Theorem gsummoncoe1fz 34009

Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. See gsummoncoe1fzo 34008. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummoncoe1fz.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummoncoe1fz.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummoncoe1fz.3	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummoncoe1fz.4	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummoncoe1fz.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fz.6	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummoncoe1fz.7	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummoncoe1fz.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
gsummoncoe1fz.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝐷)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fz.10	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝐷))
gsummoncoe1fz.11	⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummoncoe1fz	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Distinct variable groups:   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1fz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummoncoe1fz.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
3		fzval3 13791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5	4	mpteq1d 5195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
6	5	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
7	6	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
8	7	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿))
9		gsummoncoe1fz.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10		gsummoncoe1fz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		gsummoncoe1fz.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		gsummoncoe1fz.4	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13		gsummoncoe1fz.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		gsummoncoe1fz.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15		gsummoncoe1fz.7	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		gsummoncoe1fz.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝐷)𝐴 ∈ 𝐾)
18	17, 4	raleqtrdv 3321	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
19		gsummoncoe1fz.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝐷))
20	19, 4	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(𝐷 + 1)))
21		peano2nn0 12569	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
22	1, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
23		gsummoncoe1fz.11	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)
24	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 23	gsummoncoe1fzo 34008	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)
25	8, 24	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ...cfz 13562  ..^cfzo 13710  Basecbs 17302   ·_𝑠 cvsca 17347  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  Ringcrg 20373  var₁cv1 22402  Poly₁cpl1 22403  coe₁cco1 22404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409

This theorem is used by:  vietalem  34090