Theorem mapdlsmcl 42164

Description: Closure of dual subspace sum for the map defined by df-mapd 42126. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdlsmcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdlsmcl.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsmcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsmcl.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsmcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdlsmcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdlsmcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑀)
mapdlsmcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mapdlsmcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ ran 𝑀)

Proof of Theorem mapdlsmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdlsmcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdlsmcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdlsmcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42093	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		mapdlsmcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑀)
6		mapdlsmcl.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
8	1, 6, 2, 7, 3	mapdrn2 42152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
9	5, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝐶))
10		mapdlsmcl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝑀)
11	10, 8	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝐶))
12		mapdlsmcl.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
13	7, 12	lsmcl 21074	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝐶)) → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐶))
14	4, 9, 11, 13	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐶))
15	14, 8	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ ran 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ran crn 5620  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  LSSumclsm 19601  LModclmod 20851  LSubSpclss 20922  HLchlt 39851  LHypclh 40485  DVecHcdvh 41579  LCDualclcd 42087  mapdcmpd 42125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-riotaBAD 39454

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-undef 8214  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-0g 17396  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-proset 18252  df-poset 18271  df-plt 18286  df-lub 18302  df-glb 18303  df-join 18304  df-meet 18305  df-p0 18381  df-p1 18382  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-cntz 19284  df-oppg 19313  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-dvr 20373  df-nzr 20486  df-rlreg 20667  df-domn 20668  df-drng 20704  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lsp 20963  df-lvec 21094  df-lsatoms 39477  df-lshyp 39478  df-lcv 39520  df-lfl 39559  df-lkr 39587  df-ldual 39625  df-oposet 39677  df-ol 39679  df-oml 39680  df-covers 39767  df-ats 39768  df-atl 39799  df-cvlat 39823  df-hlat 39852  df-llines 39999  df-lplanes 40000  df-lvols 40001  df-lines 40002  df-psubsp 40004  df-pmap 40005  df-padd 40297  df-lhyp 40489  df-laut 40490  df-ldil 40605  df-ltrn 40606  df-trl 40660  df-tgrp 41244  df-tendo 41256  df-edring 41258  df-dveca 41504  df-disoa 41530  df-dvech 41580  df-dib 41640  df-dic 41674  df-dih 41730  df-doch 41849  df-djh 41896  df-lcdual 42088  df-mapd 42126

This theorem is referenced by:  mapdlsm  42165