Theorem dvhlvec 39969

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 39968	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  Basecbs 17141  +_gcplusg 17194  ._rcmulr 17195  Scalarcsca 17197   ·_𝑠 cvsca 17198  0_gc0g 17382  inv_gcminusg 18817  LVecclvec 20706  HLchlt 38209  LHypclh 38844  LTrncltrn 38961  TEndoctendo 39612  DVecHcdvh 39938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 37812

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-0g 17384  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lvec 20707  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-lplanes 38359  df-lvols 38360  df-lines 38361  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019  df-tendo 39615  df-edring 39617  df-dvech 39939

This theorem is referenced by:  dvhlmod  39970  dih1dimatlem  40189  dihlspsnssN  40192  dihlspsnat  40193  dihpN  40196  dihlatat  40197  dochsat  40243  dochshpncl  40244  dochlkr  40245  dochkrshp  40246  dochkrshp3  40248  dvh2dimatN  40300  dvh3dim3N  40309  dochsatshp  40311  dochsatshpb  40312  dochexmidat  40319  dochexmidlem3  40322  dochsnkr  40332  dochsnkr2  40333  dochflcl  40335  dochfl1  40336  dochkr1  40338  dochkr1OLDN  40339  lcfl6lem  40358  lcfl7lem  40359  lcfl9a  40365  lclkrlem1  40366  lclkrlem2a  40367  lclkrlem2e  40371  lclkrlem2g  40373  lclkrlem2h  40374  lclkrlem2o  40381  lclkrlem2p  40382  lclkrlem2q  40383  lclkrlem2s  40385  lclkrlem2v  40388  lclkrslem1  40397  lcfrvalsnN  40401  lcfrlem16  40418  lcfrlem20  40422  lcfrlem25  40427  lcfrlem29  40431  lcfrlem31  40433  lcfrlem33  40435  lcfrlem35  40437  lcdlvec  40451  lcdlkreqN  40482  lcdlkreq2N  40483  mapdordlem2  40497  mapdsn3  40503  mapdrvallem2  40505  mapdcnvatN  40526  mapdat  40527  mapdpglem10  40541  mapdpglem15  40546  mapdpglem17N  40548  mapdpglem18  40549  mapdpglem19  40550  mapdpglem21  40552  mapdpglem22  40553  mapdheq4lem  40591  mapdheq4  40592  mapdh6lem1N  40593  mapdh6lem2N  40594  mapdh6aN  40595  mapdh6b0N  40596  mapdh6bN  40597  mapdh6cN  40598  mapdh6dN  40599  mapdh6eN  40600  mapdh6fN  40601  mapdh6hN  40603  mapdh7eN  40608  mapdh7dN  40610  mapdh7fN  40611  mapdh75fN  40615  mapdh8aa  40636  mapdh8ab  40637  mapdh8ad  40639  mapdh8b  40640  mapdh8c  40641  mapdh8d0N  40642  mapdh8d  40643  mapdh8e  40644  mapdh9a  40649  mapdh9aOLDN  40650  hdmap1eq4N  40666  hdmap1l6lem1  40667  hdmap1l6lem2  40668  hdmap1l6a  40669  hdmap1l6b0N  40670  hdmap1l6b  40671  hdmap1l6c  40672  hdmap1l6d  40673  hdmap1l6e  40674  hdmap1l6f  40675  hdmap1l6h  40677  hdmap1eulemOLDN  40683  hdmapval0  40693  hdmapval3lemN  40697  hdmap10lem  40699  hdmap11lem1  40701  hdmap11lem2  40702  hdmaprnlem4N  40713  hdmaprnlem3eN  40718  hdmap14lem1a  40726  hdmap14lem4a  40731  hdmap14lem11  40738  hgmap11  40762  hdmaplkr  40773  hdmapip1  40776  hgmapvvlem1  40783  hgmapvvlem2  40784  hgmapvvlem3  40785  hlhillvec  40815