MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2pmfzgsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2pmfzgsumcl 20878
Description: Closure of the sum of scaled transformed matrices. (Contributed by AV, 4-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2pmfzmap.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2pmfzmap.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2pmfzmap.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
m2pmfzmap.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2pmfzmap.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2pmfzmapfsupp.x 𝑋 = (var1𝑅)
m2pmfzmapfsupp.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
m2pmfzgsumcl.m · = ( ·𝑠𝑌)
Assertion
Ref Expression
m2pmfzgsumcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑌   𝑖,𝑏   𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑖,𝑠,𝑏)   · (𝑖,𝑠,𝑏)   (𝑖,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑖,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)

Proof of Theorem m2pmfzgsumcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . 2 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
2 crngring 18871 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 m2pmfzmap.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
43ply1ring 19937 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
6 m2pmfzmap.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
76matring 20571 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
85, 7sylan2 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
9 ringcmn 18894 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ CMnd)
11103adant3 1163 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
1211adantr 473 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ CMnd)
13 fzfid 13023 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (0...𝑠) ∈ Fin)
14 simpll1 1270 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
1553ad2ant2 1165 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
1615ad2antrr 718 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑃 ∈ Ring)
1723ad2ant2 1165 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
1817adantr 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
19 elfznn0 12683 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
20 m2pmfzmapfsupp.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
21 eqid 2797 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
22 m2pmfzmapfsupp.e . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23 eqid 2797 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
243, 20, 21, 22, 23ply1moncl 19960 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
2518, 19, 24syl2an 590 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
262anim2i 611 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
27263adant3 1163 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
28 simpl 475 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2927, 28anim12i 607 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0))
30 df-3an 1110 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0))
3129, 30sylibr 226 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0))
3231adantr 473 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0))
33 simprr 790 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))
3433anim1i 609 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
35 m2pmfzmap.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
36 m2pmfzmap.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
37 m2pmfzmap.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3835, 36, 3, 6, 37m2pmfzmap 20877 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠))) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
3932, 34, 38syl2anc 580 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
40 m2pmfzgsumcl.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
4123, 6, 1, 40matvscl 20559 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
4214, 16, 25, 39, 41syl22anc 868 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
4342ralrimiva 3145 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑠)((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
441, 12, 13, 43gsummptcl 18678 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cmpt 4920  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑚 cmap 8093  Fincfn 8193  0cc0 10222  0cn0 11576  ...cfz 12576  Basecbs 16181   ·𝑠 cvsca 16268   Σg cgsu 16413  .gcmg 17853  CMndccmn 18505  mulGrpcmgp 18802  Ringcrg 18860  CRingccrg 18861  var1cv1 19865  Poly1cpl1 19866   Mat cmat 20535   matToPolyMat cmat2pmat 20834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-ot 4375  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-ofr 7130  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-sup 8588  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-hash 13367  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-prds 16420  df-pws 16422  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mulg 17854  df-subg 17901  df-ghm 17968  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-cring 18863  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-ascl 19634  df-psr 19676  df-mvr 19677  df-mpl 19678  df-opsr 19680  df-psr1 19869  df-vr1 19870  df-ply1 19871  df-dsmm 20398  df-frlm 20413  df-mamu 20512  df-mat 20536  df-mat2pmat 20837
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator