MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmatsubgpmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmatsubgpmat 22741
Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring 𝑅 is an additive subgroup of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅. (Contributed by AV, 15-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmatsrngpmat.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cpmatsubgpmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))

Proof of Theorem cpmatsubgpmat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2 cpmatsrngpmat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 cpmatsrngpmat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4 eqid 2734 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
51, 2, 3, 4cpmat 22730 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐶) ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑘 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘𝑘) = (0g𝑅)})
6 ssrab2 4089 . . 3 {𝑚 ∈ (Base‘𝐶) ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑘 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖𝑚𝑗))‘𝑘) = (0g𝑅)} ⊆ (Base‘𝐶)
75, 6eqsstrdi 4049 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
81, 2, 31elcpmat 22736 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)
98ne0d 4347 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
101, 2, 3cpmatacl 22737 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
111, 2, 3cpmatinvcl 22738 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆 ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆)
12 r19.26 3108 . . 3 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆))
1310, 11, 12sylanbrc 583 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆))
142, 3pmatring 22713 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
15 ringgrp 20255 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
16 eqid 2734 . . . 4 (+g𝐶) = (+g𝐶)
17 eqid 2734 . . . 4 (invg𝐶) = (invg𝐶)
184, 16, 17issubg2 19171 . . 3 (𝐶 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
1914, 15, 183syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐶)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
207, 9, 13, 19mpbir3and 1341 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  {crab 3432  wss 3962  c0 4338  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cn 12263  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  SubGrpcsubg 19150  1rcur 20198  Ringcrg 20250  Poly1cpl1 22193  coe1cco1 22194   Mat cmat 22426   ConstPolyMat ccpmat 22724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-mamu 22410  df-mat 22427  df-cpmat 22727
This theorem is referenced by:  cpmatsrgpmat  22742  0elcpmat  22743  m2cpmghm  22765  chfacfisfcpmat  22876
  Copyright terms: Public domain W3C validator