MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2add 25709
Description: The 2 integral is linear. (Measurability is an essential component of this theorem; otherwise consider the characteristic function of a nonmeasurable set and its complement.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2add (𝜑 → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))

Proof of Theorem itg2add
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2add.f2 . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
31, 2mbfi1fseq 25671 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4 itg2add.g1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
5 itg2add.g2 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
64, 5mbfi1fseq 25671 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))
7 exdistrv 1951 . . 3 (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))))
81adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
92adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10 itg2add.f3 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
124adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
135adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
14 itg2add.g3 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
16 simprl1 1215 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
17 simprl2 1216 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))))
18 simprl3 1217 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
19 simprr1 1218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
20 simprr2 1219 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))))
21 simprr3 1220 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
228, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21itg2addlem 25708 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2322ex 411 . . . 4 (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
2423exlimdvv 1929 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
257, 24biimtrrid 242 . 2 (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
263, 6, 25mp2and 697 1 (𝜑 → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3058   class class class wbr 5152  cmpt 5235  dom cdm 5682  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  f cof 7689  r cofr 7690  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  +∞cpnf 11283  cle 11287  cn 12250  [,)cico 13366  cli 15468  MblFncmbf 25563  1citg1 25564  2citg2 25565  0𝑝c0p 25618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cmp 23311  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-0p 25619
This theorem is referenced by:  ibladdlem  25769  itgaddlem1  25772  iblabslem  25777  iblabs  25778
  Copyright terms: Public domain W3C validator