Theorem dvhlvec 41088

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 41087	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17361  inv_gcminusg 18831  LVecclvec 21024  HLchlt 39328  LHypclh 39963  LTrncltrn 40080  TEndoctendo 40731  DVecHcdvh 41057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 38931

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17363  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lvec 21025  df-oposet 39154  df-ol 39156  df-oml 39157  df-covers 39244  df-ats 39245  df-atl 39276  df-cvlat 39300  df-hlat 39329  df-llines 39477  df-lplanes 39478  df-lvols 39479  df-lines 39480  df-psubsp 39482  df-pmap 39483  df-padd 39775  df-lhyp 39967  df-laut 39968  df-ldil 40083  df-ltrn 40084  df-trl 40138  df-tendo 40734  df-edring 40736  df-dvech 41058

This theorem is referenced by:  dvhlmod  41089  dih1dimatlem  41308  dihlspsnssN  41311  dihlspsnat  41312  dihpN  41315  dihlatat  41316  dochsat  41362  dochshpncl  41363  dochlkr  41364  dochkrshp  41365  dochkrshp3  41367  dvh2dimatN  41419  dvh3dim3N  41428  dochsatshp  41430  dochsatshpb  41431  dochexmidat  41438  dochexmidlem3  41441  dochsnkr  41451  dochsnkr2  41452  dochflcl  41454  dochfl1  41455  dochkr1  41457  dochkr1OLDN  41458  lcfl6lem  41477  lcfl7lem  41478  lcfl9a  41484  lclkrlem1  41485  lclkrlem2a  41486  lclkrlem2e  41490  lclkrlem2g  41492  lclkrlem2h  41493  lclkrlem2o  41500  lclkrlem2p  41501  lclkrlem2q  41502  lclkrlem2s  41504  lclkrlem2v  41507  lclkrslem1  41516  lcfrvalsnN  41520  lcfrlem16  41537  lcfrlem20  41541  lcfrlem25  41546  lcfrlem29  41550  lcfrlem31  41552  lcfrlem33  41554  lcfrlem35  41556  lcdlvec  41570  lcdlkreqN  41601  lcdlkreq2N  41602  mapdordlem2  41616  mapdsn3  41622  mapdrvallem2  41624  mapdcnvatN  41645  mapdat  41646  mapdpglem10  41660  mapdpglem15  41665  mapdpglem17N  41667  mapdpglem18  41668  mapdpglem19  41669  mapdpglem21  41671  mapdpglem22  41672  mapdheq4lem  41710  mapdheq4  41711  mapdh6lem1N  41712  mapdh6lem2N  41713  mapdh6aN  41714  mapdh6b0N  41715  mapdh6bN  41716  mapdh6cN  41717  mapdh6dN  41718  mapdh6eN  41719  mapdh6fN  41720  mapdh6hN  41722  mapdh7eN  41727  mapdh7dN  41729  mapdh7fN  41730  mapdh75fN  41734  mapdh8aa  41755  mapdh8ab  41756  mapdh8ad  41758  mapdh8b  41759  mapdh8c  41760  mapdh8d0N  41761  mapdh8d  41762  mapdh8e  41763  mapdh9a  41768  mapdh9aOLDN  41769  hdmap1eq4N  41785  hdmap1l6lem1  41786  hdmap1l6lem2  41787  hdmap1l6a  41788  hdmap1l6b0N  41789  hdmap1l6b  41790  hdmap1l6c  41791  hdmap1l6d  41792  hdmap1l6e  41793  hdmap1l6f  41794  hdmap1l6h  41796  hdmap1eulemOLDN  41802  hdmapval0  41812  hdmapval3lemN  41816  hdmap10lem  41818  hdmap11lem1  41820  hdmap11lem2  41821  hdmaprnlem4N  41832  hdmaprnlem3eN  41837  hdmap14lem1a  41845  hdmap14lem4a  41850  hdmap14lem11  41857  hgmap11  41881  hdmaplkr  41892  hdmapip1  41895  hgmapvvlem1  41902  hgmapvvlem2  41903  hgmapvvlem3  41904  hlhillvec  41930