Theorem coe1mul4 26027

Description: Value of the "leading" coefficient of a product of two nonzero polynomials. This will fail to actually be the leading coefficient only if it is zero (requiring the basic ring to contain zero divisors). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul3.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul3.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
coe1mul4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
coe1mul4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mul4.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
coe1mul4.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
coe1mul4.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
coe1mul4.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1mul4	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) · ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))

Proof of Theorem coe1mul4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mul3.s	. 2 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
2		coe1mul3.t	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
3		coe1mul3.u	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		coe1mul3.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		coe1mul3.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
6		coe1mul4.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		coe1mul4.f1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		coe1mul4.f2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
9		coe1mul4.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
10	5, 1, 9, 4	deg1nn0cl 26015	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
13	12	leidd 11678	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
14		coe1mul4.g1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
15		coe1mul4.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
16	5, 1, 9, 4	deg1nn0cl 26015	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
17	6, 14, 15, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
19	18	leidd 11678	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘𝐺))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19	coe1mul3 26026	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘((𝐷‘𝐹) + (𝐷‘𝐺))) = (((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) · ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   + caddc 11004  ℕ₀cn0 12376  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157  0_gc0g 17338  Ringcrg 20146  Poly₁cpl1 22084  coe₁cco1 22085  deg₁cdg1 25981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-cnfld 21287  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22087  df-ply1 22089  df-coe1 22090  df-mdeg 25982  df-deg1 25983

This theorem is referenced by:  deg1mul2  26041  m1pmeq  33539  mon1psubm  43232