Theorem lbslelsp 33988

Description: The size of a basis 𝑋 of a vector space 𝑊 is less than the size of a generating set 𝑌. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslelsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lbslelsp.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbslelsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
lbslelsp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lbslelsp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
lbslelsp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
lbslelsp.1	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lbslelsp	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

Proof of Theorem lbslelsp

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbslelsp.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑊 ∈ LVec)
3		lbslelsp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4	3	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑠 ∈ 𝐽)
6		lbslelsp.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
7	6	lvecdim 21281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) → 𝑋 ≈ 𝑠)
8	2, 4, 5, 7	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ≈ 𝑠)
9		hasheni 14380	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≈ 𝑠 → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) = (♯‘𝑠))
11		hashss 14441	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
12	11	ad4ant24 766	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘𝑌))
13	10, 12	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ⊆ 𝑌) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
14		lbslelsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
15		lbslelsp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
16	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LVec)
17		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ Fin)
18		lbslelsp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐵)
19	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
20		lbslelsp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
21	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝐾‘𝑌) = 𝐵)
22	14, 6, 15, 16, 17, 19, 21	exsslsb 33987	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → ∃𝑠 ∈ 𝐽 𝑠 ⊆ 𝑌)
23	13, 22	r19.29a 3173	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
24	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ 𝐽)
25		hashxrcl 14389	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ∈ ℝ*)
27	26	pnfged 13151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ +∞)
28	14	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
30	29, 18	ssexd 5295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
31		hashinf 14367	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
32	30, 31	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑌) = +∞)
33	27, 32	breqtrrd 5139	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))
34	23, 33	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ≤ (♯‘𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   ≤ cle 11239  ♯chash 14362  Basecbs 17264  LSpanclspn 21092  LBasisclbs 21195  LVecclvec 21223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-r1 9732  df-rank 9733  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ocomp 17326  df-0g 17489  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-mri 17635  df-acs 17636  df-proset 18345  df-drs 18346  df-poset 18364  df-ipo 18579  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lbs 21196  df-lvec 21224

This theorem is referenced by:  fldextrspunlem1  34065