MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem 25775
Description: Lemma for mbfmul 25776. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfmullem (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfmul.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
31, 2mbfi1flim 25773 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
4 mbfmul.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
5 mbfmul.4 . . 3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
64, 5mbfi1flim 25773 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))
7 exdistrv 1953 . . 3 (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))))
81adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
94adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
102adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
115adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
12 simprll 779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
13 simprlr 780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
14 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓𝑛)‘𝑦) = ((𝑓𝑛)‘𝑥))
1514mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)))
16 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑚))
1716fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓𝑛)‘𝑥) = ((𝑓𝑚)‘𝑥))
1817cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥))
1915, 18eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)))
20 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
2119, 20breq12d 5161 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
2221rspccva 3621 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
2313, 22sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
24 simprrl 781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
25 simprrr 782 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
26 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔𝑛)‘𝑦) = ((𝑔𝑛)‘𝑥))
2726mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)))
28 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝑔𝑛) = (𝑔𝑚))
2928fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑔𝑛)‘𝑥) = ((𝑔𝑚)‘𝑥))
3029cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥))
3127, 30eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)))
32 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑥))
3331, 32breq12d 5161 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))
3433rspccva 3621 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
3525, 34sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 25774 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
3736ex 412 . . . 4 (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn))
3837exlimdvv 1932 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn))
397, 38biimtrrid 243 . 2 (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn))
403, 6, 39mp2and 699 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wex 1776  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cr 11152   · cmul 11158  cn 12264  cli 15517  MblFncmbf 25663  1citg1 25664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-0p 25719
This theorem is referenced by:  mbfmul  25776
  Copyright terms: Public domain W3C validator