Theorem mbfmullem 25694

Description: Lemma for mbfmul 25695. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbfmul.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3	1, 2	mbfi1flim 25692	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
4		mbfmul.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
5		mbfmul.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
6	4, 5	mbfi1flim 25692	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))
7		exdistrv 1957	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))))
8	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
10	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
12		simprll 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
13		simprlr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
14		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑓‘𝑛)‘𝑥))
15	14	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)))
16		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
17	16	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
18	17	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
19	15, 18	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)))
20		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
21	19, 20	breq12d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
22	21	rspccva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
23	13, 22	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
24		simprrl 781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
25		simprrr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
26		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑔‘𝑛)‘𝑥))
27	26	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)))
28		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑔‘𝑛) = (𝑔‘𝑚))
29	28	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
30	29	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
31	27, 30	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)))
32		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
33	31, 32	breq12d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))
34	33	rspccva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
35	25, 34	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35	mbfmullem2 25693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
38	37	exlimdvv 1936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
39	7, 38	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
40	3, 6, 39	mp2and 700	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  ℝcr 11037   · cmul 11043  ℕcn 12157   ⇝ cli 15419  MblFncmbf 25583  ∫₁citg1 25584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cmp 23343  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589  df-0p 25639

This theorem is referenced by:  mbfmul  25695