Theorem lbslelsp 33929

Description: The size of a basis 𝑋 of a vector space 𝑊 is less than the size of a generating set 𝑌. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslelsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lbslelsp.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbslelsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lbslelsp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbslelsp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
lbslelsp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
lbslelsp.1	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lbslelsp	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

Proof of Theorem lbslelsp

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbslelsp.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
3		lbslelsp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4	3	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑠 ∈ 𝐽)
6		lbslelsp.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
7	6	lvecdim 21255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) → 𝑋 ≈ 𝑠)
8	2, 4, 5, 7	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ≈ 𝑠)
9		hasheni 14380	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑠 → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
11		hashss 14441	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
12	11	ad4ant24 766	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
13	10, 12	eqbrtrd 5134	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
14		lbslelsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
15		lbslelsp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
16	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LVec)
17		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ Fin)
18		lbslelsp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
19	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
20		lbslelsp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
21	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
22	14, 6, 15, 16, 17, 19, 21	exsslsb 33928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝑠 ⊆ 𝑌)
23	13, 22	r19.29a 3179	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
24	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ 𝐽)
25		hashxrcl 14389	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
27	26	pnfged 13152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ +∞)
28	14	fvexi 6893	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
30	29, 18	ssexd 5292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
31		hashinf 14367	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
32	30, 31	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
33	27, 32	breqtrrd 5140	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
34	23, 33	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  +∞cpnf 11236  ℝ^*cxr 11238   ≤ cle 11240  ♯chash 14362  Basecbs 17265  LSpanclspn 21066  LBasisclbs 21169  LVecclvec 21197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-reg 9550  ax-inf2 9606  ax-ac2 10443  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-r1 9732  df-rank 9733  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ocomp 17327  df-0g 17490  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-mri 17636  df-acs 17637  df-proset 18346  df-drs 18347  df-poset 18365  df-ipo 18580  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-drng 20811  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lbs 21170  df-lvec 21198

This theorem is referenced by:  fldextrspunlem1  34006