Theorem coe1mul4 26080

Description: Value of the "leading" coefficient of a product of two nonzero polynomials. This will fail to actually be the leading coefficient only if it is zero (requiring the basic ring to contain zero divisors). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul3.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul3.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
coe1mul4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
coe1mul4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mul4.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
coe1mul4.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
coe1mul4.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
coe1mul4.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1mul4	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) · ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))

Proof of Theorem coe1mul4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mul3.s	. 2 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1mul3.t	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
3		coe1mul3.u	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		coe1mul3.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		coe1mul3.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
6		coe1mul4.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		coe1mul4.f1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		coe1mul4.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
9		coe1mul4.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
10	5, 1, 9, 4	deg1nn0cl 26068	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12566	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
13	12	leidd 11812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
14		coe1mul4.g1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
15		coe1mul4.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
16	5, 1, 9, 4	deg1nn0cl 26068	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
17	6, 14, 15, 16	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12566	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
19	18	leidd 11812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19	coe1mul3 26079	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) · ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   + caddc 11143  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17183  ._rcmulr 17237  0_gc0g 17424  Ringcrg 20185  Poly₁cpl1 22119  coe₁cco1 22120   deg₁ cdg1 26031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-cnfld 21297  df-psr 21859  df-mpl 21861  df-opsr 21863  df-psr1 22122  df-ply1 22124  df-coe1 22125  df-mdeg 26032  df-deg1 26033

This theorem is referenced by:  deg1mul2  26094  m1pmeq  33392  mon1psubm  42769