Theorem cpmadugsumfi 22699

Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as finite sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadugsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadugsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadugsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadugsum.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadugsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadugsum.g	⊢ + = (+g‘𝑌)
cpmadugsum.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadugsum.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadugsum.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmadugsumfi	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ↑ ,𝑖   − ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑠   𝐵,𝑏,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑖   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑠   𝑋,𝑏,𝑠   𝑌,𝑏,𝑠   ↑ ,𝑠,𝑏   · ,𝑏,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   − (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsumfi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7420	. . 3 ⊢ ((𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))
2		cpmadugsum.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)))
4	3	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
6		cpmadugsum.r	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑌)
7		cpmadugsum.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8		crngring 20146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	anim2i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
10	9	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
11	10	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
12		cpmadugsum.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
13		cpmadugsum.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
14	12, 13	pmatring 22514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
15	11, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑌 ∈ Ring)
16	12, 13	pmatlmod 22515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
17	8, 16	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
18	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
19		cpmadugsum.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
20		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
21	19, 12, 20	vr1cl 22060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
23	12	ply1crng 22041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
24	13	matsca2 22242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
25	23, 24	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
26	25	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
27	22, 26	eleqtrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
28	8, 14	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
29		cpmadugsum.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
30	5, 29	ringidcl 20161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
32		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
33		cpmadugsum.m	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
34		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
35	5, 32, 33, 34	lmodvscl 20720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
36	17, 27, 31, 35	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
37	36	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
38	37	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
39		cpmadugsum.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40		cpmadugsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
41		cpmadugsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
42	39, 40, 41, 12, 13	mat2pmatbas 22548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
43	8, 42	syl3an2 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
44	43	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
45		ringcmn 20177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
46	28, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ CMnd)
47	46	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
48	47	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑌 ∈ CMnd)
49		fzfid 13945	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (0...𝑠) ∈ Fin)
50	10	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
51		elmapi 8849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
52		ffvelcdm 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
55	54	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
56	55	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
57		elfznn0 13601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0)
58	57	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59		cpmadugsum.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
60	40, 41, 39, 12, 13, 5, 33, 59, 19	mat2pmatscmxcl 22562	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
61	50, 56, 58, 60	syl12anc 834	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
62	61	ralrimiva 3145	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (0...𝑠)((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
63	5, 48, 49, 62	gsummptcl 19883	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑌))
64	5, 6, 7, 15, 38, 44, 63	ringsubdir 20203	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
65		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 ↑ 𝑋) = (𝑖 ↑ 𝑋))
66		2fveq3 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑏‘𝑛)) = (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))
67	65, 66	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) = ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))
68	67	cbvmptv 5261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))
69	68	oveq2i 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))
70	69	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
71	69	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
72	70, 71	oveq12i 7424	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))
73		cpmadugsum.g	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑌)
74	40, 41, 12, 13, 39, 19, 59, 33, 6, 29, 73, 7	cpmadugsumlemF 22698	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
75	74	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
76	72, 75	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
77	4, 64, 76	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
78	1, 77	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
79		cpmadugsum.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
80	13, 79, 5	maduf 22463	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
81	23, 80	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
82	81	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
83	40, 41, 12, 13, 19, 39, 7, 33, 29, 2	chmatcl 22650	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
84	8, 83	syl3an2 1163	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
85	82, 84	ffvelcdmd 7087	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘𝐼) ∈ (Base‘𝑌))
86	12, 13, 5, 33, 59, 19, 39, 40, 41	pmatcollpw3fi1 22610	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐽‘𝐼) ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))
87	85, 86	syld3an3 1408	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))
88	78, 87	reximddv2 3211	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   − cmin 11451  ℕcn 12219  ℕ₀cn0 12479  ...cfz 13491  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208   Σ_g cgsu 17393  -_gcsg 18863  ._gcmg 18993  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20035  1_rcur 20082  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  LModclmod 20702  var₁cv1 22019  Poly₁cpl1 22020   Mat cmat 22227   maAdju cmadu 22454   matToPolyMat cmat2pmat 22526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-cur 8258  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14806  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-srg 20088  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-cnfld 21234  df-zring 21307  df-zrh 21363  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-assa 21718  df-ascl 21720  df-psr 21772  df-mvr 21773  df-mpl 21774  df-opsr 21776  df-psr1 22023  df-vr1 22024  df-ply1 22025  df-coe1 22026  df-mamu 22206  df-mat 22228  df-mdet 22407  df-madu 22456  df-mat2pmat 22529  df-decpmat 22585

This theorem is referenced by:  cpmadugsum  22700