Theorem dvhlvec 41555

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41554	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  inv_gcminusg 18910  LVecclvec 21097  HLchlt 39796  LHypclh 40430  LTrncltrn 40547  TEndoctendo 41198  DVecHcdvh 41524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lvec 21098  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-dvech 41525

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41556  dih1dimatlem  41775  dihlspsnssN  41778  dihlspsnat  41779  dihpN  41782  dihlatat  41783  dochsat  41829  dochshpncl  41830  dochlkr  41831  dochkrshp  41832  dochkrshp3  41834  dvh2dimatN  41886  dvh3dim3N  41895  dochsatshp  41897  dochsatshpb  41898  dochexmidat  41905  dochexmidlem3  41908  dochsnkr  41918  dochsnkr2  41919  dochflcl  41921  dochfl1  41922  dochkr1  41924  dochkr1OLDN  41925  lcfl6lem  41944  lcfl7lem  41945  lcfl9a  41951  lclkrlem1  41952  lclkrlem2a  41953  lclkrlem2e  41957  lclkrlem2g  41959  lclkrlem2h  41960  lclkrlem2o  41967  lclkrlem2p  41968  lclkrlem2q  41969  lclkrlem2s  41971  lclkrlem2v  41974  lclkrslem1  41983  lcfrvalsnN  41987  lcfrlem16  42004  lcfrlem20  42008  lcfrlem25  42013  lcfrlem29  42017  lcfrlem31  42019  lcfrlem33  42021  lcfrlem35  42023  lcdlvec  42037  lcdlkreqN  42068  lcdlkreq2N  42069  mapdordlem2  42083  mapdsn3  42089  mapdrvallem2  42091  mapdcnvatN  42112  mapdat  42113  mapdpglem10  42127  mapdpglem15  42132  mapdpglem17N  42134  mapdpglem18  42135  mapdpglem19  42136  mapdpglem21  42138  mapdpglem22  42139  mapdheq4lem  42177  mapdheq4  42178  mapdh6lem1N  42179  mapdh6lem2N  42180  mapdh6aN  42181  mapdh6b0N  42182  mapdh6bN  42183  mapdh6cN  42184  mapdh6dN  42185  mapdh6eN  42186  mapdh6fN  42187  mapdh6hN  42189  mapdh7eN  42194  mapdh7dN  42196  mapdh7fN  42197  mapdh75fN  42201  mapdh8aa  42222  mapdh8ab  42223  mapdh8ad  42225  mapdh8b  42226  mapdh8c  42227  mapdh8d0N  42228  mapdh8d  42229  mapdh8e  42230  mapdh9a  42235  mapdh9aOLDN  42236  hdmap1eq4N  42252  hdmap1l6lem1  42253  hdmap1l6lem2  42254  hdmap1l6a  42255  hdmap1l6b0N  42256  hdmap1l6b  42257  hdmap1l6c  42258  hdmap1l6d  42259  hdmap1l6e  42260  hdmap1l6f  42261  hdmap1l6h  42263  hdmap1eulemOLDN  42269  hdmapval0  42279  hdmapval3lemN  42283  hdmap10lem  42285  hdmap11lem1  42287  hdmap11lem2  42288  hdmaprnlem4N  42299  hdmaprnlem3eN  42304  hdmap14lem1a  42312  hdmap14lem4a  42317  hdmap14lem11  42324  hgmap11  42348  hdmaplkr  42359  hdmapip1  42362  hgmapvvlem1  42369  hgmapvvlem2  42370  hgmapvvlem3  42371  hlhillvec  42397