Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjatcclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihjatcclem2 37948
 Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatcclem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjatcclem.l = (le‘𝐾)
dihjatcclem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjatcclem.j = (join‘𝐾)
dihjatcclem.m = (meet‘𝐾)
dihjatcclem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjatcclem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.s = (LSSum‘𝑈)
dihjatcclem.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.v 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
dihjatcclem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihjatcclem.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dihjatcclem.q (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
dihjatcclem2.c (𝜑 → (𝐼𝑉) ⊆ ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
Assertion
Ref Expression
dihjatcclem2 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))

Proof of Theorem dihjatcclem2
StepHypRef Expression
1 dihjatcclem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihjatcclem.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 dihjatcclem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dihjatcclem.j . . 3 = (join‘𝐾)
5 dihjatcclem.m . . 3 = (meet‘𝐾)
6 dihjatcclem.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 dihjatcclem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 dihjatcclem.s . . 3 = (LSSum‘𝑈)
9 dihjatcclem.i . . 3 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10 dihjatcclem.v . . 3 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
11 dihjatcclem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 dihjatcclem.p . . 3 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
13 dihjatcclem.q . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dihjatcclem1 37947 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))
153, 7, 11dvhlmod 37639 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
16 eqid 2772 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1716lsssssubg 19442 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
1815, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
1912simpld 487 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐴)
201, 6atbase 35818 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
221, 3, 9, 7, 16dihlss 37779 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐵) → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2311, 21, 22syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2413simpld 487 . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝐴)
251, 6atbase 35818 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐵)
271, 3, 9, 7, 16dihlss 37779 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵) → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2811, 26, 27syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2916, 8lsmcl 19567 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3015, 23, 28, 29syl3anc 1351 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3118, 30sseldd 3855 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
3210fveq2i 6496 . . . . 5 (𝐼𝑉) = (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))
3311simpld 487 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ HL)
3433hllatd 35893 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
351, 4, 6hlatjcl 35896 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
3633, 19, 24, 35syl3anc 1351 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
3711simprd 488 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
381, 3lhpbase 36527 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝐵)
401, 5latmcl 17510 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
4134, 36, 39, 40syl3anc 1351 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
421, 3, 9, 7, 16dihlss 37779 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4311, 41, 42syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4432, 43syl5eqel 2864 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4518, 44sseldd 3855 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈))
46 dihjatcclem2.c . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑉) ⊆ ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
478lsmss2 18542 . . 3 ((((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑉) ⊆ ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄))) → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
4831, 45, 46, 47syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
4914, 48eqtrd 2808 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ⊆ wss 3825   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  lecple 16418  joincjn 17402  meetcmee 17403  Latclat 17503  SubGrpcsubg 18047  LSSumclsm 18510  LModclmod 19346  LSubSpclss 19415  Atomscatm 35792  HLchlt 35879  LHypclh 36513  DVecHcdvh 37607  DIsoHcdih 37757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-riotaBAD 35482 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-undef 7735  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-0g 16561  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-subg 18050  df-cntz 18208  df-lsm 18512  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-dvr 19146  df-drng 19217  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-lvec 19587  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-llines 36027  df-lplanes 36028  df-lvols 36029  df-lines 36030  df-psubsp 36032  df-pmap 36033  df-padd 36325  df-lhyp 36517  df-laut 36518  df-ldil 36633  df-ltrn 36634  df-trl 36688  df-tendo 37284  df-edring 37286  df-disoa 37558  df-dvech 37608  df-dib 37668  df-dic 37702  df-dih 37758 This theorem is referenced by:  dihjatcc  37951
 Copyright terms: Public domain W3C validator