Theorem mat2pmatscmxcl 22085

Description: A transformed matrix multiplied with a power of the variable of a polynomial is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatscmxcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatscmxcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
mat2pmatscmxcl.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatscmxcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatscmxcl.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatscmxcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
mat2pmatscmxcl.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mat2pmatscmxcl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mat2pmatscmxcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatscmxcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mat2pmatscmxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
2		mat2pmatscmxcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 21615	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	3	ad2antlr 725	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑃 ∈ Ring)
5		mat2pmatscmxcl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7		mat2pmatscmxcl.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9	2, 5, 6, 7, 8	ply1moncl 21638	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
10	9	ad2ant2l 744	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐾)
12	11	anim2i 617	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾))
13		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾))
14	12, 13	sylibr 233	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾))
15		mat2pmatscmxcl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
16		mat2pmatscmxcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
17		mat2pmatscmxcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
18		mat2pmatscmxcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
19		mat2pmatscmxcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
20	15, 16, 17, 2, 18, 19	mat2pmatbas0 22072	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝐵)
21	14, 20	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑇‘𝑀) ∈ 𝐵)
22		mat2pmatscmxcl.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
23	8, 18, 19, 22	matvscl 21776	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ ((𝐿 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ 𝐵)) → ((𝐿 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵)
24	1, 4, 10, 21, 23	syl22anc 837	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6494  (class class class)co 7354  Fincfn 8880  ℕ₀cn0 12410  Basecbs 17080   ·_𝑠 cvsca 17134  ._gcmg 18868  mulGrpcmgp 19892  Ringcrg 19960  var₁cv1 21543  Poly₁cpl1 21544   Mat cmat 21750   matToPolyMat cmat2pmat 22049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-ofr 7615  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-supp 8090  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8833  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fsupp 9303  df-sup 9375  df-oi 9443  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-seq 13904  df-hash 14228  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-hom 17154  df-cco 17155  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-prds 17326  df-pws 17328  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-mhm 18598  df-submnd 18599  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-sbg 18750  df-mulg 18869  df-subg 18921  df-ghm 19002  df-cntz 19093  df-cmn 19560  df-abl 19561  df-mgp 19893  df-ur 19910  df-ring 19962  df-subrg 20216  df-lmod 20320  df-lss 20389  df-sra 20629  df-rgmod 20630  df-dsmm 21134  df-frlm 21149  df-ascl 21257  df-psr 21307  df-mvr 21308  df-mpl 21309  df-opsr 21311  df-psr1 21547  df-vr1 21548  df-ply1 21549  df-mat 21751  df-mat2pmat 22052

This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1lem1  22131  monmat2matmon  22169  pm2mp  22170  cpmadugsumlemF  22221  cpmadugsumfi  22222