MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2pmfzgsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2pmfzgsumcl 21499
Description: Closure of the sum of scaled transformed matrices. (Contributed by AV, 4-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2pmfzmap.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2pmfzmap.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2pmfzmap.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
m2pmfzmap.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2pmfzmap.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2pmfzmapfsupp.x 𝑋 = (var1𝑅)
m2pmfzmapfsupp.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
m2pmfzgsumcl.m · = ( ·𝑠𝑌)
Assertion
Ref Expression
m2pmfzgsumcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑌   𝑖,𝑏   𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑖,𝑠,𝑏)   · (𝑖,𝑠,𝑏)   (𝑖,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑖,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)

Proof of Theorem m2pmfzgsumcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . 2 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
2 crngring 19428 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 m2pmfzmap.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
43ply1ring 21023 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
6 m2pmfzmap.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
76matring 21194 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
85, 7sylan2 596 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
9 ringcmn 19453 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ CMnd)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ CMnd)
11103adant3 1133 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ CMnd)
1211adantr 484 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ CMnd)
13 fzfid 13432 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (0...𝑠) ∈ Fin)
14 simpll1 1213 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑁 ∈ Fin)
1553ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
1615ad2antrr 726 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → 𝑃 ∈ Ring)
1723ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
1817adantr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑅 ∈ Ring)
19 elfznn0 13091 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝑠) → 𝑖 ∈ ℕ0)
20 m2pmfzmapfsupp.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
21 eqid 2738 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
22 m2pmfzmapfsupp.e . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
243, 20, 21, 22, 23ply1moncl 21046 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
2518, 19, 24syl2an 599 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
262anim2i 620 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
27263adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
28 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2927, 28anim12i 616 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0))
30 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0))
3129, 30sylibr 237 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0))
32 simprr 773 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))
3332anim1i 618 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)))
34 m2pmfzmap.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
35 m2pmfzmap.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
36 m2pmfzmap.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3734, 35, 3, 6, 36m2pmfzmap 21498 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠))) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
3831, 33, 37syl2an2r 685 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))
39 m2pmfzgsumcl.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
4023, 6, 1, 39matvscl 21182 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ ((𝑖 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑇‘(𝑏𝑖)) ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
4114, 16, 25, 38, 40syl22anc 838 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑠)) → ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
4241ralrimiva 3096 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑠)((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))) ∈ (Base‘𝑌))
431, 12, 13, 42gsummptcl 19206 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑖))))) ∈ (Base‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Fincfn 8555  0cc0 10615  0cn0 11976  ...cfz 12981  Basecbs 16586   ·𝑠 cvsca 16672   Σg cgsu 16817  .gcmg 18342  CMndccmn 19024  mulGrpcmgp 19358  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417  var1cv1 20951  Poly1cpl1 20952   Mat cmat 21158   matToPolyMat cmat2pmat 21455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-prds 16824  df-pws 16826  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-dsmm 20548  df-frlm 20563  df-ascl 20671  df-psr 20722  df-mvr 20723  df-mpl 20724  df-opsr 20726  df-psr1 20955  df-vr1 20956  df-ply1 20957  df-mamu 21137  df-mat 21159  df-mat2pmat 21458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator