Theorem eflog 25332

Description: Relationship between the natural logarithm function and the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eflog	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem eflog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflog2 25316	. . . 4 ⊢ log = ◡(exp ↾ ran log)
2	1	fveq1i 6687	. . 3 ⊢ (log‘𝐴) = (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)
3	2	fveq2i 6689	. 2 ⊢ ((exp ↾ ran log)‘(log‘𝐴)) = ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴))
4		logrncl 25323	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
5	4	fvresd 6706	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp ↾ ran log)‘(log‘𝐴)) = (exp‘(log‘𝐴)))
6		eldifsn 4685	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
7		eff1o2 25319	. . . 4 ⊢ (exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0})
8		f1ocnvfv2 7057	. . . 4 ⊢ (((exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
9	7, 8	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
10	6, 9	sylbir 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
11	3, 5, 10	3eqtr3a 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3850  {csn 4526  ^◡ccnv 5534  ran crn 5536   ↾ cres 5537  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  ℂcc 10625  0cc0 10627  expce 15519  logclog 25310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705  ax-addf 10706  ax-mulf 10707

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-fi 8960  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-ioo 12837  df-ioc 12838  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-mod 13341  df-seq 13473  df-exp 13534  df-fac 13738  df-bc 13767  df-hash 13795  df-shft 14528  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-limsup 14930  df-clim 14947  df-rlim 14948  df-sum 15148  df-ef 15525  df-sin 15527  df-cos 15528  df-pi 15530  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-ip 16698  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-hom 16704  df-cco 16705  df-rest 16811  df-topn 16812  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-topgen 16832  df-pt 16833  df-prds 16836  df-xrs 16890  df-qtop 16895  df-imas 16896  df-xps 16898  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-mulg 18355  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-mopn 20225  df-fbas 20226  df-fg 20227  df-cnfld 20230  df-top 21657  df-topon 21674  df-topsp 21696  df-bases 21709  df-cld 21782  df-ntr 21783  df-cls 21784  df-nei 21861  df-lp 21899  df-perf 21900  df-cn 21990  df-cnp 21991  df-haus 22078  df-tx 22325  df-hmeo 22518  df-fil 22609  df-fm 22701  df-flim 22702  df-flf 22703  df-xms 23085  df-ms 23086  df-tms 23087  df-cncf 23642  df-limc 24630  df-dv 24631  df-log 25312

This theorem is referenced by:  logeq0im1  25333  reeflog  25336  lognegb  25345  explog  25349  relog  25352  eflogeq  25357  logcj  25361  efiarg  25362  logimul  25369  logneg2  25370  logmul2  25371  logdiv2  25372  logcnlem4  25400  cxpeq  25510  logrec  25513  cxplogb  25536  ang180lem1  25559  asinneg  25636  efiasin  25638  efiatan2  25667  2efiatan  25668  atantan  25673  birthdaylem2  25702  gamcvg  25805  gamp1  25807  gamcvg2lem  25808  iprodgam  33293  stirlinglem14  43210