Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhlvec 39468
Description: The full vector space π‘ˆ constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane π‘Š) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhlvec.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhlvec.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
dvhlvec (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 eqid 2738 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 dvhlvec.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 eqid 2738 . . 3 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2738 . . 3 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dvhlvec.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2738 . . 3 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2738 . . 3 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
9 eqid 2738 . . 3 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
10 eqid 2738 . . 3 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
11 eqid 2738 . . 3 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
12 eqid 2738 . . 3 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2738 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 39467 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
151, 14syl 17 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6492  Basecbs 17018  +gcplusg 17068  .rcmulr 17069  Scalarcsca 17071   ·𝑠 cvsca 17072  0gc0g 17256  invgcminusg 18684  LVecclvec 20487  HLchlt 37708  LHypclh 38343  LTrncltrn 38460  TEndoctendo 39111  DVecHcdvh 39437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-riotaBAD 37311
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-undef 8172  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-0g 17258  df-proset 18119  df-poset 18137  df-plt 18154  df-lub 18170  df-glb 18171  df-join 18172  df-meet 18173  df-p0 18249  df-p1 18250  df-lat 18256  df-clat 18323  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-mgp 19827  df-ur 19844  df-ring 19891  df-oppr 19973  df-dvdsr 19994  df-unit 19995  df-invr 20025  df-dvr 20036  df-drng 20111  df-lmod 20248  df-lvec 20488  df-oposet 37534  df-ol 37536  df-oml 37537  df-covers 37624  df-ats 37625  df-atl 37656  df-cvlat 37680  df-hlat 37709  df-llines 37857  df-lplanes 37858  df-lvols 37859  df-lines 37860  df-psubsp 37862  df-pmap 37863  df-padd 38155  df-lhyp 38347  df-laut 38348  df-ldil 38463  df-ltrn 38464  df-trl 38518  df-tendo 39114  df-edring 39116  df-dvech 39438
This theorem is referenced by:  dvhlmod  39469  dih1dimatlem  39688  dihlspsnssN  39691  dihlspsnat  39692  dihpN  39695  dihlatat  39696  dochsat  39742  dochshpncl  39743  dochlkr  39744  dochkrshp  39745  dochkrshp3  39747  dvh2dimatN  39799  dvh3dim3N  39808  dochsatshp  39810  dochsatshpb  39811  dochexmidat  39818  dochexmidlem3  39821  dochsnkr  39831  dochsnkr2  39832  dochflcl  39834  dochfl1  39835  dochkr1  39837  dochkr1OLDN  39838  lcfl6lem  39857  lcfl7lem  39858  lcfl9a  39864  lclkrlem1  39865  lclkrlem2a  39866  lclkrlem2e  39870  lclkrlem2g  39872  lclkrlem2h  39873  lclkrlem2o  39880  lclkrlem2p  39881  lclkrlem2q  39882  lclkrlem2s  39884  lclkrlem2v  39887  lclkrslem1  39896  lcfrvalsnN  39900  lcfrlem16  39917  lcfrlem20  39921  lcfrlem25  39926  lcfrlem29  39930  lcfrlem31  39932  lcfrlem33  39934  lcfrlem35  39936  lcdlvec  39950  lcdlkreqN  39981  lcdlkreq2N  39982  mapdordlem2  39996  mapdsn3  40002  mapdrvallem2  40004  mapdcnvatN  40025  mapdat  40026  mapdpglem10  40040  mapdpglem15  40045  mapdpglem17N  40047  mapdpglem18  40048  mapdpglem19  40049  mapdpglem21  40051  mapdpglem22  40052  mapdheq4lem  40090  mapdheq4  40091  mapdh6lem1N  40092  mapdh6lem2N  40093  mapdh6aN  40094  mapdh6b0N  40095  mapdh6bN  40096  mapdh6cN  40097  mapdh6dN  40098  mapdh6eN  40099  mapdh6fN  40100  mapdh6hN  40102  mapdh7eN  40107  mapdh7dN  40109  mapdh7fN  40110  mapdh75fN  40114  mapdh8aa  40135  mapdh8ab  40136  mapdh8ad  40138  mapdh8b  40139  mapdh8c  40140  mapdh8d0N  40141  mapdh8d  40142  mapdh8e  40143  mapdh9a  40148  mapdh9aOLDN  40149  hdmap1eq4N  40165  hdmap1l6lem1  40166  hdmap1l6lem2  40167  hdmap1l6a  40168  hdmap1l6b0N  40169  hdmap1l6b  40170  hdmap1l6c  40171  hdmap1l6d  40172  hdmap1l6e  40173  hdmap1l6f  40174  hdmap1l6h  40176  hdmap1eulemOLDN  40182  hdmapval0  40192  hdmapval3lemN  40196  hdmap10lem  40198  hdmap11lem1  40200  hdmap11lem2  40201  hdmaprnlem4N  40212  hdmaprnlem3eN  40217  hdmap14lem1a  40225  hdmap14lem4a  40230  hdmap14lem11  40237  hgmap11  40261  hdmaplkr  40272  hdmapip1  40275  hgmapvvlem1  40282  hgmapvvlem2  40283  hgmapvvlem3  40284  hlhillvec  40314
  Copyright terms: Public domain W3C validator