Theorem ply1sclcl 22418

Description: The value of the algebra scalar lifting function for (univariate) polynomials applied to a scalar results in a constant polynomial. (Contributed by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1scl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1sclf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1sclcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1scl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		coe1scl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		ply1sclf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	ply1sclf 22417	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
6	5	ffvelcdmda 7082	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6539  Basecbs 17271  Ringcrg 20317  algSccascl 21973  Poly₁cpl1 22308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-ghm 19286  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-ascl 21976  df-psr 22030  df-mpl 22032  df-opsr 22034  df-psr1 22311  df-ply1 22313

This theorem is referenced by:  ply1scleq  22436  ply1chr  22437  ply1fermltlchr  22443  mat2pmatghm  22858  mat2pmatmul  22859  mat2pmatlin  22863  m2cpminvid2  22883  pmatcollpwlem  22908  pmatcollpwscmatlem2  22918  deg1sclle  26240  deg1scl  26241  aks6d1c1p2  42803  aks6d1c1p3  42804  aks6d1c1  42810  aks6d1c5lem0  42829  aks6d1c5lem3  42831  aks6d1c5lem2  42832  aks6d1c5  42833  aks6d1c6lem1  42864