Theorem dvhlvec 39980

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 39979	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·_𝑠 cvsca 17201  0_gc0g 17385  inv_gcminusg 18820  LVecclvec 20713  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  TEndoctendo 39623  DVecHcdvh 39949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lvec 20714  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dvech 39950

This theorem is referenced by:  dvhlmod  39981  dih1dimatlem  40200  dihlspsnssN  40203  dihlspsnat  40204  dihpN  40207  dihlatat  40208  dochsat  40254  dochshpncl  40255  dochlkr  40256  dochkrshp  40257  dochkrshp3  40259  dvh2dimatN  40311  dvh3dim3N  40320  dochsatshp  40322  dochsatshpb  40323  dochexmidat  40330  dochexmidlem3  40333  dochsnkr  40343  dochsnkr2  40344  dochflcl  40346  dochfl1  40347  dochkr1  40349  dochkr1OLDN  40350  lcfl6lem  40369  lcfl7lem  40370  lcfl9a  40376  lclkrlem1  40377  lclkrlem2a  40378  lclkrlem2e  40382  lclkrlem2g  40384  lclkrlem2h  40385  lclkrlem2o  40392  lclkrlem2p  40393  lclkrlem2q  40394  lclkrlem2s  40396  lclkrlem2v  40399  lclkrslem1  40408  lcfrvalsnN  40412  lcfrlem16  40429  lcfrlem20  40433  lcfrlem25  40438  lcfrlem29  40442  lcfrlem31  40444  lcfrlem33  40446  lcfrlem35  40448  lcdlvec  40462  lcdlkreqN  40493  lcdlkreq2N  40494  mapdordlem2  40508  mapdsn3  40514  mapdrvallem2  40516  mapdcnvatN  40537  mapdat  40538  mapdpglem10  40552  mapdpglem15  40557  mapdpglem17N  40559  mapdpglem18  40560  mapdpglem19  40561  mapdpglem21  40563  mapdpglem22  40564  mapdheq4lem  40602  mapdheq4  40603  mapdh6lem1N  40604  mapdh6lem2N  40605  mapdh6aN  40606  mapdh6b0N  40607  mapdh6bN  40608  mapdh6cN  40609  mapdh6dN  40610  mapdh6eN  40611  mapdh6fN  40612  mapdh6hN  40614  mapdh7eN  40619  mapdh7dN  40621  mapdh7fN  40622  mapdh75fN  40626  mapdh8aa  40647  mapdh8ab  40648  mapdh8ad  40650  mapdh8b  40651  mapdh8c  40652  mapdh8d0N  40653  mapdh8d  40654  mapdh8e  40655  mapdh9a  40660  mapdh9aOLDN  40661  hdmap1eq4N  40677  hdmap1l6lem1  40678  hdmap1l6lem2  40679  hdmap1l6a  40680  hdmap1l6b0N  40681  hdmap1l6b  40682  hdmap1l6c  40683  hdmap1l6d  40684  hdmap1l6e  40685  hdmap1l6f  40686  hdmap1l6h  40688  hdmap1eulemOLDN  40694  hdmapval0  40704  hdmapval3lemN  40708  hdmap10lem  40710  hdmap11lem1  40712  hdmap11lem2  40713  hdmaprnlem4N  40724  hdmaprnlem3eN  40729  hdmap14lem1a  40737  hdmap14lem4a  40742  hdmap14lem11  40749  hgmap11  40773  hdmaplkr  40784  hdmapip1  40787  hgmapvvlem1  40794  hgmapvvlem2  40795  hgmapvvlem3  40796  hlhillvec  40826