Theorem cpmadugsumfi 21482

Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as finite sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadugsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadugsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadugsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadugsum.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadugsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadugsum.g	⊢ + = (+g‘𝑌)
cpmadugsum.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadugsum.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadugsum.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmadugsumfi	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ↑ ,𝑖   − ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑠   𝐵,𝑏,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑖   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑠   𝑋,𝑏,𝑠   𝑌,𝑏,𝑠   ↑ ,𝑠,𝑏   · ,𝑏,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   − (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsumfi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7143	. . 3 ⊢ ((𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))
2		cpmadugsum.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)))
4	3	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))
5		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
6		cpmadugsum.r	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑌)
7		cpmadugsum.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8		crngring 19302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	anim2i 619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
10	9	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
11	10	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
12		cpmadugsum.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
13		cpmadugsum.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
14	12, 13	pmatring 21297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
15	11, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑌 ∈ Ring)
16	12, 13	pmatlmod 21298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
17	8, 16	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
18	8	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
19		cpmadugsum.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
20		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
21	19, 12, 20	vr1cl 20846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
23	12	ply1crng 20827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
24	13	matsca2 21025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
25	23, 24	sylan2 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
26	25	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
27	22, 26	eleqtrd 2892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
28	8, 14	sylan2 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
29		cpmadugsum.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
30	5, 29	ringidcl 19314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
32		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
33		cpmadugsum.m	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
34		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
35	5, 32, 33, 34	lmodvscl 19644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
36	17, 27, 31, 35	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
37	36	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
38	37	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
39		cpmadugsum.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40		cpmadugsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
41		cpmadugsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
42	39, 40, 41, 12, 13	mat2pmatbas 21331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
43	8, 42	syl3an2 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
44	43	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
45		ringcmn 19327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
46	28, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ CMnd)
47	46	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
48	47	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑌 ∈ CMnd)
49		fzfid 13336	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (0...𝑠) ∈ Fin)
50	10	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
51		elmapi 8411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
52		ffvelrn 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
53	52	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
55	54	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
56	55	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
57		elfznn0 12995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0)
58	57	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59		cpmadugsum.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
60	40, 41, 39, 12, 13, 5, 33, 59, 19	mat2pmatscmxcl 21345	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
61	50, 56, 58, 60	syl12anc 835	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
62	61	ralrimiva 3149	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (0...𝑠)((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
63	5, 48, 49, 62	gsummptcl 19080	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑌))
64	5, 6, 7, 15, 38, 44, 63	rngsubdir 19346	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
65		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 ↑ 𝑋) = (𝑖 ↑ 𝑋))
66		2fveq3 6650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑏‘𝑛)) = (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))
67	65, 66	oveq12d 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) = ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))
68	67	cbvmptv 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))
69	68	oveq2i 7146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))
70	69	oveq2i 7146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
71	69	oveq2i 7146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
72	70, 71	oveq12i 7147	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))
73		cpmadugsum.g	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑌)
74	40, 41, 12, 13, 39, 19, 59, 33, 6, 29, 73, 7	cpmadugsumlemF 21481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
75	74	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
76	72, 75	syl5eq 2845	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
77	4, 64, 76	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
78	1, 77	sylan9eqr 2855	. 2 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
79		cpmadugsum.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
80	13, 79, 5	maduf 21246	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
81	23, 80	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
82	81	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
83	40, 41, 12, 13, 19, 39, 7, 33, 29, 2	chmatcl 21433	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
84	8, 83	syl3an2 1161	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
85	82, 84	ffvelrnd 6829	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘𝐼) ∈ (Base‘𝑌))
86	12, 13, 5, 33, 59, 19, 39, 40, 41	pmatcollpw3fi1 21393	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐽‘𝐼) ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))
87	85, 86	syld3an3 1406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))
88	78, 87	reximddv2 3237	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ...cfz 12885  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561   Σ_g cgsu 16706  -_gcsg 18097  ._gcmg 18216  CMndccmn 18898  mulGrpcmgp 19232  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  LModclmod 19627  var₁cv1 20805  Poly₁cpl1 20806   Mat cmat 21012   maAdju cmadu 21237   matToPolyMat cmat2pmat 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-cur 7916  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-reverse 14112  df-s2 14201  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-efmnd 18026  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-symg 18488  df-pmtr 18562  df-psgn 18611  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-srg 19249  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-assa 20542  df-ascl 20544  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-coe1 20812  df-mamu 20991  df-mat 21013  df-mdet 21190  df-madu 21239  df-mat2pmat 21312  df-decpmat 21368

This theorem is referenced by:  cpmadugsum  21483