Theorem gsummoncoe1fz 33755

Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. See gsummoncoe1fzo 33754. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummoncoe1fz.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummoncoe1fz.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummoncoe1fz.3	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummoncoe1fz.4	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummoncoe1fz.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fz.6	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummoncoe1fz.7	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummoncoe1fz.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
gsummoncoe1fz.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝐷)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fz.10	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝐷))
gsummoncoe1fz.11	⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummoncoe1fz	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Distinct variable groups:   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1fz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummoncoe1fz.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
3		fzval3 13734	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5	4	mpteq1d 5187	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
6	5	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
7	6	fveq2d 6866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
8	7	fveq1d 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿))
9		gsummoncoe1fz.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10		gsummoncoe1fz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		gsummoncoe1fz.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		gsummoncoe1fz.4	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13		gsummoncoe1fz.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		gsummoncoe1fz.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15		gsummoncoe1fz.7	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		gsummoncoe1fz.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝐷)𝐴 ∈ 𝐾)
18	17, 4	raleqtrdv 3321	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
19		gsummoncoe1fz.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝐷))
20	19, 4	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(𝐷 + 1)))
21		peano2nn0 12515	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
22	1, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
23		gsummoncoe1fz.11	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)
24	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 23	gsummoncoe1fzo 33754	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)
25	8, 24	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ...cfz 13506  ..^cfzo 13653  Basecbs 17236   ·_𝑠 cvsca 17281  0_gc0g 17459   Σ_g cgsu 17460  ._gcmg 19100  mulGrpcmgp 20177  Ringcrg 20270  var₁cv1 22226  Poly₁cpl1 22227  coe₁cco1 22228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-psr1 22230  df-vr1 22231  df-ply1 22232  df-coe1 22233

This theorem is referenced by:  vietalem  33837