Theorem lbslelsp 33635

Description: The size of a basis 𝑋 of a vector space 𝑊 is less than the size of a generating set 𝑌. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslelsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lbslelsp.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbslelsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lbslelsp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbslelsp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
lbslelsp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
lbslelsp.1	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lbslelsp	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

Proof of Theorem lbslelsp

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbslelsp.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
3		lbslelsp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4	3	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑠 ∈ 𝐽)
6		lbslelsp.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
7	6	lvecdim 21151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) → 𝑋 ≈ 𝑠)
8	2, 4, 5, 7	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ≈ 𝑠)
9		hasheni 14383	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑠 → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
11		hashss 14444	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
12	11	ad4ant24 754	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
13	10, 12	eqbrtrd 5163	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
14		lbslelsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
15		lbslelsp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
16	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LVec)
17		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ Fin)
18		lbslelsp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
20		lbslelsp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
22	14, 6, 15, 16, 17, 19, 21	exsslsb 33634	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝑠 ⊆ 𝑌)
23	13, 22	r19.29a 3161	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
24	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ 𝐽)
25		hashxrcl 14392	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
27	26	pnfged 13169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ +∞)
28	14	fvexi 6918	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
30	29, 18	ssexd 5322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
31		hashinf 14370	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
32	30, 31	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
33	27, 32	breqtrrd 5169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
34	23, 33	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5141  ‘cfv 6559   ≈ cen 8978  Fincfn 8981  +∞cpnf 11288  ℝ^*cxr 11290   ≤ cle 11292  ♯chash 14365  Basecbs 17243  LSpanclspn 20961  LBasisclbs 21065  LVecclvec 21093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-reg 9628  ax-inf2 9677  ax-ac2 10499  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-tpos 8247  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-oadd 8506  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-r1 9800  df-rank 9801  df-card 9975  df-acn 9978  df-ac 10152  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ocomp 17314  df-0g 17482  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-mri 17627  df-acs 17628  df-proset 18336  df-drs 18337  df-poset 18355  df-ipo 18569  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-ring 20228  df-oppr 20326  df-dvdsr 20349  df-unit 20350  df-invr 20380  df-drng 20723  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lbs 21066  df-lvec 21094

This theorem is referenced by:  fldextrspunlem1  33710