. . . 4 ⊢ log = ◡(exp ↾ ran log)
2	1	fveq1i 6885	. . 3 ⊢ (log‘𝐴) = (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)
3	2	fveq2i 6887	. 2 ⊢ ((exp ↾ ran log)‘(log‘𝐴)) = ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴))
4		logrncl 26700	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
5	4	fvresd 6904	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp ↾ ran log)‘(log‘𝐴)) = (exp‘(log‘𝐴)))
6		eldifsn 4758	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
7		eff1o2 26696	. . . 4 ⊢ (exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0})
8		f1ocnvfv2 7278	. . . 4 ⊢ (((exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
9	7, 8	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
10	6, 9	sylbir 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
11	3, 5, 10	3eqtr3a 2828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  {csn 4594  ^◡ccnv 5663  ran crn 5665   ↾ cres 5666  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  ℂcc 11100  0cc0 11102  expce 16117  logclog 26687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13378  df-ioc 13379  df-ico 13380  df-icc 13381  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16123  df-sin 16125  df-cos 16126  df-pi 16128  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17558  df-qtop 17563  df-imas 17564  df-xps 17566  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-mulg 19136  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-psmet 21485  df-xmet 21486  df-met 21487  df-bl 21488  df-mopn 21489  df-fbas 21490  df-fg 21491  df-cnfld 21494  df-top 23022  df-topon 23039  df-topsp 23061  df-bases 23074  df-cld 23147  df-ntr 23148  df-cls 23149  df-nei 23226  df-lp 23264  df-perf 23265  df-cn 23355  df-cnp 23356  df-haus 23443  df-tx 23690  df-hmeo 23883  df-fil 23974  df-fm 24066  df-flim 24067  df-flf 24068  df-xms 24448  df-ms 24449  df-tms 24450  df-cncf 25008  df-limc 25996  df-dv 25997  df-log 26689

This theorem is referenced by:  logeq0im1  26710  reeflog  26713  lognegb  26723  explog  26727  relog  26730  eflogeq  26735  logcj  26739  efiarg  26740  logimul  26747  logneg2  26748  logmul2  26749  logdiv2  26750  logcnlem4  26778  cxpeq  26890  logrec  26896  cxplogb  26919  ang180lem1  26942  asinneg  27019  efiasin  27021  efiatan2  27050  2efiatan  27051  atantan  27056  birthdaylem2  27085  gamcvg  27188  gamp1  27190  gamcvg2lem  27191  iprodgam  36169  log11d  43034  stirlinglem14  46730