Theorem dvhlvec 40283

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2730	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 40282	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  ._rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·_𝑠 cvsca 17205  0_gc0g 17389  inv_gcminusg 18856  LVecclvec 20857  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  TEndoctendo 39926  DVecHcdvh 40252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lvec 20858  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dvech 40253

This theorem is referenced by:  dvhlmod  40284  dih1dimatlem  40503  dihlspsnssN  40506  dihlspsnat  40507  dihpN  40510  dihlatat  40511  dochsat  40557  dochshpncl  40558  dochlkr  40559  dochkrshp  40560  dochkrshp3  40562  dvh2dimatN  40614  dvh3dim3N  40623  dochsatshp  40625  dochsatshpb  40626  dochexmidat  40633  dochexmidlem3  40636  dochsnkr  40646  dochsnkr2  40647  dochflcl  40649  dochfl1  40650  dochkr1  40652  dochkr1OLDN  40653  lcfl6lem  40672  lcfl7lem  40673  lcfl9a  40679  lclkrlem1  40680  lclkrlem2a  40681  lclkrlem2e  40685  lclkrlem2g  40687  lclkrlem2h  40688  lclkrlem2o  40695  lclkrlem2p  40696  lclkrlem2q  40697  lclkrlem2s  40699  lclkrlem2v  40702  lclkrslem1  40711  lcfrvalsnN  40715  lcfrlem16  40732  lcfrlem20  40736  lcfrlem25  40741  lcfrlem29  40745  lcfrlem31  40747  lcfrlem33  40749  lcfrlem35  40751  lcdlvec  40765  lcdlkreqN  40796  lcdlkreq2N  40797  mapdordlem2  40811  mapdsn3  40817  mapdrvallem2  40819  mapdcnvatN  40840  mapdat  40841  mapdpglem10  40855  mapdpglem15  40860  mapdpglem17N  40862  mapdpglem18  40863  mapdpglem19  40864  mapdpglem21  40866  mapdpglem22  40867  mapdheq4lem  40905  mapdheq4  40906  mapdh6lem1N  40907  mapdh6lem2N  40908  mapdh6aN  40909  mapdh6b0N  40910  mapdh6bN  40911  mapdh6cN  40912  mapdh6dN  40913  mapdh6eN  40914  mapdh6fN  40915  mapdh6hN  40917  mapdh7eN  40922  mapdh7dN  40924  mapdh7fN  40925  mapdh75fN  40929  mapdh8aa  40950  mapdh8ab  40951  mapdh8ad  40953  mapdh8b  40954  mapdh8c  40955  mapdh8d0N  40956  mapdh8d  40957  mapdh8e  40958  mapdh9a  40963  mapdh9aOLDN  40964  hdmap1eq4N  40980  hdmap1l6lem1  40981  hdmap1l6lem2  40982  hdmap1l6a  40983  hdmap1l6b0N  40984  hdmap1l6b  40985  hdmap1l6c  40986  hdmap1l6d  40987  hdmap1l6e  40988  hdmap1l6f  40989  hdmap1l6h  40991  hdmap1eulemOLDN  40997  hdmapval0  41007  hdmapval3lemN  41011  hdmap10lem  41013  hdmap11lem1  41015  hdmap11lem2  41016  hdmaprnlem4N  41027  hdmaprnlem3eN  41032  hdmap14lem1a  41040  hdmap14lem4a  41045  hdmap14lem11  41052  hgmap11  41076  hdmaplkr  41087  hdmapip1  41090  hgmapvvlem1  41097  hgmapvvlem2  41098  hgmapvvlem3  41099  hlhillvec  41129