Theorem gsummoncoe1fz 33691

Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. See gsummoncoe1fzo 33690. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummoncoe1fz.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
gsummoncoe1fz.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummoncoe1fz.3	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
gsummoncoe1fz.4	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummoncoe1fz.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummoncoe1fz.6	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummoncoe1fz.7	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
gsummoncoe1fz.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
gsummoncoe1fz.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝐷)𝐴 ∈ 𝐾)
gsummoncoe1fz.10	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝐷))
gsummoncoe1fz.11	⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsummoncoe1fz	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Distinct variable groups:   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1fz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummoncoe1fz.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
3		fzval3 13662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5	4	mpteq1d 5190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
6	5	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
7	6	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
8	7	fveq1d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿))
9		gsummoncoe1fz.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10		gsummoncoe1fz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		gsummoncoe1fz.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		gsummoncoe1fz.4	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13		gsummoncoe1fz.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		gsummoncoe1fz.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15		gsummoncoe1fz.7	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		gsummoncoe1fz.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝐷)𝐴 ∈ 𝐾)
18	17, 4	raleqtrdv 3300	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
19		gsummoncoe1fz.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝐷))
20	19, 4	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0..^(𝐷 + 1)))
21		peano2nn0 12453	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
22	1, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
23		gsummoncoe1fz.11	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → 𝐴 = 𝐶)
24	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 23	gsummoncoe1fzo 33690	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0..^(𝐷 + 1)) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)
25	8, 24	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝐴 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  Basecbs 17148   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  ._gcmg 19009  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  var₁cv1 22128  Poly₁cpl1 22129  coe₁cco1 22130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135

This theorem is referenced by:  vietalem  33756