Theorem selvply1rhmlema 34083

Description: Lemma for selvply1rhm 34090. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhmlema.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhmlema.2	⊢ 𝑃 = ({𝑋} mPoly 𝑅)
selvply1rhmlema.3	⊢ · = (.r‘𝑃)
selvply1rhmlema.4	⊢ × = (.r‘𝑄)
selvply1rhmlema.5	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑅)
selvply1rhmlema.6	⊢ 𝑀 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhmlema.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
selvply1rhmlema.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
selvply1rhmlema.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlema	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   · ,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝑅,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑓, 𝑛)   𝑄(𝑓, 𝑛)   𝑅(𝑓)   · (𝑛)   × (𝑓, 𝑛)   𝑀(𝑓, 𝑛)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlema

Dummy variables 𝑚 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
2		ovexd 7443	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
3		fvexd 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) ∈ V)
4		selvply1rhmlema.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		fveq1 6872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
6	5	mpteq2dv 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
7		selvply1rhmlema.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8	2	mptexd 7218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
9	4, 6, 7, 8	fvmptd3 7005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
10		fveq1 6872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
11	10	opeq2d 4839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
12	11	sneqd 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
13	12	fveq2d 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
14	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑀‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
15		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
16		selvply1rhmlema.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = ({𝑋} mPoly 𝑅)
17		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		selvply1rhmlema.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
19		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
20	19	psrbasfsupp 34076	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
21	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
22	16, 17, 18, 20, 21	mplelf 22266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
23		breq1 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} finSupp 0))
24		nn0ex 12581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
26		snex 5396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
28		selvply1rhmlema.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
30	15	elmaprd 8848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
31		0lt1o 8490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ 1o
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
33	30, 32	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑚‘∅) ∈ ℕ0)
34	29, 33	fsnd 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
35	25, 27, 34	elmapdd 8839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
36		snfi 9049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ Fin)
38		c0ex 11271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
40	34, 37, 39	fdmfifsupp 9345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} finSupp 0)
41	23, 35, 40	elrabd 3646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
42	22, 41	ffvelcdmd 7073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) ∈ (Base‘𝑅))
43	13, 14, 15, 42	fvmptd4 7006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑀‘𝐹)‘𝑚) = (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
44	43, 42	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑀‘𝐹)‘𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
45	3, 9, 44	fmpt2d 7113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
46	1, 2, 45	elmapdd 8839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
47		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
48		psr1baslem 22464	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
49		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
50		1oex 8464	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
52	47, 17, 48, 49, 51	psrbas 22203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
53	46, 52	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
54	16, 17, 18, 20, 7	mplelf 22266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
55		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
56	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
57	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
58	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
59		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
60	59	elmaprd 8848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
61	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
62	60, 61	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
63	58, 62	fsnd 6857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
64	56, 57, 63	elmapdd 8839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
65	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ Fin)
66	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
67	63, 65, 66	fdmfifsupp 9345	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
68	55, 64, 67	elrabd 3646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
69	54, 68	cofmpt 7121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
70		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
71	16, 18, 70, 7	mplelsfi 22263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
72	64	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
73	58	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑋 ∈ 𝑉)
74		fvexd 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) ∈ V)
75		opex 5431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
76	75	sneqr 4799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
77	76	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
78		opthg 5445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))))
79	78	simplbda 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) ∧ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
80	73, 74, 77, 79	syl21anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
81		0ex 5260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ∅ ∈ V)
83		df1o2 8461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
84	60	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
85	84	ffnd 6698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 Fn 1o)
86	30	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
87	86	ffnd 6698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 Fn 1o)
88	82, 83, 85, 87	fsneq 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛 = 𝑚 ↔ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅)))
89	80, 88	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 = 𝑚)
90	89	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
91	90	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
92	91	ralrimivva 3205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
93		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
94	93, 12	f1mpt 7253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}) ↔ (∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚)))
95	72, 92, 94	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}))
96		fvexd 6888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
97	71, 95, 96, 7	fsuppco 9372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑅))
98	69, 97	eqbrtrrd 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑅))
99	9, 98	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) finSupp (0g‘𝑅))
100		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
101		selvply1rhmlema.5	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑅)
102		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
103	101, 102	ply1bas 22474	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
104	100, 47, 49, 70, 103	mplelbas 22259	. 2 ⊢ ((𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑀‘𝐹) finSupp (0g‘𝑅)))
105	53, 99, 104	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4278  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6523  –1-1→wf1 6524  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1_oc1o 8447   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8951   finSupp cfsupp 9331  0cc0 11171  ℕ₀cn0 12575  Basecbs 17348  ._rcmulr 17390  0_gc0g 17571  Ringcrg 20420   mPwSer cmps 22173   mPoly cmpl 22175  Poly₁cpl1 22456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-tset 17408  df-ple 17409  df-psr 22178  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-ply1 22461

This theorem is used by:  selvply1rhmlemb  34084