Theorem mapdlsmcl 39889

Description: Closure of dual subspace sum for the map defined by df-mapd 39851. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdlsmcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdlsmcl.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsmcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsmcl.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsmcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdlsmcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdlsmcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑀)
mapdlsmcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mapdlsmcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ ran 𝑀)

Proof of Theorem mapdlsmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdlsmcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdlsmcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdlsmcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 39818	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		mapdlsmcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑀)
6		mapdlsmcl.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
8	1, 6, 2, 7, 3	mapdrn2 39877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
9	5, 8	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝐶))
10		mapdlsmcl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝑀)
11	10, 8	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝐶))
12		mapdlsmcl.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
13	7, 12	lsmcl 20416	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝐶)) → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐶))
14	4, 9, 11, 13	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐶))
15	14, 8	eleqtrrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ ran 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ran crn 5606  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  LSSumclsm 19306  LModclmod 20194  LSubSpclss 20264  HLchlt 37576  LHypclh 38210  DVecHcdvh 39304  LCDualclcd 39812  mapdcmpd 39850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-riotaBAD 37179

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-tpos 8087  df-undef 8134  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-0g 17219  df-mre 17362  df-mrc 17363  df-acs 17365  df-proset 18080  df-poset 18098  df-plt 18115  df-lub 18131  df-glb 18132  df-join 18133  df-meet 18134  df-p0 18210  df-p1 18211  df-lat 18217  df-clat 18284  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-submnd 18498  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-subg 18819  df-cntz 18990  df-oppg 19017  df-lsm 19308  df-cmn 19455  df-abl 19456  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-oppr 19929  df-dvdsr 19950  df-unit 19951  df-invr 19981  df-dvr 19992  df-drng 20064  df-lmod 20196  df-lss 20265  df-lsp 20305  df-lvec 20436  df-lsatoms 37202  df-lshyp 37203  df-lcv 37245  df-lfl 37284  df-lkr 37312  df-ldual 37350  df-oposet 37402  df-ol 37404  df-oml 37405  df-covers 37492  df-ats 37493  df-atl 37524  df-cvlat 37548  df-hlat 37577  df-llines 37724  df-lplanes 37725  df-lvols 37726  df-lines 37727  df-psubsp 37729  df-pmap 37730  df-padd 38022  df-lhyp 38214  df-laut 38215  df-ldil 38330  df-ltrn 38331  df-trl 38385  df-tgrp 38969  df-tendo 38981  df-edring 38983  df-dveca 39229  df-disoa 39255  df-dvech 39305  df-dib 39365  df-dic 39399  df-dih 39455  df-doch 39574  df-djh 39621  df-lcdual 39813  df-mapd 39851

This theorem is referenced by:  mapdlsm  39890