Theorem eflog 26565

Description: Relationship between the natural logarithm function and the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eflog	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem eflog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflog2 26549	. . . 4 ⊢ log = ◡(exp ↾ ran log)
2	1	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (log‘𝐴) = (◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)
3	2	fveq2i 6837	. 2 ⊢ ((exp ↾ ran log)‘(log‘𝐴)) = ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴))
4		logrncl 26556	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
5	4	fvresd 6854	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp ↾ ran log)‘(log‘𝐴)) = (exp‘(log‘𝐴)))
6		eldifsn 4726	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
7		eff1o2 26552	. . . 4 ⊢ (exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0})
8		f1ocnvfv2 7228	. . . 4 ⊢ (((exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
9	7, 8	mpan 696	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
10	6, 9	sylbir 236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp ↾ ran log)‘(◡(exp ↾ ran log)‘𝐴)) = 𝐴)
11	3, 5, 10	3eqtr3a 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3887  {csn 4562  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626   ↾ cres 5627  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  ℂcc 11034  0cc0 11036  expce 16024  logclog 26543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545

This theorem is referenced by:  logeq0im1  26566  reeflog  26569  lognegb  26579  explog  26583  relog  26586  eflogeq  26591  logcj  26595  efiarg  26596  logimul  26603  logneg2  26604  logmul2  26605  logdiv2  26606  logcnlem4  26634  cxpeq  26746  logrec  26752  cxplogb  26775  ang180lem1  26798  asinneg  26875  efiasin  26877  efiatan2  26906  2efiatan  26907  atantan  26912  birthdaylem2  26941  gamcvg  27044  gamp1  27046  gamcvg2lem  27047  iprodgam  35971  log11d  42824  stirlinglem14  46531