Theorem dvhlvec 38247

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2823	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2823	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2823	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2823	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2823	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2823	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2823	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2823	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 38246	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715  inv_gcminusg 18106  LVecclvec 19876  HLchlt 36488  LHypclh 37122  LTrncltrn 37239  TEndoctendo 37890  DVecHcdvh 38216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lvec 19877  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-dvech 38217

This theorem is referenced by:  dvhlmod  38248  dih1dimatlem  38467  dihlspsnssN  38470  dihlspsnat  38471  dihpN  38474  dihlatat  38475  dochsat  38521  dochshpncl  38522  dochlkr  38523  dochkrshp  38524  dochkrshp3  38526  dvh2dimatN  38578  dvh3dim3N  38587  dochsatshp  38589  dochsatshpb  38590  dochexmidat  38597  dochexmidlem3  38600  dochsnkr  38610  dochsnkr2  38611  dochflcl  38613  dochfl1  38614  dochkr1  38616  dochkr1OLDN  38617  lcfl6lem  38636  lcfl7lem  38637  lcfl9a  38643  lclkrlem1  38644  lclkrlem2a  38645  lclkrlem2e  38649  lclkrlem2g  38651  lclkrlem2h  38652  lclkrlem2o  38659  lclkrlem2p  38660  lclkrlem2q  38661  lclkrlem2s  38663  lclkrlem2v  38666  lclkrslem1  38675  lcfrvalsnN  38679  lcfrlem16  38696  lcfrlem20  38700  lcfrlem25  38705  lcfrlem29  38709  lcfrlem31  38711  lcfrlem33  38713  lcfrlem35  38715  lcdlvec  38729  lcdlkreqN  38760  lcdlkreq2N  38761  mapdordlem2  38775  mapdsn3  38781  mapdrvallem2  38783  mapdcnvatN  38804  mapdat  38805  mapdpglem10  38819  mapdpglem15  38824  mapdpglem17N  38826  mapdpglem18  38827  mapdpglem19  38828  mapdpglem21  38830  mapdpglem22  38831  mapdheq4lem  38869  mapdheq4  38870  mapdh6lem1N  38871  mapdh6lem2N  38872  mapdh6aN  38873  mapdh6b0N  38874  mapdh6bN  38875  mapdh6cN  38876  mapdh6dN  38877  mapdh6eN  38878  mapdh6fN  38879  mapdh6hN  38881  mapdh7eN  38886  mapdh7dN  38888  mapdh7fN  38889  mapdh75fN  38893  mapdh8aa  38914  mapdh8ab  38915  mapdh8ad  38917  mapdh8b  38918  mapdh8c  38919  mapdh8d0N  38920  mapdh8d  38921  mapdh8e  38922  mapdh9a  38927  mapdh9aOLDN  38928  hdmap1eq4N  38944  hdmap1l6lem1  38945  hdmap1l6lem2  38946  hdmap1l6a  38947  hdmap1l6b0N  38948  hdmap1l6b  38949  hdmap1l6c  38950  hdmap1l6d  38951  hdmap1l6e  38952  hdmap1l6f  38953  hdmap1l6h  38955  hdmap1eulemOLDN  38961  hdmapval0  38971  hdmapval3lemN  38975  hdmap10lem  38977  hdmap11lem1  38979  hdmap11lem2  38980  hdmaprnlem4N  38991  hdmaprnlem3eN  38996  hdmap14lem1a  39004  hdmap14lem4a  39009  hdmap14lem11  39016  hgmap11  39040  hdmaplkr  39051  hdmapip1  39054  hgmapvvlem1  39061  hgmapvvlem2  39062  hgmapvvlem3  39063  hlhillvec  39089