Theorem dvhlvec 41133

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458  inv_gcminusg 18922  LVecclvec 21065  HLchlt 39373  LHypclh 40008  LTrncltrn 40125  TEndoctendo 40776  DVecHcdvh 41102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-riotaBAD 38976

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-0g 17460  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lvec 21066  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-llines 39522  df-lplanes 39523  df-lvols 39524  df-lines 39525  df-psubsp 39527  df-pmap 39528  df-padd 39820  df-lhyp 40012  df-laut 40013  df-ldil 40128  df-ltrn 40129  df-trl 40183  df-tendo 40779  df-edring 40781  df-dvech 41103

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41134  dih1dimatlem  41353  dihlspsnssN  41356  dihlspsnat  41357  dihpN  41360  dihlatat  41361  dochsat  41407  dochshpncl  41408  dochlkr  41409  dochkrshp  41410  dochkrshp3  41412  dvh2dimatN  41464  dvh3dim3N  41473  dochsatshp  41475  dochsatshpb  41476  dochexmidat  41483  dochexmidlem3  41486  dochsnkr  41496  dochsnkr2  41497  dochflcl  41499  dochfl1  41500  dochkr1  41502  dochkr1OLDN  41503  lcfl6lem  41522  lcfl7lem  41523  lcfl9a  41529  lclkrlem1  41530  lclkrlem2a  41531  lclkrlem2e  41535  lclkrlem2g  41537  lclkrlem2h  41538  lclkrlem2o  41545  lclkrlem2p  41546  lclkrlem2q  41547  lclkrlem2s  41549  lclkrlem2v  41552  lclkrslem1  41561  lcfrvalsnN  41565  lcfrlem16  41582  lcfrlem20  41586  lcfrlem25  41591  lcfrlem29  41595  lcfrlem31  41597  lcfrlem33  41599  lcfrlem35  41601  lcdlvec  41615  lcdlkreqN  41646  lcdlkreq2N  41647  mapdordlem2  41661  mapdsn3  41667  mapdrvallem2  41669  mapdcnvatN  41690  mapdat  41691  mapdpglem10  41705  mapdpglem15  41710  mapdpglem17N  41712  mapdpglem18  41713  mapdpglem19  41714  mapdpglem21  41716  mapdpglem22  41717  mapdheq4lem  41755  mapdheq4  41756  mapdh6lem1N  41757  mapdh6lem2N  41758  mapdh6aN  41759  mapdh6b0N  41760  mapdh6bN  41761  mapdh6cN  41762  mapdh6dN  41763  mapdh6eN  41764  mapdh6fN  41765  mapdh6hN  41767  mapdh7eN  41772  mapdh7dN  41774  mapdh7fN  41775  mapdh75fN  41779  mapdh8aa  41800  mapdh8ab  41801  mapdh8ad  41803  mapdh8b  41804  mapdh8c  41805  mapdh8d0N  41806  mapdh8d  41807  mapdh8e  41808  mapdh9a  41813  mapdh9aOLDN  41814  hdmap1eq4N  41830  hdmap1l6lem1  41831  hdmap1l6lem2  41832  hdmap1l6a  41833  hdmap1l6b0N  41834  hdmap1l6b  41835  hdmap1l6c  41836  hdmap1l6d  41837  hdmap1l6e  41838  hdmap1l6f  41839  hdmap1l6h  41841  hdmap1eulemOLDN  41847  hdmapval0  41857  hdmapval3lemN  41861  hdmap10lem  41863  hdmap11lem1  41865  hdmap11lem2  41866  hdmaprnlem4N  41877  hdmaprnlem3eN  41882  hdmap14lem1a  41890  hdmap14lem4a  41895  hdmap14lem11  41902  hgmap11  41926  hdmaplkr  41937  hdmapip1  41940  hgmapvvlem1  41947  hgmapvvlem2  41948  hgmapvvlem3  41949  hlhillvec  41975