MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfmullem 25610
Description: Lemma for mbfmul 25611. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfmullem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfmul.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
31, 2mbfi1flim 25608 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)))
4 mbfmul.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
5 mbfmul.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
64, 5mbfi1flim 25608 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))
7 exdistrv 1951 . . 3 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘”((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))))
81adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
94adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
102adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
115adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
12 simprll 776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆdom ∫1)
13 simprlr 777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
14 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
1514mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
16 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘š))
1716fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
1817cbvmptv 5254 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
1915, 18eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
20 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
2119, 20breq12d 5154 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
2221rspccva 3605 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
2313, 22sylan 579 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
24 simprrl 778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑔:β„•βŸΆdom ∫1)
25 simprrr 779 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))
26 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
2726mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
28 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘”β€˜π‘›) = (π‘”β€˜π‘š))
2928fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
3029cbvmptv 5254 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
3127, 30eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
32 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯))
3331, 32breq12d 5154 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦) ↔ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯)))
3433rspccva 3605 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
3525, 34sylan 579 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 25609 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
3736ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
3837exlimdvv 1929 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘”((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
397, 38biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
403, 6, 39mp2and 696 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„cr 11111   Β· cmul 11117  β„•cn 12216   ⇝ cli 15434  MblFncmbf 25498  βˆ«1citg1 25499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-0p 25554
This theorem is referenced by:  mbfmul  25611
  Copyright terms: Public domain W3C validator