Theorem mbfmullem 25935

Description: Lemma for mbfmul 25936. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbfmul.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3	1, 2	mbfi1flim 25933	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
4		mbfmul.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
5		mbfmul.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
6	4, 5	mbfi1flim 25933	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))
7		exdistrv 1988	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))))
8	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
10	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
12		simprll 791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
13		simprlr 792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
14		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑓‘𝑛)‘𝑥))
15	14	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)))
16		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
17	16	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
18	17	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
19	15, 18	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)))
20		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
21	19, 20	breq12d 5124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
22	21	rspccva 3582	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
23	13, 22	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
24		simprrl 793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
25		simprrr 794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
26		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑔‘𝑛)‘𝑥))
27	26	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)))
28		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑔‘𝑛) = (𝑔‘𝑚))
29	28	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
30	29	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
31	27, 30	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)))
32		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
33	31, 32	breq12d 5124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))
34	33	rspccva 3582	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
35	25, 34	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35	mbfmullem2 25934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)
37	36	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
38	37	exlimdvv 1967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
39	7, 38	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
40	3, 6, 39	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  ℝcr 11114   · cmul 11120  ℕcn 12248   ⇝ cli 15559  MblFncmbf 25824  ∫₁citg1 25825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-rest 17497  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-top 23101  df-topon 23118  df-bases 23153  df-cmp 23594  df-ovol 25674  df-vol 25675  df-mbf 25829  df-itg1 25830  df-0p 25880

This theorem is used by:  mbfmul  25936