Theorem mapdh6N 42847

Description: Part (6) of [Baer] p. 47 line 6. Note that we use ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) which is equivalent to Baer's "Fx ∩ (Fy + Fz)" by lspdisjb 21404. TODO: If disjoint variable conditions with 𝐼 and 𝜑 become a problem later, use cbv* theorems on 𝐼 variables here to get rid of them. Maybe reorder hypotheses in lemmas to the more consistent order of this theorem, so they can be shared with this theorem. TODO: may be deleted (with its lemmas), if not needed, in view of hdmap1l6 42921. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh6.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh6.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh6.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh6.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh6.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh6.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh6.a	⊢ + = (+g‘𝐶)
mapdh6.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh6.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh6.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh6.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh6.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdh6.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
mapdh6.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6N	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   + ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   + ,ℎ,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥, ℎ)   𝐾(𝑥, ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥, ℎ)

Proof of Theorem mapdh6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh6.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh6.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh6.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh6.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh6.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh6.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh6.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdh6.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh6.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh6.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh6.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh6.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh6.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh6.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh6.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh6.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh6.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh6.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
19		mapdh6.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐶)
20		mapdh6.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
21		mapdh6.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
22		mapdh6.xn	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	mapdh6kN 42846	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  ifcif 4481  {csn 4583  {cpr 4585  ⟨cotp 4591   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  -_gcsg 19146  LSpanclspn 21246  HLchlt 40450  LHypclh 41084  DVecHcdvh 42178  LCDualclcd 42686  mapdcmpd 42724

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40053

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-oppg 19560  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-nzr 20763  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lsatoms 40076  df-lshyp 40077  df-lcv 40119  df-lfl 40158  df-lkr 40186  df-ldual 40224  df-oposet 40276  df-ol 40278  df-oml 40279  df-covers 40366  df-ats 40367  df-atl 40398  df-cvlat 40422  df-hlat 40451  df-llines 40598  df-lplanes 40599  df-lvols 40600  df-lines 40601  df-psubsp 40603  df-pmap 40604  df-padd 40896  df-lhyp 41088  df-laut 41089  df-ldil 41204  df-ltrn 41205  df-trl 41259  df-tgrp 41843  df-tendo 41855  df-edring 41857  df-dveca 42103  df-disoa 42129  df-dvech 42179  df-dib 42239  df-dic 42273  df-dih 42329  df-doch 42448  df-djh 42495  df-lcdual 42687  df-mapd 42725

This theorem is used by: (None)