Theorem dvhlvec 41479

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41478	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371  inv_gcminusg 18876  LVecclvec 21066  HLchlt 39720  LHypclh 40354  LTrncltrn 40471  TEndoctendo 41122  DVecHcdvh 41448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39323

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lvec 21067  df-oposet 39546  df-ol 39548  df-oml 39549  df-covers 39636  df-ats 39637  df-atl 39668  df-cvlat 39692  df-hlat 39721  df-llines 39868  df-lplanes 39869  df-lvols 39870  df-lines 39871  df-psubsp 39873  df-pmap 39874  df-padd 40166  df-lhyp 40358  df-laut 40359  df-ldil 40474  df-ltrn 40475  df-trl 40529  df-tendo 41125  df-edring 41127  df-dvech 41449

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41480  dih1dimatlem  41699  dihlspsnssN  41702  dihlspsnat  41703  dihpN  41706  dihlatat  41707  dochsat  41753  dochshpncl  41754  dochlkr  41755  dochkrshp  41756  dochkrshp3  41758  dvh2dimatN  41810  dvh3dim3N  41819  dochsatshp  41821  dochsatshpb  41822  dochexmidat  41829  dochexmidlem3  41832  dochsnkr  41842  dochsnkr2  41843  dochflcl  41845  dochfl1  41846  dochkr1  41848  dochkr1OLDN  41849  lcfl6lem  41868  lcfl7lem  41869  lcfl9a  41875  lclkrlem1  41876  lclkrlem2a  41877  lclkrlem2e  41881  lclkrlem2g  41883  lclkrlem2h  41884  lclkrlem2o  41891  lclkrlem2p  41892  lclkrlem2q  41893  lclkrlem2s  41895  lclkrlem2v  41898  lclkrslem1  41907  lcfrvalsnN  41911  lcfrlem16  41928  lcfrlem20  41932  lcfrlem25  41937  lcfrlem29  41941  lcfrlem31  41943  lcfrlem33  41945  lcfrlem35  41947  lcdlvec  41961  lcdlkreqN  41992  lcdlkreq2N  41993  mapdordlem2  42007  mapdsn3  42013  mapdrvallem2  42015  mapdcnvatN  42036  mapdat  42037  mapdpglem10  42051  mapdpglem15  42056  mapdpglem17N  42058  mapdpglem18  42059  mapdpglem19  42060  mapdpglem21  42062  mapdpglem22  42063  mapdheq4lem  42101  mapdheq4  42102  mapdh6lem1N  42103  mapdh6lem2N  42104  mapdh6aN  42105  mapdh6b0N  42106  mapdh6bN  42107  mapdh6cN  42108  mapdh6dN  42109  mapdh6eN  42110  mapdh6fN  42111  mapdh6hN  42113  mapdh7eN  42118  mapdh7dN  42120  mapdh7fN  42121  mapdh75fN  42125  mapdh8aa  42146  mapdh8ab  42147  mapdh8ad  42149  mapdh8b  42150  mapdh8c  42151  mapdh8d0N  42152  mapdh8d  42153  mapdh8e  42154  mapdh9a  42159  mapdh9aOLDN  42160  hdmap1eq4N  42176  hdmap1l6lem1  42177  hdmap1l6lem2  42178  hdmap1l6a  42179  hdmap1l6b0N  42180  hdmap1l6b  42181  hdmap1l6c  42182  hdmap1l6d  42183  hdmap1l6e  42184  hdmap1l6f  42185  hdmap1l6h  42187  hdmap1eulemOLDN  42193  hdmapval0  42203  hdmapval3lemN  42207  hdmap10lem  42209  hdmap11lem1  42211  hdmap11lem2  42212  hdmaprnlem4N  42223  hdmaprnlem3eN  42228  hdmap14lem1a  42236  hdmap14lem4a  42241  hdmap14lem11  42248  hgmap11  42272  hdmaplkr  42283  hdmapip1  42286  hgmapvvlem1  42293  hgmapvvlem2  42294  hgmapvvlem3  42295  hlhillvec  42321