Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pmatscmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1pmatscmul 21417
 Description: The scalar product of the identity polynomial matrix with a polynomial is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1pmatscmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
1pmatscmul.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
1pmatscmul.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
1pmatscmul.e 𝐸 = (Base‘𝑃)
1pmatscmul.m = ( ·𝑠𝐶)
1pmatscmul.1 1 = (1r𝐶)
Assertion
Ref Expression
1pmatscmul ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → (𝑄 1 ) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem 1pmatscmul
StepHypRef Expression
1 1pmatscmul.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 20987 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
32anim2i 619 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
433adant3 1130 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
5 simp3 1136 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → 𝑄𝐸)
6 1pmatscmul.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
71, 6pmatring 21407 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
873adant3 1130 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → 𝐶 ∈ Ring)
9 1pmatscmul.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
10 1pmatscmul.1 . . . 4 1 = (1r𝐶)
119, 10ringidcl 19404 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 1𝐵)
128, 11syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → 1𝐵)
13 1pmatscmul.e . . 3 𝐸 = (Base‘𝑃)
14 1pmatscmul.m . . 3 = ( ·𝑠𝐶)
1513, 6, 9, 14matvscl 21146 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) ∧ (𝑄𝐸1𝐵)) → (𝑄 1 ) ∈ 𝐵)
164, 5, 12, 15syl12anc 835 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → (𝑄 1 ) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Fincfn 8541  Basecbs 16556   ·𝑠 cvsca 16642  1rcur 19334  Ringcrg 19380  Poly1cpl1 20916   Mat cmat 21122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-ofr 7413  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-pm 8426  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-sup 8953  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-hash 13755  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-hom 16662  df-cco 16663  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-prds 16794  df-pws 16796  df-mre 16930  df-mrc 16931  df-acs 16933  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-mhm 18037  df-submnd 18038  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-sbg 18189  df-mulg 18307  df-subg 18358  df-ghm 18438  df-cntz 18529  df-cmn 18990  df-abl 18991  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-subrg 19616  df-lmod 19719  df-lss 19787  df-sra 20027  df-rgmod 20028  df-dsmm 20512  df-frlm 20527  df-psr 20686  df-mpl 20688  df-opsr 20690  df-psr1 20919  df-ply1 20921  df-mamu 21101  df-mat 21123 This theorem is referenced by:  pmatcollpwscmatlem2  21505  pmatcollpwscmat  21506
 Copyright terms: Public domain W3C validator