Theorem selvply1rhmlema 33917

Description: Lemma for selvply1rhm 33924. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhmlema.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhmlema.2	⊢ 𝑃 = ({𝑋} mPoly 𝑅)
selvply1rhmlema.3	⊢ · = (.r‘𝑃)
selvply1rhmlema.4	⊢ × = (.r‘𝑄)
selvply1rhmlema.5	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑅)
selvply1rhmlema.6	⊢ 𝑀 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhmlema.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
selvply1rhmlema.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
selvply1rhmlema.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlema	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   · ,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝑅,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑓, 𝑛)   𝑄(𝑓, 𝑛)   𝑅(𝑓)   · (𝑛)   × (𝑓, 𝑛)   𝑀(𝑓, 𝑛)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlema

Dummy variables 𝑚 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
2		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
3		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) ∈ V)
4		selvply1rhmlema.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
6	5	mpteq2dv 5204	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
7		selvply1rhmlema.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8	2	mptexd 7222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
9	4, 6, 7, 8	fvmptd3 7013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
10		fveq1 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
11	10	opeq2d 4844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
12	11	sneqd 4600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
13	12	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
14	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑀‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
15		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
16		selvply1rhmlema.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = ({𝑋} mPoly 𝑅)
17		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		selvply1rhmlema.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
19		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
20	19	psrbasfsupp 33910	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
21	7	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
22	16, 17, 18, 20, 21	mplelf 22158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
23		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} finSupp 0))
24		nn0ex 12516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
26		snex 5409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
28		selvply1rhmlema.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
30		1oex 8461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
32	31, 25, 15	elmaprd 33036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
33		0lt1o 8487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ 1o
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
35	32, 34	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑚‘∅) ∈ ℕ0)
36	29, 35	fsnd 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
37	25, 27, 36	elmapdd 8836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
38		snfi 9038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ Fin)
40		c0ex 11206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
42	36, 39, 41	fdmfifsupp 9333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} finSupp 0)
43	23, 37, 42	elrabd 3651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
44	22, 43	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) ∈ (Base‘𝑅))
45	13, 14, 15, 44	fvmptd4 7014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑀‘𝐹)‘𝑚) = (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
46	45, 44	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑀‘𝐹)‘𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
47	3, 9, 46	fmpt2d 7120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
48	1, 2, 47	elmapdd 8836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
49		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
50		psr1baslem 22356	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
51		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
52	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
53	49, 17, 50, 51, 52	psrbas 22095	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
54	48, 53	eleqtrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
55	16, 17, 18, 20, 7	mplelf 22158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
56		breq1 5111	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
57	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
58	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
59	28	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
60	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
61		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
62	60, 57, 61	elmaprd 33036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
63	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
64	62, 63	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
65	59, 64	fsnd 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
66	57, 58, 65	elmapdd 8836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
67	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ Fin)
68	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
69	65, 67, 68	fdmfifsupp 9333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
70	56, 66, 69	elrabd 3651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
71	55, 70	cofmpt 7128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
72		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
73	16, 18, 72, 7	mplelsfi 22155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
74	66	ralrimiva 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
75	59	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑋 ∈ 𝑉)
76		fvexd 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) ∈ V)
77		opex 5444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
78	77	sneqr 4804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
79	78	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
80		opthg 5458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))))
81	80	simplbda 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) ∧ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
82	75, 76, 79, 81	syl21anc 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
83		0ex 5269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ∅ ∈ V)
85		df1o2 8458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
86	62	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
87	86	ffnd 6706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 Fn 1o)
88	32	ad4ant13 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
89	88	ffnd 6706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 Fn 1o)
90	84, 85, 87, 89	fsneq 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛 = 𝑚 ↔ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅)))
91	82, 90	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 = 𝑚)
92	91	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
93	92	anasss 471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
94	93	ralrimivva 3207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
95		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
96	95, 12	f1mpt 7259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}) ↔ (∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚)))
97	74, 94, 96	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}))
98		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
99	73, 97, 98, 7	fsuppco 9360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑅))
100	71, 99	eqbrtrrd 5134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑅))
101	9, 100	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) finSupp (0g‘𝑅))
102		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
103		selvply1rhmlema.5	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑅)
104		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
105	103, 104	ply1bas 22366	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
106	102, 49, 51, 72, 105	mplelbas 22151	. 2 ⊢ ((𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑀‘𝐹) finSupp (0g‘𝑅)))
107	54, 101, 106	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415  Vcvv 3454  ∅c0 4285  {csn 4588  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5664  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1_oc1o 8444   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9319  0cc0 11106  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Ringcrg 20321   mPwSer cmps 22065   mPoly cmpl 22067  Poly₁cpl1 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-tset 17335  df-ple 17336  df-psr 22070  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-ply1 22353

This theorem is used by:  selvply1rhmlemb  33918