Theorem lbslelsp 34278

Description: The size of a basis 𝑋 of a vector space 𝑊 is less than the size of a generating set 𝑌. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslelsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lbslelsp.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbslelsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lbslelsp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbslelsp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
lbslelsp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
lbslelsp.1	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lbslelsp	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

Proof of Theorem lbslelsp

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbslelsp.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
3		lbslelsp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4	3	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑠 ∈ 𝐽)
6		lbslelsp.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
7	6	lvecdim 21442	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) → 𝑋 ≈ 𝑠)
8	2, 4, 5, 7	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ≈ 𝑠)
9		hasheni 14497	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑠 → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
11		hashss 14558	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
12	11	ad4ant24 767	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
13	10, 12	eqbrtrd 5126	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
14		lbslelsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
15		lbslelsp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
16	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LVec)
17		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ Fin)
18		lbslelsp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
20		lbslelsp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
22	14, 6, 15, 16, 17, 19, 21	exsslsb 34277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝑠 ⊆ 𝑌)
23	13, 22	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
24	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ 𝐽)
25		hashxrcl 14506	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
27	26	pnfged 13265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ +∞)
28	14	fvexi 6902	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
30	29, 18	ssexd 5285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
31		hashinf 14484	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
32	30, 31	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
33	27, 32	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
34	23, 33	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541   ≈ cen 8975  Fincfn 8978  +∞cpnf 11345  ℝ^*cxr 11347   ≤ cle 11349  ♯chash 14479  Basecbs 17394  LSpanclspn 21253  LBasisclbs 21356  LVecclvec 21384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-ac2 10546  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-acn 10028  df-ac 10200  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-hash 14480  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ocomp 17456  df-0g 17619  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-mri 17765  df-acs 17766  df-proset 18475  df-drs 18476  df-poset 18494  df-ipo 18709  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-subg 19340  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-oppr 20574  df-dvdsr 20594  df-unit 20595  df-invr 20625  df-drng 20989  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-lbs 21357  df-lvec 21385

This theorem is used by:  fldextrspunlem1  34355