Theorem mapdh6N 41746

Description: Part (6) of [Baer] p. 47 line 6. Note that we use ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) which is equivalent to Baer's "Fx ∩ (Fy + Fz)" by lspdisjb 21033. TODO: If disjoint variable conditions with 𝐼 and 𝜑 become a problem later, use cbv* theorems on 𝐼 variables here to get rid of them. Maybe reorder hypotheses in lemmas to the more consistent order of this theorem, so they can be shared with this theorem. TODO: may be deleted (with its lemmas), if not needed, in view of hdmap1l6 41820. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh6.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh6.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh6.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh6.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh6.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh6.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh6.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdh6.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh6.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh6.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh6.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh6.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdh6.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
mapdh6.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6N	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   ✚ ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   + ,ℎ,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   ✚ (𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh6.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh6.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh6.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh6.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh6.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh6.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh6.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdh6.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh6.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh6.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh6.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh6.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh6.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh6.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh6.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh6.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh6.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh6.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
19		mapdh6.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
20		mapdh6.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
21		mapdh6.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
22		mapdh6.xn	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	mapdh6kN 41745	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900  ifcif 4476  {csn 4577  {cpr 4579  ⟨cotp 4585   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  ℩crio 7305  (class class class)co 7349  1^st c1st 7922  2^nd c2nd 7923  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  -_gcsg 18814  LSpanclspn 20874  HLchlt 39349  LHypclh 39983  DVecHcdvh 41077  LCDualclcd 41585  mapdcmpd 41623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 38952

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-undef 8206  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-oppg 19225  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-nzr 20398  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007  df-lsatoms 38975  df-lshyp 38976  df-lcv 39018  df-lfl 39057  df-lkr 39085  df-ldual 39123  df-oposet 39175  df-ol 39177  df-oml 39178  df-covers 39265  df-ats 39266  df-atl 39297  df-cvlat 39321  df-hlat 39350  df-llines 39497  df-lplanes 39498  df-lvols 39499  df-lines 39500  df-psubsp 39502  df-pmap 39503  df-padd 39795  df-lhyp 39987  df-laut 39988  df-ldil 40103  df-ltrn 40104  df-trl 40158  df-tgrp 40742  df-tendo 40754  df-edring 40756  df-dveca 41002  df-disoa 41028  df-dvech 41078  df-dib 41138  df-dic 41172  df-dih 41228  df-doch 41347  df-djh 41394  df-lcdual 41586  df-mapd 41624

This theorem is referenced by: (None)