MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsumfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsumfi 21484
Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as finite sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmadugsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmadugsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmadugsum.r × = (.r𝑌)
cpmadugsum.1 1 = (1r𝑌)
cpmadugsum.g + = (+g𝑌)
cpmadugsum.s = (-g𝑌)
cpmadugsum.i 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
cpmadugsum.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumfi ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ,𝑖   ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑠   𝐵,𝑏,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑖   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑠   𝑋,𝑏,𝑠   𝑌,𝑏,𝑠   ,𝑠,𝑏   · ,𝑏,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsumfi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7163 . . 3 ((𝐽𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))))) → (𝐼 × (𝐽𝐼)) = (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))))
2 cpmadugsum.i . . . . . 6 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
32a1i 11 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)))
43oveq1d 7170 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) = (((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))))
5 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
6 cpmadugsum.r . . . . 5 × = (.r𝑌)
7 cpmadugsum.s . . . . 5 = (-g𝑌)
8 crngring 19307 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
98anim2i 618 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1093adant3 1128 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1110ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
12 cpmadugsum.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
13 cpmadugsum.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
1412, 13pmatring 21300 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
1511, 14syl 17 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝑌 ∈ Ring)
1612, 13pmatlmod 21301 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
178, 16sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
188adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
19 cpmadugsum.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (var1𝑅)
20 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2119, 12, 20vr1cl 20384 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
2218, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
2312ply1crng 20365 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
2413matsca2 21028 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
2523, 24sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
2625fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
2722, 26eleqtrd 2915 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
288, 14sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
29 cpmadugsum.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑌)
305, 29ringidcl 19317 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
3128, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
32 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
33 cpmadugsum.m . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑌)
34 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
355, 32, 33, 34lmodvscl 19650 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
3617, 27, 31, 35syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
37363adant3 1128 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
3837ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
39 cpmadugsum.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40 cpmadugsum.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
41 cpmadugsum.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
4239, 40, 41, 12, 13mat2pmatbas 21333 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
438, 42syl3an2 1160 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
4443ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
45 ringcmn 19330 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
4628, 45syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ CMnd)
47463adant3 1128 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
4847ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝑌 ∈ CMnd)
49 fzfid 13340 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (0...𝑠) ∈ Fin)
5010ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
51 elmapi 8427 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
52 ffvelrn 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)
5352ex 415 . . . . . . . . . . 11 (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
5451, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)) → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
5554adantl 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵))
5655imp 409 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏𝑛) ∈ 𝐵)
57 elfznn0 12999 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5857adantl 484 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59 cpmadugsum.e . . . . . . . . 9 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6040, 41, 39, 12, 13, 5, 33, 59, 19mat2pmatscmxcl 21347 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏𝑛) ∈ 𝐵𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
6150, 56, 58, 60syl12anc 834 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
6261ralrimiva 3182 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (0...𝑠)((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
635, 48, 49, 62gsummptcl 19086 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))))) ∈ (Base‘𝑌))
645, 6, 7, 15, 38, 44, 63rngsubdir 19349 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) = (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
65 oveq1 7162 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 𝑋) = (𝑖 𝑋))
66 2fveq3 6674 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑏𝑛)) = (𝑇‘(𝑏𝑖)))
6765, 66oveq12d 7173 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))) = ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))
6867cbvmptv 5168 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))
6968oveq2i 7166 . . . . . . 7 (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))
7069oveq2i 7166 . . . . . 6 ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) = ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
7169oveq2i 7166 . . . . . 6 ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) = ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))
7270, 71oveq12i 7167 . . . . 5 (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))))))) = (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))))
73 cpmadugsum.g . . . . . . 7 + = (+g𝑌)
7440, 41, 12, 13, 39, 19, 59, 33, 6, 29, 73, 7cpmadugsumlemF 21483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
7574anassrs 470 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
7672, 75syl5eq 2868 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) ((𝑇𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
774, 64, 763eqtrd 2860 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
781, 77sylan9eqr 2878 . 2 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ (𝐽𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) → (𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
79 cpmadugsum.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
8013, 79, 5maduf 21249 . . . . . 6 (𝑃 ∈ CRing → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
8123, 80syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
82813ad2ant2 1130 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
8340, 41, 12, 13, 19, 39, 7, 33, 29, 2chmatcl 21435 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
848, 83syl3an2 1160 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
8582, 84ffvelrnd 6851 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽𝐼) ∈ (Base‘𝑌))
8612, 13, 5, 33, 59, 19, 39, 40, 41pmatcollpw3fi1 21395 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐽𝐼) ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐽𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))))))
8785, 86syld3an3 1405 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐽𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑛))))))
8878, 87reximddv2 3278 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wrex 3139  cmpt 5145  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  m cmap 8405  Fincfn 8508  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539  cmin 10869  cn 11637  0cn0 11896  ...cfz 12891  Basecbs 16482  +gcplusg 16564  .rcmulr 16565  Scalarcsca 16567   ·𝑠 cvsca 16568   Σg cgsu 16713  -gcsg 18104  .gcmg 18223  CMndccmn 18905  mulGrpcmgp 19238  1rcur 19250  Ringcrg 19296  CRingccrg 19297  LModclmod 19633  var1cv1 20343  Poly1cpl1 20344   Mat cmat 21015   maAdju cmadu 21240   matToPolyMat cmat2pmat 21311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1501  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-tpos 7891  df-cur 7932  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13914  df-concat 13922  df-s1 13949  df-substr 14002  df-pfx 14032  df-splice 14111  df-reverse 14120  df-s2 14209  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-efmnd 18033  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-gim 18398  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-symg 18495  df-pmtr 18569  df-psgn 18618  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-srg 19255  df-ring 19298  df-cring 19299  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19503  df-subrg 19532  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-assa 20084  df-ascl 20086  df-psr 20135  df-mvr 20136  df-mpl 20137  df-opsr 20139  df-psr1 20347  df-vr1 20348  df-ply1 20349  df-coe1 20350  df-cnfld 20545  df-zring 20617  df-zrh 20650  df-dsmm 20875  df-frlm 20890  df-mamu 20994  df-mat 21016  df-mdet 21193  df-madu 21242  df-mat2pmat 21314  df-decpmat 21370
This theorem is referenced by:  cpmadugsum  21485
  Copyright terms: Public domain W3C validator