Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlvec 39458
Description: The full vector space π‘ˆ constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane π‘Š) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhlvec.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhlvec.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlvec (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 eqid 2738 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 eqid 2738 . . 3 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2738 . . 3 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dvhlvec.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2738 . . 3 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2738 . . 3 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
9 eqid 2738 . . 3 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
10 eqid 2738 . . 3 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
11 eqid 2738 . . 3 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
12 eqid 2738 . . 3 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2738 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 39457 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
151, 14syl 17 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6492  Basecbs 17018  +gcplusg 17068  .rcmulr 17069  Scalarcsca 17071   ·𝑠 cvsca 17072  0gc0g 17256  invgcminusg 18684  LVecclvec 20486  HLchlt 37698  LHypclh 38333  LTrncltrn 38450  TEndoctendo 39101  DVecHcdvh 39427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-riotaBAD 37301
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-undef 8172  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-0g 17258  df-proset 18119  df-poset 18137  df-plt 18154  df-lub 18170  df-glb 18171  df-join 18172  df-meet 18173  df-p0 18249  df-p1 18250  df-lat 18256  df-clat 18323  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-oppr 19972  df-dvdsr 19993  df-unit 19994  df-invr 20024  df-dvr 20035  df-drng 20110  df-lmod 20247  df-lvec 20487  df-oposet 37524  df-ol 37526  df-oml 37527  df-covers 37614  df-ats 37615  df-atl 37646  df-cvlat 37670  df-hlat 37699  df-llines 37847  df-lplanes 37848  df-lvols 37849  df-lines 37850  df-psubsp 37852  df-pmap 37853  df-padd 38145  df-lhyp 38337  df-laut 38338  df-ldil 38453  df-ltrn 38454  df-trl 38508  df-tendo 39104  df-edring 39106  df-dvech 39428
This theorem is referenced by:  dvhlmod  39459  dih1dimatlem  39678  dihlspsnssN  39681  dihlspsnat  39682  dihpN  39685  dihlatat  39686  dochsat  39732  dochshpncl  39733  dochlkr  39734  dochkrshp  39735  dochkrshp3  39737  dvh2dimatN  39789  dvh3dim3N  39798  dochsatshp  39800  dochsatshpb  39801  dochexmidat  39808  dochexmidlem3  39811  dochsnkr  39821  dochsnkr2  39822  dochflcl  39824  dochfl1  39825  dochkr1  39827  dochkr1OLDN  39828  lcfl6lem  39847  lcfl7lem  39848  lcfl9a  39854  lclkrlem1  39855  lclkrlem2a  39856  lclkrlem2e  39860  lclkrlem2g  39862  lclkrlem2h  39863  lclkrlem2o  39870  lclkrlem2p  39871  lclkrlem2q  39872  lclkrlem2s  39874  lclkrlem2v  39877  lclkrslem1  39886  lcfrvalsnN  39890  lcfrlem16  39907  lcfrlem20  39911  lcfrlem25  39916  lcfrlem29  39920  lcfrlem31  39922  lcfrlem33  39924  lcfrlem35  39926  lcdlvec  39940  lcdlkreqN  39971  lcdlkreq2N  39972  mapdordlem2  39986  mapdsn3  39992  mapdrvallem2  39994  mapdcnvatN  40015  mapdat  40016  mapdpglem10  40030  mapdpglem15  40035  mapdpglem17N  40037  mapdpglem18  40038  mapdpglem19  40039  mapdpglem21  40041  mapdpglem22  40042  mapdheq4lem  40080  mapdheq4  40081  mapdh6lem1N  40082  mapdh6lem2N  40083  mapdh6aN  40084  mapdh6b0N  40085  mapdh6bN  40086  mapdh6cN  40087  mapdh6dN  40088  mapdh6eN  40089  mapdh6fN  40090  mapdh6hN  40092  mapdh7eN  40097  mapdh7dN  40099  mapdh7fN  40100  mapdh75fN  40104  mapdh8aa  40125  mapdh8ab  40126  mapdh8ad  40128  mapdh8b  40129  mapdh8c  40130  mapdh8d0N  40131  mapdh8d  40132  mapdh8e  40133  mapdh9a  40138  mapdh9aOLDN  40139  hdmap1eq4N  40155  hdmap1l6lem1  40156  hdmap1l6lem2  40157  hdmap1l6a  40158  hdmap1l6b0N  40159  hdmap1l6b  40160  hdmap1l6c  40161  hdmap1l6d  40162  hdmap1l6e  40163  hdmap1l6f  40164  hdmap1l6h  40166  hdmap1eulemOLDN  40172  hdmapval0  40182  hdmapval3lemN  40186  hdmap10lem  40188  hdmap11lem1  40190  hdmap11lem2  40191  hdmaprnlem4N  40202  hdmaprnlem3eN  40207  hdmap14lem1a  40215  hdmap14lem4a  40220  hdmap14lem11  40227  hgmap11  40251  hdmaplkr  40262  hdmapip1  40265  hgmapvvlem1  40272  hgmapvvlem2  40273  hgmapvvlem3  40274  hlhillvec  40304
  Copyright terms: Public domain W3C validator