Theorem mapdh6N 42996

Description: Part (6) of [Baer] p. 47 line 6. Note that we use ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) which is equivalent to Baer's "Fx ∩ (Fy + Fz)" by lspdisjb 21434. TODO: If disjoint variable conditions with 𝐼 and 𝜑 become a problem later, use cbv* theorems on 𝐼 variables here to get rid of them. Maybe reorder hypotheses in lemmas to the more consistent order of this theorem, so they can be shared with this theorem. TODO: may be deleted (with its lemmas), if not needed, in view of hdmap1l6 43070. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh6.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh6.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh6.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh6.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh6.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh6.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh6.a	⊢ + = (+g‘𝐶)
mapdh6.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh6.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh6.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh6.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh6.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdh6.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
mapdh6.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6N	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   + ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   + ,ℎ,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥, ℎ)   𝐾(𝑥, ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥, ℎ)

Proof of Theorem mapdh6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh6.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh6.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh6.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh6.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh6.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh6.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh6.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdh6.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh6.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh6.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh6.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh6.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh6.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh6.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh6.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh6.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh6.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh6.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
19		mapdh6.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐶)
20		mapdh6.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
21		mapdh6.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
22		mapdh6.xn	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	mapdh6kN 42995	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cotp 4861   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  ℩crio 7399  (class class class)co 7443  1^st c1st 8023  2^nd c2nd 8024  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639  -_gcsg 19175  LSpanclspn 21276  HLchlt 40599  LHypclh 41233  DVecHcdvh 42327  LCDualclcd 42835  mapdcmpd 42873

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-riotaBAD 40202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-undef 8318  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-0g 17641  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-p1 18627  df-lat 18635  df-clat 18702  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-oppg 19590  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-nzr 20793  df-rlreg 20976  df-domn 20977  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-lvec 21408  df-lsatoms 40225  df-lshyp 40226  df-lcv 40268  df-lfl 40307  df-lkr 40335  df-ldual 40373  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-llines 40747  df-lplanes 40748  df-lvols 40749  df-lines 40750  df-psubsp 40752  df-pmap 40753  df-padd 41045  df-lhyp 41237  df-laut 41238  df-ldil 41353  df-ltrn 41354  df-trl 41408  df-tgrp 41992  df-tendo 42004  df-edring 42006  df-dveca 42252  df-disoa 42278  df-dvech 42328  df-dib 42388  df-dic 42422  df-dih 42478  df-doch 42597  df-djh 42644  df-lcdual 42836  df-mapd 42874

This theorem is used by: (None)