Theorem dvhlvec 38405

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2798	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2798	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2798	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2798	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2798	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2798	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 38404	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  inv_gcminusg 18096  LVecclvec 19867  HLchlt 36646  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  TEndoctendo 38048  DVecHcdvh 38374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lvec 19868  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455  df-tendo 38051  df-edring 38053  df-dvech 38375

This theorem is referenced by:  dvhlmod  38406  dih1dimatlem  38625  dihlspsnssN  38628  dihlspsnat  38629  dihpN  38632  dihlatat  38633  dochsat  38679  dochshpncl  38680  dochlkr  38681  dochkrshp  38682  dochkrshp3  38684  dvh2dimatN  38736  dvh3dim3N  38745  dochsatshp  38747  dochsatshpb  38748  dochexmidat  38755  dochexmidlem3  38758  dochsnkr  38768  dochsnkr2  38769  dochflcl  38771  dochfl1  38772  dochkr1  38774  dochkr1OLDN  38775  lcfl6lem  38794  lcfl7lem  38795  lcfl9a  38801  lclkrlem1  38802  lclkrlem2a  38803  lclkrlem2e  38807  lclkrlem2g  38809  lclkrlem2h  38810  lclkrlem2o  38817  lclkrlem2p  38818  lclkrlem2q  38819  lclkrlem2s  38821  lclkrlem2v  38824  lclkrslem1  38833  lcfrvalsnN  38837  lcfrlem16  38854  lcfrlem20  38858  lcfrlem25  38863  lcfrlem29  38867  lcfrlem31  38869  lcfrlem33  38871  lcfrlem35  38873  lcdlvec  38887  lcdlkreqN  38918  lcdlkreq2N  38919  mapdordlem2  38933  mapdsn3  38939  mapdrvallem2  38941  mapdcnvatN  38962  mapdat  38963  mapdpglem10  38977  mapdpglem15  38982  mapdpglem17N  38984  mapdpglem18  38985  mapdpglem19  38986  mapdpglem21  38988  mapdpglem22  38989  mapdheq4lem  39027  mapdheq4  39028  mapdh6lem1N  39029  mapdh6lem2N  39030  mapdh6aN  39031  mapdh6b0N  39032  mapdh6bN  39033  mapdh6cN  39034  mapdh6dN  39035  mapdh6eN  39036  mapdh6fN  39037  mapdh6hN  39039  mapdh7eN  39044  mapdh7dN  39046  mapdh7fN  39047  mapdh75fN  39051  mapdh8aa  39072  mapdh8ab  39073  mapdh8ad  39075  mapdh8b  39076  mapdh8c  39077  mapdh8d0N  39078  mapdh8d  39079  mapdh8e  39080  mapdh9a  39085  mapdh9aOLDN  39086  hdmap1eq4N  39102  hdmap1l6lem1  39103  hdmap1l6lem2  39104  hdmap1l6a  39105  hdmap1l6b0N  39106  hdmap1l6b  39107  hdmap1l6c  39108  hdmap1l6d  39109  hdmap1l6e  39110  hdmap1l6f  39111  hdmap1l6h  39113  hdmap1eulemOLDN  39119  hdmapval0  39129  hdmapval3lemN  39133  hdmap10lem  39135  hdmap11lem1  39137  hdmap11lem2  39138  hdmaprnlem4N  39149  hdmaprnlem3eN  39154  hdmap14lem1a  39162  hdmap14lem4a  39167  hdmap14lem11  39174  hgmap11  39198  hdmaplkr  39209  hdmapip1  39212  hgmapvvlem1  39219  hgmapvvlem2  39220  hgmapvvlem3  39221  hlhillvec  39247