Theorem dihjatcclem2 40594

Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjatcclem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjatcclem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihjatcclem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjatcclem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjatcclem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihjatcclem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjatcclem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjatcclem.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.v	⊢ 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
dihjatcclem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjatcclem.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dihjatcclem.q	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
dihjatcclem2.c	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
dihjatcclem2	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dihjatcclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjatcclem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihjatcclem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dihjatcclem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihjatcclem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		dihjatcclem.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6		dihjatcclem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		dihjatcclem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjatcclem.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
9		dihjatcclem.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihjatcclem.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
11		dihjatcclem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		dihjatcclem.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		dihjatcclem.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dihjatcclem1 40593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
15	3, 7, 11	dvhlmod 40285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
17	16	lsssssubg 20714	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
18	15, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
19	12	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
20	1, 6	atbase 38463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
22	1, 3, 9, 7, 16	dihlss 40425	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
23	11, 21, 22	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
24	13	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
25	1, 6	atbase 38463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
27	1, 3, 9, 7, 16	dihlss 40425	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
28	11, 26, 27	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	16, 8	lsmcl 20839	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼‘𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	15, 23, 28, 29	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	18, 30	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
32	10	fveq2i 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘𝑉) = (𝐼‘((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
33	11	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
34	33	hllatd 38538	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
35	1, 4, 6	hlatjcl 38541	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
36	33, 19, 24, 35	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
37	11	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
38	1, 3	lhpbase 39173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
40	1, 5	latmcl 18398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
41	34, 36, 39, 40	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
42	1, 3, 9, 7, 16	dihlss 40425	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	11, 41, 42	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44	32, 43	eqeltrid 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑈))
45	18, 44	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈))
46		dihjatcclem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))
47	8	lsmss2 19577	. . 3 ⊢ ((((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑉) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄))) → (((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ⊕ (𝐼‘𝑉)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))
48	31, 45, 46, 47	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ⊕ (𝐼‘𝑉)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))
49	14, 48	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  Latclat 18389  SubGrpcsubg 19037  LSSumclsm 19544  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  DIsoHcdih 40403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-riotaBAD 38127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-undef 8261  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404

This theorem is referenced by:  dihjatcc  40597