Theorem dvhlvec 41861

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41860	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17493  inv_gcminusg 19002  LVecclvec 21204  HLchlt 40102  LHypclh 40736  LTrncltrn 40853  TEndoctendo 41504  DVecHcdvh 41830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-riotaBAD 39705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lvec 21205  df-oposet 39928  df-ol 39930  df-oml 39931  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103  df-llines 40250  df-lplanes 40251  df-lvols 40252  df-lines 40253  df-psubsp 40255  df-pmap 40256  df-padd 40548  df-lhyp 40740  df-laut 40741  df-ldil 40856  df-ltrn 40857  df-trl 40911  df-tendo 41507  df-edring 41509  df-dvech 41831

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41862  dih1dimatlem  42081  dihlspsnssN  42084  dihlspsnat  42085  dihpN  42088  dihlatat  42089  dochsat  42135  dochshpncl  42136  dochlkr  42137  dochkrshp  42138  dochkrshp3  42140  dvh2dimatN  42192  dvh3dim3N  42201  dochsatshp  42203  dochsatshpb  42204  dochexmidat  42211  dochexmidlem3  42214  dochsnkr  42224  dochsnkr2  42225  dochflcl  42227  dochfl1  42228  dochkr1  42230  dochkr1OLDN  42231  lcfl6lem  42250  lcfl7lem  42251  lcfl9a  42257  lclkrlem1  42258  lclkrlem2a  42259  lclkrlem2e  42263  lclkrlem2g  42265  lclkrlem2h  42266  lclkrlem2o  42273  lclkrlem2p  42274  lclkrlem2q  42275  lclkrlem2s  42277  lclkrlem2v  42280  lclkrslem1  42289  lcfrvalsnN  42293  lcfrlem16  42310  lcfrlem20  42314  lcfrlem25  42319  lcfrlem29  42323  lcfrlem31  42325  lcfrlem33  42327  lcfrlem35  42329  lcdlvec  42343  lcdlkreqN  42374  lcdlkreq2N  42375  mapdordlem2  42389  mapdsn3  42395  mapdrvallem2  42397  mapdcnvatN  42418  mapdat  42419  mapdpglem10  42433  mapdpglem15  42438  mapdpglem17N  42440  mapdpglem18  42441  mapdpglem19  42442  mapdpglem21  42444  mapdpglem22  42445  mapdheq4lem  42483  mapdheq4  42484  mapdh6lem1N  42485  mapdh6lem2N  42486  mapdh6aN  42487  mapdh6b0N  42488  mapdh6bN  42489  mapdh6cN  42490  mapdh6dN  42491  mapdh6eN  42492  mapdh6fN  42493  mapdh6hN  42495  mapdh7eN  42500  mapdh7dN  42502  mapdh7fN  42503  mapdh75fN  42507  mapdh8aa  42528  mapdh8ab  42529  mapdh8ad  42531  mapdh8b  42532  mapdh8c  42533  mapdh8d0N  42534  mapdh8d  42535  mapdh8e  42536  mapdh9a  42541  mapdh9aOLDN  42542  hdmap1eq4N  42558  hdmap1l6lem1  42559  hdmap1l6lem2  42560  hdmap1l6a  42561  hdmap1l6b0N  42562  hdmap1l6b  42563  hdmap1l6c  42564  hdmap1l6d  42565  hdmap1l6e  42566  hdmap1l6f  42567  hdmap1l6h  42569  hdmap1eulemOLDN  42575  hdmapval0  42585  hdmapval3lemN  42589  hdmap10lem  42591  hdmap11lem1  42593  hdmap11lem2  42594  hdmaprnlem4N  42605  hdmaprnlem3eN  42610  hdmap14lem1a  42618  hdmap14lem4a  42623  hdmap14lem11  42630  hgmap11  42654  hdmaplkr  42665  hdmapip1  42668  hgmapvvlem1  42675  hgmapvvlem2  42676  hgmapvvlem3  42677  hlhillvec  42703