Theorem aks5lem1 42642

Description: Section 5 of https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. Construction of a ring homomorphism out of Zn X to K. (Contributed by metakunt, 7-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem1.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem1.3	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
aks5lem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
aks5lem1.5	⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
aks5lem1.6	⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
aks5lem1.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem1	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝐾,𝑝   𝐾,𝑞   𝐾,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑝   𝑁,𝑞   𝜑,𝑝   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑃(𝑟,𝑞,𝑝)   𝐹(𝑟,𝑞,𝑝)   𝐺(𝑟,𝑞)   𝐻(𝑟,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑞,𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
5		aks5lem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
7		aks5lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))
8		aks5lem1.6	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
9	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8	evl1maprhm 22357	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾))
10		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
12		aks5lem1.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
13		crngring 20220	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
15		aks5lem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
16	15	simp2d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17		aks5lem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
18	17	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (chr‘𝐾) = 𝑃
19	15	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
20		prmnn 16637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12544	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
23	18, 22	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℤ)
24	15	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
25	18, 24	eqbrtrid 5121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∥ 𝑁)
26		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
27		aks5lem1.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
28	14, 16, 23, 25, 26, 27	zndvdchrrhm 42429	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾))
29	10, 2, 11, 12, 28	rhmply1 22364	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾)))
30		rhmco 20472	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾))) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))
31	9, 29, 30	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℕcn 12168  ℤcz 12518   ∥ cdvds 16215  ℙcprime 16634  Basecbs 17173  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   RingHom crh 20443  Fieldcfield 20701  ℤRHomczrh 21492  chrcchr 21494  ℤ/nℤczn 21495  Poly₁cpl1 22153  eval₁ce1 22292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-prm 16635  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-imas 17466  df-qus 17467  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-nsg 19094  df-eqg 19095  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-od 19497  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-field 20703  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-rsp 21202  df-2idl 21243  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496  df-chr 21498  df-zn 21499  df-assa 21846  df-asp 21847  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-evls 22065  df-evl 22066  df-psr1 22156  df-vr1 22157  df-ply1 22158  df-coe1 22159  df-evls1 22293  df-evl1 22294

This theorem is referenced by:  aks5lem2  42643  aks5lem3a  42645