Theorem itg2add 24363

Description: The ∫₂ integral is linear. (Measurability is an essential component of this theorem; otherwise consider the characteristic function of a nonmeasurable set and its complement.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2add.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2add	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Proof of Theorem itg2add

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2add.f1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2add.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3	1, 2	mbfi1fseq 24325	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
4		itg2add.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
5		itg2add.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
6	4, 5	mbfi1fseq 24325	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))
7		exdistrv 1956	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))))
8	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10		itg2add.f3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
12	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
13	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
14		itg2add.g3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
15	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
16		simprl1 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
17		simprl2 1216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))))
18		simprl3 1217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
19		simprr1 1218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
20		simprr2 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))))
21		simprr3 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
22	8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	itg2addlem 24362	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
23	22	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
24	23	exlimdvv 1935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
25	7, 24	syl5bir 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
26	3, 6, 25	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387   ∘_r cofr 7388  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  +∞cpnf 10661   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  [,)cico 12728   ⇝ cli 14833  MblFncmbf 24218  ∫₁citg1 24219  ∫₂citg2 24220  0_𝑝c0p 24273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cmp 21992  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225  df-0p 24274

This theorem is referenced by:  ibladdlem  24423  itgaddlem1  24426  iblabslem  24431  iblabs  24432