Theorem dvhlvec 41147

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2731	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41146	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  ._rcmulr 17159  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  0_gc0g 17340  inv_gcminusg 18844  LVecclvec 21034  HLchlt 39388  LHypclh 40022  LTrncltrn 40139  TEndoctendo 40790  DVecHcdvh 41116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-riotaBAD 38991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-0g 17342  df-proset 18197  df-poset 18216  df-plt 18231  df-lub 18247  df-glb 18248  df-join 18249  df-meet 18250  df-p0 18326  df-p1 18327  df-lat 18335  df-clat 18402  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lvec 21035  df-oposet 39214  df-ol 39216  df-oml 39217  df-covers 39304  df-ats 39305  df-atl 39336  df-cvlat 39360  df-hlat 39389  df-llines 39536  df-lplanes 39537  df-lvols 39538  df-lines 39539  df-psubsp 39541  df-pmap 39542  df-padd 39834  df-lhyp 40026  df-laut 40027  df-ldil 40142  df-ltrn 40143  df-trl 40197  df-tendo 40793  df-edring 40795  df-dvech 41117

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41148  dih1dimatlem  41367  dihlspsnssN  41370  dihlspsnat  41371  dihpN  41374  dihlatat  41375  dochsat  41421  dochshpncl  41422  dochlkr  41423  dochkrshp  41424  dochkrshp3  41426  dvh2dimatN  41478  dvh3dim3N  41487  dochsatshp  41489  dochsatshpb  41490  dochexmidat  41497  dochexmidlem3  41500  dochsnkr  41510  dochsnkr2  41511  dochflcl  41513  dochfl1  41514  dochkr1  41516  dochkr1OLDN  41517  lcfl6lem  41536  lcfl7lem  41537  lcfl9a  41543  lclkrlem1  41544  lclkrlem2a  41545  lclkrlem2e  41549  lclkrlem2g  41551  lclkrlem2h  41552  lclkrlem2o  41559  lclkrlem2p  41560  lclkrlem2q  41561  lclkrlem2s  41563  lclkrlem2v  41566  lclkrslem1  41575  lcfrvalsnN  41579  lcfrlem16  41596  lcfrlem20  41600  lcfrlem25  41605  lcfrlem29  41609  lcfrlem31  41611  lcfrlem33  41613  lcfrlem35  41615  lcdlvec  41629  lcdlkreqN  41660  lcdlkreq2N  41661  mapdordlem2  41675  mapdsn3  41681  mapdrvallem2  41683  mapdcnvatN  41704  mapdat  41705  mapdpglem10  41719  mapdpglem15  41724  mapdpglem17N  41726  mapdpglem18  41727  mapdpglem19  41728  mapdpglem21  41730  mapdpglem22  41731  mapdheq4lem  41769  mapdheq4  41770  mapdh6lem1N  41771  mapdh6lem2N  41772  mapdh6aN  41773  mapdh6b0N  41774  mapdh6bN  41775  mapdh6cN  41776  mapdh6dN  41777  mapdh6eN  41778  mapdh6fN  41779  mapdh6hN  41781  mapdh7eN  41786  mapdh7dN  41788  mapdh7fN  41789  mapdh75fN  41793  mapdh8aa  41814  mapdh8ab  41815  mapdh8ad  41817  mapdh8b  41818  mapdh8c  41819  mapdh8d0N  41820  mapdh8d  41821  mapdh8e  41822  mapdh9a  41827  mapdh9aOLDN  41828  hdmap1eq4N  41844  hdmap1l6lem1  41845  hdmap1l6lem2  41846  hdmap1l6a  41847  hdmap1l6b0N  41848  hdmap1l6b  41849  hdmap1l6c  41850  hdmap1l6d  41851  hdmap1l6e  41852  hdmap1l6f  41853  hdmap1l6h  41855  hdmap1eulemOLDN  41861  hdmapval0  41871  hdmapval3lemN  41875  hdmap10lem  41877  hdmap11lem1  41879  hdmap11lem2  41880  hdmaprnlem4N  41891  hdmaprnlem3eN  41896  hdmap14lem1a  41904  hdmap14lem4a  41909  hdmap14lem11  41916  hgmap11  41940  hdmaplkr  41951  hdmapip1  41954  hgmapvvlem1  41961  hgmapvvlem2  41962  hgmapvvlem3  41963  hlhillvec  41989