Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relogexp 25231
 Description: The natural logarithm of positive 𝐴 raised to an integer power. Property 4 of [Cohen] p. 301-302, restricted to natural logarithms and integer powers 𝑁. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
relogexp ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴𝑁)) = (𝑁 · (log‘𝐴)))

Proof of Theorem relogexp
StepHypRef Expression
1 relogcl 25211 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
21recnd 10676 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3 efexp 15466 . . . . 5 (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐴))↑𝑁))
42, 3sylan 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐴))↑𝑁))
5 reeflog 25216 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
65oveq1d 7160 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴))↑𝑁) = (𝐴𝑁))
76adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((exp‘(log‘𝐴))↑𝑁) = (𝐴𝑁))
84, 7eqtrd 2833 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁))
98fveq2d 6659 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(exp‘(𝑁 · (log‘𝐴)))) = (log‘(𝐴𝑁)))
10 zre 11993 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11 remulcl 10629 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
1210, 1, 11syl2anr 599 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
13 relogef 25218 . . 3 ((𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ → (log‘(exp‘(𝑁 · (log‘𝐴)))) = (𝑁 · (log‘𝐴)))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(exp‘(𝑁 · (log‘𝐴)))) = (𝑁 · (log‘𝐴)))
159, 14eqtr3d 2835 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴𝑁)) = (𝑁 · (log‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  ℝcr 10543   · cmul 10549  ℤcz 11989  ℝ+crp 12397  ↑cexp 13445  expce 15427  logclog 25190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-mod 13253  df-seq 13385  df-exp 13446  df-fac 13650  df-bc 13679  df-hash 13707  df-shft 14438  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-limsup 14840  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-ef 15433  df-sin 15435  df-cos 15436  df-pi 15438  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-lp 21782  df-perf 21783  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-haus 21961  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-fil 22492  df-fm 22584  df-flim 22585  df-flf 22586  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cncf 23524  df-limc 24510  df-dv 24511  df-log 25192 This theorem is referenced by:  vmalelog  25833  chtub  25840  fsumvma2  25842  pclogsum  25843  chpchtsum  25847  chpub  25848  logfacubnd  25849  bposlem8  25919  chebbnd1lem1  26097  chebbnd1lem3  26099  chebbnd1  26100  pntlemb  26225  pntlemh  26227  pntlemr  26230  hgt750lem  32098  reglogexp  40006  stirlinglem4  42887
 Copyright terms: Public domain W3C validator