Theorem cpmadugsumfi 22815

Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as finite sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadugsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadugsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadugsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadugsum.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadugsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadugsum.g	⊢ + = (+g‘𝑌)
cpmadugsum.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadugsum.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadugsum.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmadugsumfi	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ↑ ,𝑖   − ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑠   𝐵,𝑏,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑖   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑠   𝑋,𝑏,𝑠   𝑌,𝑏,𝑠   ↑ ,𝑠,𝑏   · ,𝑏,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   − (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsumfi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7413	. . 3 ⊢ ((𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))
2		cpmadugsum.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)))
4	3	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
6		cpmadugsum.r	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑌)
7		cpmadugsum.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8		crngring 20205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
10	9	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
11	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
12		cpmadugsum.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
13		cpmadugsum.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
14	12, 13	pmatring 22630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
15	11, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑌 ∈ Ring)
16	12, 13	pmatlmod 22631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
17	8, 16	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
18	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
19		cpmadugsum.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
20		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
21	19, 12, 20	vr1cl 22153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
23	12	ply1crng 22134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
24	13	matsca2 22358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
25	23, 24	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
26	25	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
27	22, 26	eleqtrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
28	8, 14	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
29		cpmadugsum.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
30	5, 29	ringidcl 20225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑌))
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 1 ∈ (Base‘𝑌))
32		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
33		cpmadugsum.m	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
34		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
35	5, 32, 33, 34	lmodvscl 20835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
36	17, 27, 31, 35	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
37	36	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
38	37	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑌))
39		cpmadugsum.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40		cpmadugsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
41		cpmadugsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
42	39, 40, 41, 12, 13	mat2pmatbas 22664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
43	8, 42	syl3an2 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
44	43	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
45		ringcmn 20242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
46	28, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ CMnd)
47	46	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑌 ∈ CMnd)
49		fzfid 13991	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (0...𝑠) ∈ Fin)
50	10	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
51		elmapi 8863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) → 𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵)
52		ffvelcdm 7071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏:(0...𝑠)⟶𝐵 → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)) → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
55	54	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ (0...𝑠) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
56	55	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
57		elfznn0 13637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0)
58	57	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59		cpmadugsum.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
60	40, 41, 39, 12, 13, 5, 33, 59, 19	mat2pmatscmxcl 22678	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
61	50, 56, 58, 60	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
62	61	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (0...𝑠)((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) ∈ (Base‘𝑌))
63	5, 48, 49, 62	gsummptcl 19948	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑌))
64	5, 6, 7, 15, 38, 44, 63	ringsubdir 20268	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
65		oveq1 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 ↑ 𝑋) = (𝑖 ↑ 𝑋))
66		2fveq3 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑏‘𝑛)) = (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))
67	65, 66	oveq12d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) = ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))
68	67	cbvmptv 5225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))
69	68	oveq2i 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))
70	69	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = ((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
71	69	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))
72	70, 71	oveq12i 7417	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))))
73		cpmadugsum.g	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑌)
74	40, 41, 12, 13, 39, 19, 59, 33, 6, 29, 73, 7	cpmadugsumlemF 22814	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
75	74	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
76	72, 75	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((𝑋 · 1 ) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
77	4, 64, 76	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼 × (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
78	1, 77	sylan9eqr 2792	. 2 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
79		cpmadugsum.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
80	13, 79, 5	maduf 22579	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
81	23, 80	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
82	81	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐽:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
83	40, 41, 12, 13, 19, 39, 7, 33, 29, 2	chmatcl 22766	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
84	8, 83	syl3an2 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
85	82, 84	ffvelcdmd 7075	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐽‘𝐼) ∈ (Base‘𝑌))
86	12, 13, 5, 33, 59, 19, 39, 40, 41	pmatcollpw3fi1 22726	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐽‘𝐼) ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))
87	85, 86	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐽‘𝐼) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))
88	78, 87	reximddv2 3200	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ...cfz 13524  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275   Σ_g cgsu 17454  -_gcsg 18918  ._gcmg 19050  CMndccmn 19761  mulGrpcmgp 20100  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194  LModclmod 20817  var₁cv1 22111  Poly₁cpl1 22112   Mat cmat 22345   maAdju cmadu 22570   matToPolyMat cmat2pmat 22642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-cur 8266  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581  df-concat 14589  df-s1 14614  df-substr 14659  df-pfx 14689  df-splice 14768  df-reverse 14777  df-s2 14867  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-efmnd 18847  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-gim 19242  df-cntz 19300  df-oppg 19329  df-symg 19351  df-pmtr 19423  df-psgn 19472  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zrh 21464  df-dsmm 21692  df-frlm 21707  df-assa 21813  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22115  df-vr1 22116  df-ply1 22117  df-coe1 22118  df-mamu 22329  df-mat 22346  df-mdet 22523  df-madu 22572  df-mat2pmat 22645  df-decpmat 22701

This theorem is referenced by:  cpmadugsum  22816