Theorem mbfmullem 26101

Description: Lemma for mbfmul 26102. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbfmul.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3	1, 2	mbfi1flim 26099	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
4		mbfmul.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
5		mbfmul.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
6	4, 5	mbfi1flim 26099	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))
7		exdistrv 1990	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))))
8	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
10	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
12		simprll 791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
13		simprlr 792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
14		fveq2 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑓‘𝑛)‘𝑥))
15	14	mpteq2dv 5205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)))
16		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑚))
17	16	fveq1d 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
18	17	cbvmptv 5215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥))
19	15, 18	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)))
20		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
21	19, 20	breq12d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
22	21	rspccva 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
23	13, 22	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
24		simprrl 793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
25		simprrr 794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
26		fveq2 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑔‘𝑛)‘𝑥))
27	26	mpteq2dv 5205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)))
28		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑔‘𝑛) = (𝑔‘𝑚))
29	28	fveq1d 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑔‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
30	29	cbvmptv 5215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥))
31	27, 30	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)))
32		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
33	31, 32	breq12d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))
34	33	rspccva 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
35	25, 34	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35	mbfmullem2 26100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)
37	36	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
38	37	exlimdvv 1969	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
39	7, 38	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn))
40	3, 6, 39	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723  ℝcr 11238   · cmul 11244  ℕcn 12375   ⇝ cli 15695  MblFncmbf 25990  ∫₁citg1 25991

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cc 10552  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-rest 17643  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-cmp 23760  df-ovol 25840  df-vol 25841  df-mbf 25995  df-itg1 25996  df-0p 26046

This theorem is used by:  mbfmul  26102