Theorem itg2add 25660

Description: The ∫₂ integral is linear. (Measurability is an essential component of this theorem; otherwise consider the characteristic function of a nonmeasurable set and its complement.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2add.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2add	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Proof of Theorem itg2add

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2add.f1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2add.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3	1, 2	mbfi1fseq 25622	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
4		itg2add.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
5		itg2add.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
6	4, 5	mbfi1fseq 25622	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))
7		exdistrv 1955	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))))
8	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10		itg2add.f3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
12	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
13	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
14		itg2add.g3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
16		simprl1 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
17		simprl2 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))))
18		simprl3 1221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
19		simprr1 1222	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
20		simprr2 1223	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))))
21		simprr3 1224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
22	8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	itg2addlem 25659	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
24	23	exlimdvv 1934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓∃𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
25	7, 24	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑓‘𝑛) ∧ (𝑓‘𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑔‘𝑛) ∧ (𝑔‘𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
26	3, 6, 25	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   ∘_r cofr 7652  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  +∞cpnf 11205   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  [,)cico 13308   ⇝ cli 15450  MblFncmbf 25515  ∫₁citg1 25516  ∫₂citg2 25517  0_𝑝c0p 25570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cmp 23274  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520  df-itg1 25521  df-itg2 25522  df-0p 25571

This theorem is referenced by:  ibladdlem  25721  itgaddlem1  25724  iblabslem  25729  iblabs  25730