Theorem coe1mul4 26083

Description: Value of the "leading" coefficient of a product of two nonzero polynomials. This will fail to actually be the leading coefficient only if it is zero (requiring the basic ring to contain zero divisors). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul3.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul3.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
coe1mul4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
coe1mul4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mul4.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
coe1mul4.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
coe1mul4.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
coe1mul4.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1mul4	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) · ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))

Proof of Theorem coe1mul4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mul3.s	. 2 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1mul3.t	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
3		coe1mul3.u	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		coe1mul3.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		coe1mul3.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
6		coe1mul4.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		coe1mul4.f1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		coe1mul4.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
9		coe1mul4.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
10	5, 1, 9, 4	deg1nn0cl 26071	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
13	12	leidd 11707	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
14		coe1mul4.g1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
15		coe1mul4.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
16	5, 1, 9, 4	deg1nn0cl 26071	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
17	6, 14, 15, 16	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
19	18	leidd 11707	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19	coe1mul3 26082	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) · ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Ringcrg 20205  Poly₁cpl1 22162  coe₁cco1 22163  deg₁cdg1 26037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-cnfld 21348  df-psr 21884  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-psr1 22165  df-ply1 22167  df-coe1 22168  df-mdeg 26038  df-deg1 26039

This theorem is referenced by:  deg1mul2  26097  m1pmeq  33668  mon1psubm  43644