Theorem dvhlvec 39130

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2739	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2739	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2739	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2739	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2739	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2739	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2739	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 39129	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6437  Basecbs 16921  +_gcplusg 16971  ._rcmulr 16972  Scalarcsca 16974   ·_𝑠 cvsca 16975  0_gc0g 17159  inv_gcminusg 18587  LVecclvec 20373  HLchlt 37371  LHypclh 38005  LTrncltrn 38122  TEndoctendo 38773  DVecHcdvh 39099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-riotaBAD 36974

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-tpos 8051  df-undef 8098  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-0g 17161  df-proset 18022  df-poset 18040  df-plt 18057  df-lub 18073  df-glb 18074  df-join 18075  df-meet 18076  df-p0 18152  df-p1 18153  df-lat 18159  df-clat 18226  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-grp 18589  df-minusg 18590  df-mgp 19730  df-ur 19747  df-ring 19794  df-oppr 19871  df-dvdsr 19892  df-unit 19893  df-invr 19923  df-dvr 19934  df-drng 20002  df-lmod 20134  df-lvec 20374  df-oposet 37197  df-ol 37199  df-oml 37200  df-covers 37287  df-ats 37288  df-atl 37319  df-cvlat 37343  df-hlat 37372  df-llines 37519  df-lplanes 37520  df-lvols 37521  df-lines 37522  df-psubsp 37524  df-pmap 37525  df-padd 37817  df-lhyp 38009  df-laut 38010  df-ldil 38125  df-ltrn 38126  df-trl 38180  df-tendo 38776  df-edring 38778  df-dvech 39100

This theorem is referenced by:  dvhlmod  39131  dih1dimatlem  39350  dihlspsnssN  39353  dihlspsnat  39354  dihpN  39357  dihlatat  39358  dochsat  39404  dochshpncl  39405  dochlkr  39406  dochkrshp  39407  dochkrshp3  39409  dvh2dimatN  39461  dvh3dim3N  39470  dochsatshp  39472  dochsatshpb  39473  dochexmidat  39480  dochexmidlem3  39483  dochsnkr  39493  dochsnkr2  39494  dochflcl  39496  dochfl1  39497  dochkr1  39499  dochkr1OLDN  39500  lcfl6lem  39519  lcfl7lem  39520  lcfl9a  39526  lclkrlem1  39527  lclkrlem2a  39528  lclkrlem2e  39532  lclkrlem2g  39534  lclkrlem2h  39535  lclkrlem2o  39542  lclkrlem2p  39543  lclkrlem2q  39544  lclkrlem2s  39546  lclkrlem2v  39549  lclkrslem1  39558  lcfrvalsnN  39562  lcfrlem16  39579  lcfrlem20  39583  lcfrlem25  39588  lcfrlem29  39592  lcfrlem31  39594  lcfrlem33  39596  lcfrlem35  39598  lcdlvec  39612  lcdlkreqN  39643  lcdlkreq2N  39644  mapdordlem2  39658  mapdsn3  39664  mapdrvallem2  39666  mapdcnvatN  39687  mapdat  39688  mapdpglem10  39702  mapdpglem15  39707  mapdpglem17N  39709  mapdpglem18  39710  mapdpglem19  39711  mapdpglem21  39713  mapdpglem22  39714  mapdheq4lem  39752  mapdheq4  39753  mapdh6lem1N  39754  mapdh6lem2N  39755  mapdh6aN  39756  mapdh6b0N  39757  mapdh6bN  39758  mapdh6cN  39759  mapdh6dN  39760  mapdh6eN  39761  mapdh6fN  39762  mapdh6hN  39764  mapdh7eN  39769  mapdh7dN  39771  mapdh7fN  39772  mapdh75fN  39776  mapdh8aa  39797  mapdh8ab  39798  mapdh8ad  39800  mapdh8b  39801  mapdh8c  39802  mapdh8d0N  39803  mapdh8d  39804  mapdh8e  39805  mapdh9a  39810  mapdh9aOLDN  39811  hdmap1eq4N  39827  hdmap1l6lem1  39828  hdmap1l6lem2  39829  hdmap1l6a  39830  hdmap1l6b0N  39831  hdmap1l6b  39832  hdmap1l6c  39833  hdmap1l6d  39834  hdmap1l6e  39835  hdmap1l6f  39836  hdmap1l6h  39838  hdmap1eulemOLDN  39844  hdmapval0  39854  hdmapval3lemN  39858  hdmap10lem  39860  hdmap11lem1  39862  hdmap11lem2  39863  hdmaprnlem4N  39874  hdmaprnlem3eN  39879  hdmap14lem1a  39887  hdmap14lem4a  39892  hdmap14lem11  39899  hgmap11  39923  hdmaplkr  39934  hdmapip1  39937  hgmapvvlem1  39944  hgmapvvlem2  39945  hgmapvvlem3  39946  hlhillvec  39976