Theorem coe1mul4 26288

Description: Value of the "leading" coefficient of a product of two nonzero polynomials. This will fail to actually be the leading coefficient only if it is zero (requiring the basic ring to contain zero divisors). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul3.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul3.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
coe1mul4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
coe1mul4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mul4.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
coe1mul4.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
coe1mul4.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
coe1mul4.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1mul4	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) · ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))

Proof of Theorem coe1mul4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mul3.s	. 2 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1mul3.t	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
3		coe1mul3.u	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		coe1mul3.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		coe1mul3.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
6		coe1mul4.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		coe1mul4.f1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		coe1mul4.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
9		coe1mul4.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
10	5, 1, 9, 4	deg1nn0cl 26276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
13	12	leidd 11791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
14		coe1mul4.g1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
15		coe1mul4.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
16	5, 1, 9, 4	deg1nn0cl 26276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
17	6, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
19	18	leidd 11791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19	coe1mul3 26287	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) · ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   + caddc 11114  ℕ₀cn0 12515  Basecbs 17287  ._rcmulr 17329  0_gc0g 17510  Ringcrg 20339  Poly₁cpl1 22367  coe₁cco1 22368  deg₁cdg1 26242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-hash 14381  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-prds 17518  df-pws 17520  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-ghm 19308  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-cring 20342  df-cnfld 21553  df-psr 22089  df-mpl 22091  df-opsr 22093  df-psr1 22370  df-ply1 22372  df-coe1 22373  df-mdeg 26243  df-deg1 26244

This theorem is used by:  deg1mul2  26302  m1pmeq  33915  mon1psubm  43959