Theorem aks5lem1 42188

Description: Section 5 of https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. Construction of a ring homomorphism out of Zn X to K. (Contributed by metakunt, 7-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem1.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem1.3	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
aks5lem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
aks5lem1.5	⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
aks5lem1.6	⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
aks5lem1.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem1	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝐾,𝑝   𝐾,𝑞   𝐾,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑝   𝑁,𝑞   𝜑,𝑝   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑃(𝑟,𝑞,𝑝)   𝐹(𝑟,𝑞,𝑝)   𝐺(𝑟,𝑞)   𝐻(𝑟,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑞,𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
5		aks5lem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
7		aks5lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))
8		aks5lem1.6	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
9	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8	evl1maprhm 22384	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾))
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
12		aks5lem1.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
13		crngring 20243	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
15		aks5lem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
16	15	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17		aks5lem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
18	17	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (chr‘𝐾) = 𝑃
19	15	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
20		prmnn 16712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
23	18, 22	eqeltrid 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℤ)
24	15	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
25	18, 24	eqbrtrid 5177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∥ 𝑁)
26		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
27		aks5lem1.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
28	14, 16, 23, 25, 26, 27	zndvdchrrhm 41973	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾))
29	10, 2, 11, 12, 28	rhmply1 22391	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾)))
30		rhmco 20502	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾))) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))
31	9, 29, 30	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224   “ cima 5687   ∘ ccom 5688  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℕcn 12267  ℤcz 12615   ∥ cdvds 16291  ℙcprime 16709  Basecbs 17248  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232   RingHom crh 20470  Fieldcfield 20731  ℤRHomczrh 21511  chrcchr 21513  ℤ/nℤczn 21514  Poly₁cpl1 22179  eval₁ce1 22319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-prm 16710  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-od 19547  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-field 20733  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-2idl 21261  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-chr 21517  df-zn 21518  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evls1 22320  df-evl1 22321

This theorem is referenced by:  aks5lem2  42189  aks5lem3a  42191