Theorem dvhlvec 41228

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41227	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  ._rcmulr 17164  Scalarcsca 17166   ·_𝑠 cvsca 17167  0_gc0g 17345  inv_gcminusg 18849  LVecclvec 21038  HLchlt 39469  LHypclh 40103  LTrncltrn 40220  TEndoctendo 40871  DVecHcdvh 41197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-riotaBAD 39072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-0g 17347  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-drng 20648  df-lmod 20797  df-lvec 21039  df-oposet 39295  df-ol 39297  df-oml 39298  df-covers 39385  df-ats 39386  df-atl 39417  df-cvlat 39441  df-hlat 39470  df-llines 39617  df-lplanes 39618  df-lvols 39619  df-lines 39620  df-psubsp 39622  df-pmap 39623  df-padd 39915  df-lhyp 40107  df-laut 40108  df-ldil 40223  df-ltrn 40224  df-trl 40278  df-tendo 40874  df-edring 40876  df-dvech 41198

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41229  dih1dimatlem  41448  dihlspsnssN  41451  dihlspsnat  41452  dihpN  41455  dihlatat  41456  dochsat  41502  dochshpncl  41503  dochlkr  41504  dochkrshp  41505  dochkrshp3  41507  dvh2dimatN  41559  dvh3dim3N  41568  dochsatshp  41570  dochsatshpb  41571  dochexmidat  41578  dochexmidlem3  41581  dochsnkr  41591  dochsnkr2  41592  dochflcl  41594  dochfl1  41595  dochkr1  41597  dochkr1OLDN  41598  lcfl6lem  41617  lcfl7lem  41618  lcfl9a  41624  lclkrlem1  41625  lclkrlem2a  41626  lclkrlem2e  41630  lclkrlem2g  41632  lclkrlem2h  41633  lclkrlem2o  41640  lclkrlem2p  41641  lclkrlem2q  41642  lclkrlem2s  41644  lclkrlem2v  41647  lclkrslem1  41656  lcfrvalsnN  41660  lcfrlem16  41677  lcfrlem20  41681  lcfrlem25  41686  lcfrlem29  41690  lcfrlem31  41692  lcfrlem33  41694  lcfrlem35  41696  lcdlvec  41710  lcdlkreqN  41741  lcdlkreq2N  41742  mapdordlem2  41756  mapdsn3  41762  mapdrvallem2  41764  mapdcnvatN  41785  mapdat  41786  mapdpglem10  41800  mapdpglem15  41805  mapdpglem17N  41807  mapdpglem18  41808  mapdpglem19  41809  mapdpglem21  41811  mapdpglem22  41812  mapdheq4lem  41850  mapdheq4  41851  mapdh6lem1N  41852  mapdh6lem2N  41853  mapdh6aN  41854  mapdh6b0N  41855  mapdh6bN  41856  mapdh6cN  41857  mapdh6dN  41858  mapdh6eN  41859  mapdh6fN  41860  mapdh6hN  41862  mapdh7eN  41867  mapdh7dN  41869  mapdh7fN  41870  mapdh75fN  41874  mapdh8aa  41895  mapdh8ab  41896  mapdh8ad  41898  mapdh8b  41899  mapdh8c  41900  mapdh8d0N  41901  mapdh8d  41902  mapdh8e  41903  mapdh9a  41908  mapdh9aOLDN  41909  hdmap1eq4N  41925  hdmap1l6lem1  41926  hdmap1l6lem2  41927  hdmap1l6a  41928  hdmap1l6b0N  41929  hdmap1l6b  41930  hdmap1l6c  41931  hdmap1l6d  41932  hdmap1l6e  41933  hdmap1l6f  41934  hdmap1l6h  41936  hdmap1eulemOLDN  41942  hdmapval0  41952  hdmapval3lemN  41956  hdmap10lem  41958  hdmap11lem1  41960  hdmap11lem2  41961  hdmaprnlem4N  41972  hdmaprnlem3eN  41977  hdmap14lem1a  41985  hdmap14lem4a  41990  hdmap14lem11  41997  hgmap11  42021  hdmaplkr  42032  hdmapip1  42035  hgmapvvlem1  42042  hgmapvvlem2  42043  hgmapvvlem3  42044  hlhillvec  42070