Theorem dvhlvec 41745

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2765	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41744	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  ._rcmulr 17301  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  inv_gcminusg 18991  LVecclvec 21192  HLchlt 39986  LHypclh 40620  LTrncltrn 40737  TEndoctendo 41388  DVecHcdvh 41714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39589

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-0g 17484  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-p1 18470  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lvec 21193  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-llines 40134  df-lplanes 40135  df-lvols 40136  df-lines 40137  df-psubsp 40139  df-pmap 40140  df-padd 40432  df-lhyp 40624  df-laut 40625  df-ldil 40740  df-ltrn 40741  df-trl 40795  df-tendo 41391  df-edring 41393  df-dvech 41715

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41746  dih1dimatlem  41965  dihlspsnssN  41968  dihlspsnat  41969  dihpN  41972  dihlatat  41973  dochsat  42019  dochshpncl  42020  dochlkr  42021  dochkrshp  42022  dochkrshp3  42024  dvh2dimatN  42076  dvh3dim3N  42085  dochsatshp  42087  dochsatshpb  42088  dochexmidat  42095  dochexmidlem3  42098  dochsnkr  42108  dochsnkr2  42109  dochflcl  42111  dochfl1  42112  dochkr1  42114  dochkr1OLDN  42115  lcfl6lem  42134  lcfl7lem  42135  lcfl9a  42141  lclkrlem1  42142  lclkrlem2a  42143  lclkrlem2e  42147  lclkrlem2g  42149  lclkrlem2h  42150  lclkrlem2o  42157  lclkrlem2p  42158  lclkrlem2q  42159  lclkrlem2s  42161  lclkrlem2v  42164  lclkrslem1  42173  lcfrvalsnN  42177  lcfrlem16  42194  lcfrlem20  42198  lcfrlem25  42203  lcfrlem29  42207  lcfrlem31  42209  lcfrlem33  42211  lcfrlem35  42213  lcdlvec  42227  lcdlkreqN  42258  lcdlkreq2N  42259  mapdordlem2  42273  mapdsn3  42279  mapdrvallem2  42281  mapdcnvatN  42302  mapdat  42303  mapdpglem10  42317  mapdpglem15  42322  mapdpglem17N  42324  mapdpglem18  42325  mapdpglem19  42326  mapdpglem21  42328  mapdpglem22  42329  mapdheq4lem  42367  mapdheq4  42368  mapdh6lem1N  42369  mapdh6lem2N  42370  mapdh6aN  42371  mapdh6b0N  42372  mapdh6bN  42373  mapdh6cN  42374  mapdh6dN  42375  mapdh6eN  42376  mapdh6fN  42377  mapdh6hN  42379  mapdh7eN  42384  mapdh7dN  42386  mapdh7fN  42387  mapdh75fN  42391  mapdh8aa  42412  mapdh8ab  42413  mapdh8ad  42415  mapdh8b  42416  mapdh8c  42417  mapdh8d0N  42418  mapdh8d  42419  mapdh8e  42420  mapdh9a  42425  mapdh9aOLDN  42426  hdmap1eq4N  42442  hdmap1l6lem1  42443  hdmap1l6lem2  42444  hdmap1l6a  42445  hdmap1l6b0N  42446  hdmap1l6b  42447  hdmap1l6c  42448  hdmap1l6d  42449  hdmap1l6e  42450  hdmap1l6f  42451  hdmap1l6h  42453  hdmap1eulemOLDN  42459  hdmapval0  42469  hdmapval3lemN  42473  hdmap10lem  42475  hdmap11lem1  42477  hdmap11lem2  42478  hdmaprnlem4N  42489  hdmaprnlem3eN  42494  hdmap14lem1a  42502  hdmap14lem4a  42507  hdmap14lem11  42514  hgmap11  42538  hdmaplkr  42549  hdmapip1  42552  hgmapvvlem1  42559  hgmapvvlem2  42560  hgmapvvlem3  42561  hlhillvec  42587