MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfmullem 25673
Description: Lemma for mbfmul 25674. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfmullem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfmul.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
31, 2mbfi1flim 25671 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)))
4 mbfmul.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
5 mbfmul.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
64, 5mbfi1flim 25671 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))
7 exdistrv 1951 . . 3 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘”((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))))
81adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
94adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
102adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
115adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
12 simprll 777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆdom ∫1)
13 simprlr 778 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
14 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
1514mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
16 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘š))
1716fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
1817cbvmptv 5256 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
1915, 18eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
20 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
2119, 20breq12d 5156 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
2221rspccva 3600 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
2313, 22sylan 578 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
24 simprrl 779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑔:β„•βŸΆdom ∫1)
25 simprrr 780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))
26 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
2726mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
28 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘”β€˜π‘›) = (π‘”β€˜π‘š))
2928fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
3029cbvmptv 5256 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
3127, 30eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯))
3331, 32breq12d 5156 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦) ↔ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯)))
3433rspccva 3600 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
3525, 34sylan 578 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 25672 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
3736ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
3837exlimdvv 1929 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘”((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
397, 38biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
403, 6, 39mp2and 697 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  β„cr 11137   Β· cmul 11143  β„•cn 12242   ⇝ cli 15460  MblFncmbf 25561  βˆ«1citg1 25562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cmp 23309  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-0p 25617
This theorem is referenced by:  mbfmul  25674
  Copyright terms: Public domain W3C validator