Theorem gsummoncoe1fz 33607

Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. See gsummoncoe1fzo 33606. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummoncoe1fz.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummoncoe1fz.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummoncoe1fz.3	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummoncoe1fz.4	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummoncoe1fz.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fz.6	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummoncoe1fz.7	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummoncoe1fz.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
gsummoncoe1fz.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝐷)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fz.10	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝐷))
gsummoncoe1fz.11	⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummoncoe1fz	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Distinct variable groups:   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1fz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummoncoe1fz.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
3		fzval3 13641	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5	4	mpteq1d 5185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
6	5	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
7	6	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
8	7	fveq1d 6833	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿))
9		gsummoncoe1fz.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10		gsummoncoe1fz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		gsummoncoe1fz.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		gsummoncoe1fz.4	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13		gsummoncoe1fz.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		gsummoncoe1fz.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15		gsummoncoe1fz.7	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		gsummoncoe1fz.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝐷)𝐴 ∈ 𝐾)
18	17, 4	raleqtrdv 3295	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
19		gsummoncoe1fz.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝐷))
20	19, 4	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(𝐷 + 1)))
21		peano2nn0 12432	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
22	1, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
23		gsummoncoe1fz.11	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)
24	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 23	gsummoncoe1fzo 33606	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)
25	8, 24	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ...cfz 13414  ..^cfzo 13561  Basecbs 17127   ·_𝑠 cvsca 17172  0_gc0g 17350   Σ_g cgsu 17351  ._gcmg 18988  mulGrpcmgp 20066  Ringcrg 20159  var₁cv1 22107  Poly₁cpl1 22108  coe₁cco1 22109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22111  df-vr1 22112  df-ply1 22113  df-coe1 22114

This theorem is referenced by:  vietalem  33663