MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmatsubgpmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmatsubgpmat 22092
Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring 𝑅 is an additive subgroup of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅. (Contributed by AV, 15-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmatsrngpmat.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cpmatsubgpmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))

Proof of Theorem cpmatsubgpmat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2 cpmatsrngpmat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 cpmatsrngpmat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
51, 2, 3, 4cpmat 22081 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐶) ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑘 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘𝑘) = (0g𝑅)})
6 ssrab2 4041 . . 3 {𝑚 ∈ (Base‘𝐶) ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑘 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘𝑘) = (0g𝑅)} ⊆ (Base‘𝐶)
75, 6eqsstrdi 4002 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
81, 2, 31elcpmat 22087 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)
98ne0d 4299 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
101, 2, 3cpmatacl 22088 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
111, 2, 3cpmatinvcl 22089 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆 ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)
12 r19.26 3111 . . 3 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆))
1310, 11, 12sylanbrc 584 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆))
142, 3pmatring 22064 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
15 ringgrp 19977 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
16 eqid 2733 . . . 4 (+g𝐶) = (+g𝐶)
17 eqid 2733 . . . 4 (invg𝐶) = (invg𝐶)
184, 16, 17issubg2 18951 . . 3 (𝐶 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
1914, 15, 183syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
207, 9, 13, 19mpbir3and 1343 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  {crab 3406  wss 3914  c0 4286  cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  cn 12161  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  SubGrpcsubg 18930  1rcur 19921  Ringcrg 19972  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572   Mat cmat 21777   ConstPolyMat ccpmat 22075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-srg 19926  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-coe1 21577  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-cpmat 22078
This theorem is referenced by:  cpmatsrgpmat  22093  0elcpmat  22094  m2cpmghm  22116  chfacfisfcpmat  22227
  Copyright terms: Public domain W3C validator