Theorem selvascl 33873

Description: The "variable selection" function evaluated at a scalar. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvascl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
selvascl.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvascl.3	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
selvascl.4	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvascl.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvascl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
selvascl.7	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvascl.8	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvascl.9	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvascl.10	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvascl.11	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
selvascl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐷‘𝑋))

Proof of Theorem selvascl

Dummy variables 𝑖 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvascl.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
2	1	coeq1i 5845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∘ (𝐴‘𝑋)) = ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐴‘𝑋))
3		coass 6267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐴‘𝑋)) = (𝐶 ∘ ((algSc‘𝑈) ∘ (𝐴‘𝑋)))
4	2, 3	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∘ (𝐴‘𝑋)) = (𝐶 ∘ ((algSc‘𝑈) ∘ (𝐴‘𝑋)))
5		selvascl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		selvascl.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
7		selvascl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
9		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
10		selvascl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))
12		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
13		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ 𝐽)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ 𝐽)) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
14		selvascl.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		difssd 4090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ⊆ 𝐼)
16		selvascl.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
17		selvascl.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	mplasclco 33872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈) ∘ (𝐴‘𝑋)) = ((algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘𝑋)))
19	18	coeq2d 5848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ ((algSc‘𝑈) ∘ (𝐴‘𝑋))) = (𝐶 ∘ ((algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))))
20	4, 19	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ (𝐴‘𝑋)) = (𝐶 ∘ ((algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))))
21		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
22		selvascl.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
23		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑇) = (𝐼 mPoly 𝑇)
24		selvascl.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
25		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑇)) = (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑇))
26		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
27		selvascl.11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
28	14	difexd 5301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
29	6, 28, 16	mplcrngd 22152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
30		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
31	16	crngringd 20327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
32	6, 28, 31	mplringd 22151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
33	6, 28, 31	mpllmodd 22153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
34		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
35	9, 30, 32, 33, 34, 21	asclf 22010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶(Base‘𝑈))
36	6, 28, 31	mplsca 22141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))
37	36	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
38	5, 37	eqtr2id 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = 𝐵)
39	17, 38	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
40	35, 39	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑈))
41	21, 22, 8, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 14, 27, 29, 40	mplasclco 33872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ ((algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))) = ((algSc‘(𝐼 mPoly 𝑇))‘(𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))))
42	20, 41	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ (𝐴‘𝑋)) = ((algSc‘(𝐼 mPoly 𝑇))‘(𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))))
43	42	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ (𝐴‘𝑋))) = ((𝐼 eval 𝑇)‘((algSc‘(𝐼 mPoly 𝑇))‘(𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋)))))
44		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 eval 𝑇) = (𝐼 eval 𝑇)
45		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
46	14, 27	ssexd 5294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
47	22, 46, 29	mplcrngd 22152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
48	22, 45, 21, 24, 46, 32	mplasclf 22195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑇))
49	48, 40	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝑇))
50	44, 23, 45, 25, 14, 47, 49	evlsca 22236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 eval 𝑇)‘((algSc‘(𝐼 mPoly 𝑇))‘(𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋)))) = (((Base‘𝑇) ↑m 𝐼) × {(𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))}))
51	43, 50	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ (𝐴‘𝑋))) = (((Base‘𝑇) ↑m 𝐼) × {(𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))}))
52	51	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ (𝐴‘𝑋)))‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖))))) = ((((Base‘𝑇) ↑m 𝐼) × {(𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))})‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖))))))
53	47	crngringd 20327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Ring)
54	45	subrgid 20657	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (Base‘𝑇) ∈ (SubRing‘𝑇))
55	53, 54	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑇) ∈ (SubRing‘𝑇))
56		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 mVar 𝑈) = (𝐽 mVar 𝑈)
57	46	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
58	32	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ Ring)
59		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐽) → 𝑖 ∈ 𝐽)
60	22, 56, 45, 57, 58, 59	mvrcl 22120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑇))
61	48	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝐽) → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑇))
62		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅) = ((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)
63	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝐽) → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
64	31	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ Ring)
65		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝐽) → 𝑖 ∈ 𝐼)
66		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝐽) → ¬ 𝑖 ∈ 𝐽)
67	65, 66	eldifd 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝐽) → 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
68	6, 62, 21, 63, 64, 67	mvrcl 22120	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝐽) → (((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑈))
69	61, 68	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑖 ∈ 𝐽) → (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖)) ∈ (Base‘𝑇))
70	60, 69	ifclda 4522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑇))
71	70	fmpttd 7110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖)))):𝐼⟶(Base‘𝑇))
72	55, 14, 71	elmapdd 8837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖)))) ∈ ((Base‘𝑇) ↑m 𝐼))
73		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋)) ∈ V
74	73	fvconst2 7202	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖)))) ∈ ((Base‘𝑇) ↑m 𝐼) → ((((Base‘𝑇) ↑m 𝐼) × {(𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))})‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖))))) = (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋)))
75	72, 74	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((Base‘𝑇) ↑m 𝐼) × {(𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋))})‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖))))) = (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋)))
76	52, 75	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ (𝐴‘𝑋)))‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖))))) = (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋)))
77		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
78		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
79	7, 14, 31	mplringd 22151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
80	7, 14, 31	mpllmodd 22153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
81		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
82	10, 78, 79, 80, 81, 77	asclf 22010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
83	7, 14, 31	mplsca 22141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
84	83	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
85	5, 84	eqtr2id 2809	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = 𝐵)
86	17, 85	eleqtrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
87	82, 86	ffvelcdmd 7080	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
88	7, 77, 6, 22, 24, 1, 16, 27, 87	selvval2 22271	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐴‘𝑋)) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ (𝐴‘𝑋)))‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑖), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑖))))))
89	35	ffund 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (algSc‘𝑈))
90	35	fdmd 6716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (algSc‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
91	39, 90	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (algSc‘𝑈))
92	89, 91, 1	fvcod 6980	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝐶‘((algSc‘𝑈)‘𝑋)))
93	76, 88, 92	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐷‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ifcif 4486  {csn 4588   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   “ cima 5664   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  SubRingcsubrg 20653  algSccascl 21981   mVar cmvr 22034   mPoly cmpl 22035   eval cevl 22203   selectVars cslv 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-assa 21982  df-asp 21983  df-ascl 21984  df-psr 22038  df-mvr 22039  df-mpl 22040  df-evls 22204  df-evl 22205  df-selv 22247

This theorem is referenced by:  selvply1rhmlem2  33877