Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlvec 38131
Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlvec (𝜑𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 eqid 2826 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2826 . . 3 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2826 . . 3 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 dvhlvec.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2826 . . 3 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8 eqid 2826 . . 3 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9 eqid 2826 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
10 eqid 2826 . . 3 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11 eqid 2826 . . 3 (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12 eqid 2826 . . 3 (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13 eqid 2826 . . 3 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 38130 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
151, 14syl 17 1 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708  invgcminusg 18049  LVecclvec 19810  HLchlt 36372  LHypclh 37006  LTrncltrn 37123  TEndoctendo 37774  DVecHcdvh 38100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 35975
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-drng 19440  df-lmod 19572  df-lvec 19811  df-oposet 36198  df-ol 36200  df-oml 36201  df-covers 36288  df-ats 36289  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373  df-llines 36520  df-lplanes 36521  df-lvols 36522  df-lines 36523  df-psubsp 36525  df-pmap 36526  df-padd 36818  df-lhyp 37010  df-laut 37011  df-ldil 37126  df-ltrn 37127  df-trl 37181  df-tendo 37777  df-edring 37779  df-dvech 38101
This theorem is referenced by:  dvhlmod  38132  dih1dimatlem  38351  dihlspsnssN  38354  dihlspsnat  38355  dihpN  38358  dihlatat  38359  dochsat  38405  dochshpncl  38406  dochlkr  38407  dochkrshp  38408  dochkrshp3  38410  dvh2dimatN  38462  dvh3dim3N  38471  dochsatshp  38473  dochsatshpb  38474  dochexmidat  38481  dochexmidlem3  38484  dochsnkr  38494  dochsnkr2  38495  dochflcl  38497  dochfl1  38498  dochkr1  38500  dochkr1OLDN  38501  lcfl6lem  38520  lcfl7lem  38521  lcfl9a  38527  lclkrlem1  38528  lclkrlem2a  38529  lclkrlem2e  38533  lclkrlem2g  38535  lclkrlem2h  38536  lclkrlem2o  38543  lclkrlem2p  38544  lclkrlem2q  38545  lclkrlem2s  38547  lclkrlem2v  38550  lclkrslem1  38559  lcfrvalsnN  38563  lcfrlem16  38580  lcfrlem20  38584  lcfrlem25  38589  lcfrlem29  38593  lcfrlem31  38595  lcfrlem33  38597  lcfrlem35  38599  lcdlvec  38613  lcdlkreqN  38644  lcdlkreq2N  38645  mapdordlem2  38659  mapdsn3  38665  mapdrvallem2  38667  mapdcnvatN  38688  mapdat  38689  mapdpglem10  38703  mapdpglem15  38708  mapdpglem17N  38710  mapdpglem18  38711  mapdpglem19  38712  mapdpglem21  38714  mapdpglem22  38715  mapdheq4lem  38753  mapdheq4  38754  mapdh6lem1N  38755  mapdh6lem2N  38756  mapdh6aN  38757  mapdh6b0N  38758  mapdh6bN  38759  mapdh6cN  38760  mapdh6dN  38761  mapdh6eN  38762  mapdh6fN  38763  mapdh6hN  38765  mapdh7eN  38770  mapdh7dN  38772  mapdh7fN  38773  mapdh75fN  38777  mapdh8aa  38798  mapdh8ab  38799  mapdh8ad  38801  mapdh8b  38802  mapdh8c  38803  mapdh8d0N  38804  mapdh8d  38805  mapdh8e  38806  mapdh9a  38811  mapdh9aOLDN  38812  hdmap1eq4N  38828  hdmap1l6lem1  38829  hdmap1l6lem2  38830  hdmap1l6a  38831  hdmap1l6b0N  38832  hdmap1l6b  38833  hdmap1l6c  38834  hdmap1l6d  38835  hdmap1l6e  38836  hdmap1l6f  38837  hdmap1l6h  38839  hdmap1eulemOLDN  38845  hdmapval0  38855  hdmapval3lemN  38859  hdmap10lem  38861  hdmap11lem1  38863  hdmap11lem2  38864  hdmaprnlem4N  38875  hdmaprnlem3eN  38880  hdmap14lem1a  38888  hdmap14lem4a  38893  hdmap14lem11  38900  hgmap11  38924  hdmaplkr  38935  hdmapip1  38938  hgmapvvlem1  38945  hgmapvvlem2  38946  hgmapvvlem3  38947  hlhillvec  38973
  Copyright terms: Public domain W3C validator