Theorem mbfmullem 25626

Description: Lemma for mbfmul 25627. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbfmul.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3	1, 2	mbfi1flim 25624	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
4		mbfmul.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
5		mbfmul.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
6	4, 5	mbfi1flim 25624	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))
7		exdistrv 1955	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))))
8	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
10	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
12		simprll 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
13		simprlr 779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
14		fveq2 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑓‘𝑛)‘𝑥))
15	14	mpteq2dv 5201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)))
16		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
17	16	fveq1d 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
18	17	cbvmptv 5211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
19	15, 18	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)))
20		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
21	19, 20	breq12d 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
22	21	rspccva 3587	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
23	13, 22	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
24		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
25		simprrr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
26		fveq2 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑔‘𝑛)‘𝑥))
27	26	mpteq2dv 5201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)))
28		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑔‘𝑛) = (𝑔‘𝑚))
29	28	fveq1d 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
30	29	cbvmptv 5211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
31	27, 30	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)))
32		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
33	31, 32	breq12d 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))
34	33	rspccva 3587	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
35	25, 34	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35	mbfmullem2 25625	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
38	37	exlimdvv 1934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
39	7, 38	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
40	3, 6, 39	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  ℝcr 11067   · cmul 11073  ℕcn 12186   ⇝ cli 15450  MblFncmbf 25515  ∫₁citg1 25516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cmp 23274  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520  df-itg1 25521  df-0p 25571

This theorem is referenced by:  mbfmul  25627