Theorem dvhlvec 41365

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41364	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  inv_gcminusg 18864  LVecclvec 21054  HLchlt 39606  LHypclh 40240  LTrncltrn 40357  TEndoctendo 41008  DVecHcdvh 41334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-riotaBAD 39209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lvec 21055  df-oposet 39432  df-ol 39434  df-oml 39435  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607  df-llines 39754  df-lplanes 39755  df-lvols 39756  df-lines 39757  df-psubsp 39759  df-pmap 39760  df-padd 40052  df-lhyp 40244  df-laut 40245  df-ldil 40360  df-ltrn 40361  df-trl 40415  df-tendo 41011  df-edring 41013  df-dvech 41335

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41366  dih1dimatlem  41585  dihlspsnssN  41588  dihlspsnat  41589  dihpN  41592  dihlatat  41593  dochsat  41639  dochshpncl  41640  dochlkr  41641  dochkrshp  41642  dochkrshp3  41644  dvh2dimatN  41696  dvh3dim3N  41705  dochsatshp  41707  dochsatshpb  41708  dochexmidat  41715  dochexmidlem3  41718  dochsnkr  41728  dochsnkr2  41729  dochflcl  41731  dochfl1  41732  dochkr1  41734  dochkr1OLDN  41735  lcfl6lem  41754  lcfl7lem  41755  lcfl9a  41761  lclkrlem1  41762  lclkrlem2a  41763  lclkrlem2e  41767  lclkrlem2g  41769  lclkrlem2h  41770  lclkrlem2o  41777  lclkrlem2p  41778  lclkrlem2q  41779  lclkrlem2s  41781  lclkrlem2v  41784  lclkrslem1  41793  lcfrvalsnN  41797  lcfrlem16  41814  lcfrlem20  41818  lcfrlem25  41823  lcfrlem29  41827  lcfrlem31  41829  lcfrlem33  41831  lcfrlem35  41833  lcdlvec  41847  lcdlkreqN  41878  lcdlkreq2N  41879  mapdordlem2  41893  mapdsn3  41899  mapdrvallem2  41901  mapdcnvatN  41922  mapdat  41923  mapdpglem10  41937  mapdpglem15  41942  mapdpglem17N  41944  mapdpglem18  41945  mapdpglem19  41946  mapdpglem21  41948  mapdpglem22  41949  mapdheq4lem  41987  mapdheq4  41988  mapdh6lem1N  41989  mapdh6lem2N  41990  mapdh6aN  41991  mapdh6b0N  41992  mapdh6bN  41993  mapdh6cN  41994  mapdh6dN  41995  mapdh6eN  41996  mapdh6fN  41997  mapdh6hN  41999  mapdh7eN  42004  mapdh7dN  42006  mapdh7fN  42007  mapdh75fN  42011  mapdh8aa  42032  mapdh8ab  42033  mapdh8ad  42035  mapdh8b  42036  mapdh8c  42037  mapdh8d0N  42038  mapdh8d  42039  mapdh8e  42040  mapdh9a  42045  mapdh9aOLDN  42046  hdmap1eq4N  42062  hdmap1l6lem1  42063  hdmap1l6lem2  42064  hdmap1l6a  42065  hdmap1l6b0N  42066  hdmap1l6b  42067  hdmap1l6c  42068  hdmap1l6d  42069  hdmap1l6e  42070  hdmap1l6f  42071  hdmap1l6h  42073  hdmap1eulemOLDN  42079  hdmapval0  42089  hdmapval3lemN  42093  hdmap10lem  42095  hdmap11lem1  42097  hdmap11lem2  42098  hdmaprnlem4N  42109  hdmaprnlem3eN  42114  hdmap14lem1a  42122  hdmap14lem4a  42127  hdmap14lem11  42134  hgmap11  42158  hdmaplkr  42169  hdmapip1  42172  hgmapvvlem1  42179  hgmapvvlem2  42180  hgmapvvlem3  42181  hlhillvec  42207