Theorem chpdmatlem0 21447

Description: Lemma 0 for chpdmat 21451. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem0	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))

Proof of Theorem chpdmatlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		chpdmatlem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatlmod 21304	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
4		chpdmat.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6	4, 1, 5	vr1cl 20387	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
8	1	ply1ring 20418	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9	2	matsca2 21031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝑃 = (Scalar‘𝑄))
10	8, 9	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 = (Scalar‘𝑄))
11	10	eqcomd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑄) = 𝑃)
12	11	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘𝑃))
13	7, 12	eleqtrrd 2918	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
14	1, 2	pmatring 21303	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
15		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16		chpdmatlem.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
17	15, 16	ringidcl 19320	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
19		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
20		chpdmatlem.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
21		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
22	15, 19, 20, 21	lmodvscl 19653	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
23	3, 13, 18, 22	syl3anc 1367	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715  -_gcsg 18107  mulGrpcmgp 19241  1_rcur 19253  Ringcrg 19299  LModclmod 19636  algSccascl 20086  var₁cv1 20346  Poly₁cpl1 20347   Mat cmat 21018   CharPlyMat cchpmat 21436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-ot 4578  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-psr 20138  df-mvr 20139  df-mpl 20140  df-opsr 20142  df-psr1 20350  df-vr1 20351  df-ply1 20352  df-dsmm 20878  df-frlm 20893  df-mamu 20997  df-mat 21019

This theorem is referenced by:  chpdmatlem1  21448  chpdmatlem2  21449  chpdmatlem3  21450