Theorem mbfmullem 24019

Description: Lemma for mbfmul 24020. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbfmul.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3	1, 2	mbfi1flim 24017	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
4		mbfmul.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
5		mbfmul.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
6	4, 5	mbfi1flim 24017	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))
7		exdistrv 1914	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))))
8	1	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9	4	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
10	2	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11	5	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
12		simprll 766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
13		simprlr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
14		fveq2 6493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑓‘𝑛)‘𝑥))
15	14	mpteq2dv 5017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)))
16		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
17	16	fveq1d 6495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
18	17	cbvmptv 5022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
19	15, 18	syl6eq 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)))
20		fveq2 6493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
21	19, 20	breq12d 4936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
22	21	rspccva 3528	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
23	13, 22	sylan 572	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
24		simprrl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
25		simprrr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
26		fveq2 6493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑔‘𝑛)‘𝑥))
27	26	mpteq2dv 5017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)))
28		fveq2 6493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑔‘𝑛) = (𝑔‘𝑚))
29	28	fveq1d 6495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
30	29	cbvmptv 5022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
31	27, 30	syl6eq 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)))
32		fveq2 6493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
33	31, 32	breq12d 4936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))
34	33	rspccva 3528	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
35	25, 34	sylan 572	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35	mbfmullem2 24018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
37	36	ex 405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn))
38	37	exlimdvv 1893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn))
39	7, 38	syl5bir 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn))
40	3, 6, 39	mp2and 686	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387  ∃wex 1742   ∈ wcel 2048  ∀wral 3082   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  dom cdm 5400  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970   ∘_𝑓 cof 7219  ℝcr 10326   · cmul 10332  ℕcn 11431   ⇝ cli 14692  MblFncmbf 23908  ∫₁citg1 23909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cc 9647  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-ofr 7222  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-dju 9116  df-card 9154  df-acn 9157  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-rest 16542  df-topgen 16563  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-top 21196  df-topon 21213  df-bases 21248  df-cmp 21689  df-ovol 23758  df-vol 23759  df-mbf 23913  df-itg1 23914  df-0p 23964

This theorem is referenced by:  mbfmul  24020