Theorem selvply1rhmlema 33705

Description: Lemma for selvply1rhm 33712. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhmlema.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhmlema.2	⊢ 𝑃 = ({𝑋} mPoly 𝑅)
selvply1rhmlema.3	⊢ · = (.r‘𝑃)
selvply1rhmlema.4	⊢ × = (.r‘𝑄)
selvply1rhmlema.5	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑅)
selvply1rhmlema.6	⊢ 𝑀 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhmlema.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
selvply1rhmlema.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
selvply1rhmlema.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlema	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   · ,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝑅,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑓,𝑛)   𝑄(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑓)   · (𝑛)   × (𝑓,𝑛)   𝑀(𝑓,𝑛)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlema

Dummy variables 𝑚 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
2		ovexd 7394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
3		fvexd 6845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) ∈ V)
4		selvply1rhmlema.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		fveq1 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
6	5	mpteq2dv 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑓‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
7		selvply1rhmlema.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8	2	mptexd 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
9	4, 6, 7, 8	fvmptd3 6962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
10		fveq1 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
11	10	opeq2d 4814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
12	11	sneqd 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
13	12	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
14	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑀‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
15		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
16		selvply1rhmlema.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = ({𝑋} mPoly 𝑅)
17		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		selvply1rhmlema.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
20	19	psrbasfsupp 33698	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
21	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
22	16, 17, 18, 20, 21	mplelf 21975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
23		breq1 5078	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} finSupp 0))
24		nn0ex 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
26		snex 5371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
28		selvply1rhmlema.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
30		1oex 8408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1o ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
32	31, 25, 15	elmaprd 32775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
33		0lt1o 8432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ 1o
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
35	32, 34	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑚‘∅) ∈ ℕ0)
36	29, 35	fsnd 6814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
37	25, 27, 36	elmapdd 8781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
38		snfi 8983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ Fin)
40		c0ex 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
42	36, 39, 41	fdmfifsupp 9281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} finSupp 0)
43	23, 37, 42	elrabd 3634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
44	22, 43	ffvelcdmd 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) ∈ (Base‘𝑅))
45	13, 14, 15, 44	fvmptd4 6963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑀‘𝐹)‘𝑚) = (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
46	45, 44	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑀‘𝐹)‘𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
47	3, 9, 46	fmpt2d 7069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
48	1, 2, 47	elmapdd 8781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
49		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
50		psr1baslem 22173	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
51		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
52	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
53	49, 17, 50, 51, 52	psrbas 21912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
54	48, 53	eleqtrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
55	16, 17, 18, 20, 7	mplelf 21975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
56		breq1 5078	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
57	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
58	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
59	28	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
60	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
61		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
62	60, 57, 61	elmaprd 32775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
63	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
64	62, 63	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
65	59, 64	fsnd 6814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
66	57, 58, 65	elmapdd 8781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
67	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ Fin)
68	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
69	65, 67, 68	fdmfifsupp 9281	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
70	56, 66, 69	elrabd 3634	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
71	55, 70	cofmpt 7077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
72		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
73	16, 18, 72, 7	mplelsfi 21972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
74	66	ralrimiva 3128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
75	59	ad2antrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑋 ∈ 𝑉)
76		fvexd 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) ∈ V)
77		opex 5406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
78	77	sneqr 4774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
80		opthg 5420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))))
81	80	simplbda 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) ∧ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
82	75, 76, 79, 81	syl21anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
83		0ex 5232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ∅ ∈ V)
85		df1o2 8405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
86	62	ad2antrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
87	86	ffnd 6659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 Fn 1o)
88	32	ad4ant13 753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
89	88	ffnd 6659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 Fn 1o)
90	84, 85, 87, 89	fsneq 6979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛 = 𝑚 ↔ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅)))
91	82, 90	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 = 𝑚)
92	91	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
93	92	anasss 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
94	93	ralrimivva 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
95		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
96	95, 12	f1mpt 7208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}) ↔ (∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚)))
97	74, 94, 96	sylanbrc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}))
98		fvexd 6845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
99	73, 97, 98, 7	fsuppco 9308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑅))
100	71, 99	eqbrtrrd 5099	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑅))
101	9, 100	eqbrtrd 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) finSupp (0g‘𝑅))
102		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
103		selvply1rhmlema.5	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑅)
104		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
105	103, 104	ply1bas 22183	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
106	102, 49, 51, 72, 105	mplelbas 21968	. 2 ⊢ ((𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑀‘𝐹) finSupp (0g‘𝑅)))
107	54, 101, 106	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  ∀wral 3050  {crab 3388  Vcvv 3428  ∅c0 4264  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6484  –1-1→wf1 6485  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1_oc1o 8391   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9267  0cc0 11032  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173  ._rcmulr 17215  0_gc0g 17396  Ringcrg 20208   mPwSer cmps 21882   mPoly cmpl 21884  Poly₁cpl1 22165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-tset 17233  df-ple 17234  df-psr 21887  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-psr1 22168  df-ply1 22170

This theorem is referenced by:  selvply1rhmlemb  33706