Theorem itg2add 26080

Description: The ∫₂ integral is linear. (Measurability is an essential component of this theorem; otherwise consider the characteristic function of a nonmeasurable set and its complement.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2add.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2add	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Proof of Theorem itg2add

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2add.f1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2add.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3	1, 2	mbfi1fseq 26042	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
4		itg2add.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
5		itg2add.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
6	4, 5	mbfi1fseq 26042	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))
7		exdistrv 1987	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))))
8	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10		itg2add.f3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
12	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
13	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
14		itg2add.g3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
16		simprl1 1237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
17		simprl2 1238	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))))
18		simprl3 1239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
19		simprr1 1240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
20		simprr2 1241	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))))
21		simprr3 1242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
22	8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	itg2addlem 26079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
23	22	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
24	23	exlimdvv 1966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
25	7, 24	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
26	3, 6, 25	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ∘_r cofr 7692  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  +∞cpnf 11340   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  [,)cico 13478   ⇝ cli 15651  MblFncmbf 25935  ∫₁citg1 25936  ∫₂citg2 25937  0_𝑝c0p 25990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cmp 23705  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941  df-itg2 25942  df-0p 25991

This theorem is used by:  ibladdlem  26140  itgaddlem1  26143  iblabslem  26148  iblabs  26149