MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem 25106
Description: Lemma for mbfmul 25107. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfmullem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfmul.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
31, 2mbfi1flim 25104 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)))
4 mbfmul.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
5 mbfmul.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
64, 5mbfi1flim 25104 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))
7 exdistrv 1960 . . 3 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘”((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))))
81adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
94adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
102adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
115adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
12 simprll 778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆdom ∫1)
13 simprlr 779 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
14 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
1514mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
16 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘š))
1716fveq1d 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
1817cbvmptv 5219 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
1915, 18eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
20 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
2119, 20breq12d 5119 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
2221rspccva 3579 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
2313, 22sylan 581 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
24 simprrl 780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑔:β„•βŸΆdom ∫1)
25 simprrr 781 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))
26 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
2726mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
28 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘”β€˜π‘›) = (π‘”β€˜π‘š))
2928fveq1d 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
3029cbvmptv 5219 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
3127, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
32 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯))
3331, 32breq12d 5119 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦) ↔ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯)))
3433rspccva 3579 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
3525, 34sylan 581 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 25105 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
3736ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
3837exlimdvv 1938 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘”((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
397, 38biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
403, 6, 39mp2and 698 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  β„cr 11055   Β· cmul 11061  β„•cn 12158   ⇝ cli 15372  MblFncmbf 24994  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  mbfmul  25107
  Copyright terms: Public domain W3C validator