MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfmullem 25242
Description: Lemma for mbfmul 25243. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfmullem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfmul.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
31, 2mbfi1flim 25240 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)))
4 mbfmul.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
5 mbfmul.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
64, 5mbfi1flim 25240 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))
7 exdistrv 1959 . . 3 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘”((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) ↔ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))))
81adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
94adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
102adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
115adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
12 simprll 777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆdom ∫1)
13 simprlr 778 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
14 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
1514mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
16 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘š))
1716fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
1817cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
1915, 18eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
20 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
2119, 20breq12d 5161 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
2221rspccva 3611 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
2313, 22sylan 580 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
24 simprrl 779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝑔:β„•βŸΆdom ∫1)
25 simprrr 780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))
26 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
2726mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
28 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘”β€˜π‘›) = (π‘”β€˜π‘š))
2928fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
3029cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯))
3127, 30eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
32 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯))
3331, 32breq12d 5161 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦) ↔ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯)))
3433rspccva 3611 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
3525, 34sylan 580 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 25241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
3736ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
3837exlimdvv 1937 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘”((𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
397, 38biimtrrid 242 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn))
403, 6, 39mp2and 697 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  β„cr 11108   Β· cmul 11114  β„•cn 12211   ⇝ cli 15427  MblFncmbf 25130  βˆ«1citg1 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-0p 25186
This theorem is referenced by:  mbfmul  25243
  Copyright terms: Public domain W3C validator