Theorem dvhlvec 41092

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2735	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41091	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  inv_gcminusg 18965  LVecclvec 21119  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  TEndoctendo 40735  DVecHcdvh 41061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lvec 21120  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dvech 41062

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41093  dih1dimatlem  41312  dihlspsnssN  41315  dihlspsnat  41316  dihpN  41319  dihlatat  41320  dochsat  41366  dochshpncl  41367  dochlkr  41368  dochkrshp  41369  dochkrshp3  41371  dvh2dimatN  41423  dvh3dim3N  41432  dochsatshp  41434  dochsatshpb  41435  dochexmidat  41442  dochexmidlem3  41445  dochsnkr  41455  dochsnkr2  41456  dochflcl  41458  dochfl1  41459  dochkr1  41461  dochkr1OLDN  41462  lcfl6lem  41481  lcfl7lem  41482  lcfl9a  41488  lclkrlem1  41489  lclkrlem2a  41490  lclkrlem2e  41494  lclkrlem2g  41496  lclkrlem2h  41497  lclkrlem2o  41504  lclkrlem2p  41505  lclkrlem2q  41506  lclkrlem2s  41508  lclkrlem2v  41511  lclkrslem1  41520  lcfrvalsnN  41524  lcfrlem16  41541  lcfrlem20  41545  lcfrlem25  41550  lcfrlem29  41554  lcfrlem31  41556  lcfrlem33  41558  lcfrlem35  41560  lcdlvec  41574  lcdlkreqN  41605  lcdlkreq2N  41606  mapdordlem2  41620  mapdsn3  41626  mapdrvallem2  41628  mapdcnvatN  41649  mapdat  41650  mapdpglem10  41664  mapdpglem15  41669  mapdpglem17N  41671  mapdpglem18  41672  mapdpglem19  41673  mapdpglem21  41675  mapdpglem22  41676  mapdheq4lem  41714  mapdheq4  41715  mapdh6lem1N  41716  mapdh6lem2N  41717  mapdh6aN  41718  mapdh6b0N  41719  mapdh6bN  41720  mapdh6cN  41721  mapdh6dN  41722  mapdh6eN  41723  mapdh6fN  41724  mapdh6hN  41726  mapdh7eN  41731  mapdh7dN  41733  mapdh7fN  41734  mapdh75fN  41738  mapdh8aa  41759  mapdh8ab  41760  mapdh8ad  41762  mapdh8b  41763  mapdh8c  41764  mapdh8d0N  41765  mapdh8d  41766  mapdh8e  41767  mapdh9a  41772  mapdh9aOLDN  41773  hdmap1eq4N  41789  hdmap1l6lem1  41790  hdmap1l6lem2  41791  hdmap1l6a  41792  hdmap1l6b0N  41793  hdmap1l6b  41794  hdmap1l6c  41795  hdmap1l6d  41796  hdmap1l6e  41797  hdmap1l6f  41798  hdmap1l6h  41800  hdmap1eulemOLDN  41806  hdmapval0  41816  hdmapval3lemN  41820  hdmap10lem  41822  hdmap11lem1  41824  hdmap11lem2  41825  hdmaprnlem4N  41836  hdmaprnlem3eN  41841  hdmap14lem1a  41849  hdmap14lem4a  41854  hdmap14lem11  41861  hgmap11  41885  hdmaplkr  41896  hdmapip1  41899  hgmapvvlem1  41906  hgmapvvlem2  41907  hgmapvvlem3  41908  hlhillvec  41938