Theorem mat2pmatscmxcl 23058

Description: A transformed matrix multiplied with a power of the variable of a polynomial is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatscmxcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatscmxcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
mat2pmatscmxcl.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatscmxcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatscmxcl.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatscmxcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
mat2pmatscmxcl.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mat2pmatscmxcl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mat2pmatscmxcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatscmxcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mat2pmatscmxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
2		mat2pmatscmxcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22565	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	3	ad2antlr 740	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑃 ∈ Ring)
5		mat2pmatscmxcl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7		mat2pmatscmxcl.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9	2, 5, 6, 7, 8	ply1moncl 22590	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
10	9	ad2ant2l 759	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐾)
12	11	anim2i 629	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾))
13		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾))
14	12, 13	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾))
15		mat2pmatscmxcl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
16		mat2pmatscmxcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
17		mat2pmatscmxcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
18		mat2pmatscmxcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
19		mat2pmatscmxcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
20	15, 16, 17, 2, 18, 19	mat2pmatbas0 23045	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝐵)
21	14, 20	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝐵)
22		mat2pmatscmxcl.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
23	8, 18, 19, 22	matvscl 22746	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ ((𝐿 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ 𝐵)) → ((𝐿 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵)
24	1, 4, 10, 21, 23	syl22anc 852	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387   ·_𝑠 cvsca 17432  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495   Mat cmat 22722   matToPolyMat cmat2pmat 23022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-mat 22723  df-mat2pmat 23025

This theorem is used by:  pmatcollpw3fi1lem1  23104  monmat2matmon  23142  pm2mp  23143  cpmadugsumlemF  23194  cpmadugsumfi  23195