Theorem mapdlsmcl 42521

Description: Closure of dual subspace sum for the map defined by df-mapd 42483. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdlsmcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdlsmcl.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsmcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsmcl.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsmcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdlsmcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdlsmcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑀)
mapdlsmcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mapdlsmcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ ran 𝑀)

Proof of Theorem mapdlsmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdlsmcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdlsmcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdlsmcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42450	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		mapdlsmcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑀)
6		mapdlsmcl.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
8	1, 6, 2, 7, 3	mapdrn2 42509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
9	5, 8	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝐶))
10		mapdlsmcl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝑀)
11	10, 8	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝐶))
12		mapdlsmcl.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
13	7, 12	lsmcl 21266	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝐶)) → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐶))
14	4, 9, 11, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐶))
15	14, 8	eleqtrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ ran 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  LSSumclsm 19760  LModclmod 21043  LSubSpclss 21114  HLchlt 40208  LHypclh 40842  DVecHcdvh 41936  LCDualclcd 42444  mapdcmpd 42482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-0g 17528  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-lub 18434  df-glb 18435  df-join 18436  df-meet 18437  df-p0 18513  df-p1 18514  df-lat 18522  df-clat 18589  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-oppg 19472  df-lsm 19762  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-nzr 20672  df-rlreg 20855  df-domn 20856  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lvec 21286  df-lsatoms 39834  df-lshyp 39835  df-lcv 39877  df-lfl 39916  df-lkr 39944  df-ldual 39982  df-oposet 40034  df-ol 40036  df-oml 40037  df-covers 40124  df-ats 40125  df-atl 40156  df-cvlat 40180  df-hlat 40209  df-llines 40356  df-lplanes 40357  df-lvols 40358  df-lines 40359  df-psubsp 40361  df-pmap 40362  df-padd 40654  df-lhyp 40846  df-laut 40847  df-ldil 40962  df-ltrn 40963  df-trl 41017  df-tgrp 41601  df-tendo 41613  df-edring 41615  df-dveca 41861  df-disoa 41887  df-dvech 41937  df-dib 41997  df-dic 42031  df-dih 42087  df-doch 42206  df-djh 42253  df-lcdual 42445  df-mapd 42483

This theorem is used by:  mapdlsm  42522