MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem 25760
Description: Lemma for mbfmul 25761. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfmullem (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfmul.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
31, 2mbfi1flim 25758 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
4 mbfmul.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
5 mbfmul.4 . . 3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
64, 5mbfi1flim 25758 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))
7 exdistrv 1955 . . 3 (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))))
81adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
94adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
102adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
115adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
12 simprll 779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
13 simprlr 780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
14 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓𝑛)‘𝑦) = ((𝑓𝑛)‘𝑥))
1514mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)))
16 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑚))
1716fveq1d 6908 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓𝑛)‘𝑥) = ((𝑓𝑚)‘𝑥))
1817cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥))
1915, 18eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)))
20 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
2119, 20breq12d 5156 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
2221rspccva 3621 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
2313, 22sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
24 simprrl 781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
25 simprrr 782 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
26 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔𝑛)‘𝑦) = ((𝑔𝑛)‘𝑥))
2726mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)))
28 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝑔𝑛) = (𝑔𝑚))
2928fveq1d 6908 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑔𝑛)‘𝑥) = ((𝑔𝑚)‘𝑥))
3029cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥))
3127, 30eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)))
32 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑥))
3331, 32breq12d 5156 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))
3433rspccva 3621 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
3525, 34sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 25759 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
3736ex 412 . . . 4 (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn))
3837exlimdvv 1934 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn))
397, 38biimtrrid 243 . 2 (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn))
403, 6, 39mp2and 699 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wex 1779  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cr 11154   · cmul 11160  cn 12266  cli 15520  MblFncmbf 25649  1citg1 25650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  mbfmul  25761
  Copyright terms: Public domain W3C validator