Theorem lbslelsp 33856

Description: The size of a basis 𝑋 of a vector space 𝑊 is less than the size of a generating set 𝑌. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslelsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lbslelsp.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbslelsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lbslelsp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbslelsp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
lbslelsp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
lbslelsp.1	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lbslelsp	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

Proof of Theorem lbslelsp

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbslelsp.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	ad3antrrr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
3		lbslelsp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4	3	ad3antrrr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		simplr 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑠 ∈ 𝐽)
6		lbslelsp.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
7	6	lvecdim 21215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) → 𝑋 ≈ 𝑠)
8	2, 4, 5, 7	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ≈ 𝑠)
9		hasheni 14355	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑠 → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
11		hashss 14416	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
12	11	ad4ant24 764	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
13	10, 12	eqbrtrd 5119	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
14		lbslelsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
15		lbslelsp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
16	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LVec)
17		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ Fin)
18		lbslelsp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
20		lbslelsp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
21	20	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
22	14, 6, 15, 16, 17, 19, 21	exsslsb 33855	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝑠 ⊆ 𝑌)
23	13, 22	r19.29a 3169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
24	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ 𝐽)
25		hashxrcl 14364	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
27	26	pnfged 13127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ +∞)
28	14	fvexi 6876	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
30	29, 18	ssexd 5277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
31		hashinf 14342	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
32	30, 31	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
33	27, 32	breqtrrd 5125	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
34	23, 33	pm2.61dan 822	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516   ≈ cen 8918  Fincfn 8921  +∞cpnf 11207  ℝ^*cxr 11209   ≤ cle 11211  ♯chash 14337  Basecbs 17236  LSpanclspn 21026  LBasisclbs 21129  LVecclvec 21157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-reg 9534  ax-inf2 9590  ax-ac2 10414  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-r1 9716  df-rank 9717  df-card 9891  df-acn 9894  df-ac 10066  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ocomp 17298  df-0g 17461  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-mri 17607  df-acs 17608  df-proset 18317  df-drs 18318  df-poset 18336  df-ipo 18551  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-subg 19156  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-oppr 20373  df-dvdsr 20393  df-unit 20394  df-invr 20424  df-drng 20768  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-lbs 21130  df-lvec 21158

This theorem is referenced by:  fldextrspunlem1  33933