Theorem aks5lem1 43117

Description: Section 5 of https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. Construction of a ring homomorphism out of Zn X to K. (Contributed by metakunt, 7-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem1.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem1.3	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
aks5lem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
aks5lem1.5	⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
aks5lem1.6	⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
aks5lem1.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem1	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝐾,𝑝   𝐾,𝑞   𝐾,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑝   𝑁,𝑞   𝜑,𝑝   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑃(𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝐹(𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝐺(𝑟, 𝑞)   𝐻(𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑀(𝑞, 𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
5		aks5lem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
7		aks5lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))
8		aks5lem1.6	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
9	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8	evl1maprhm 22636	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
12		aks5lem1.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
13		crngring 20411	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
14	6, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
15		aks5lem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
16	15	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17		aks5lem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
18	17	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (chr‘𝐾) = 𝑃
19	15	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
20		prmnn 16789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
23	18, 22	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℤ)
24	15	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
25	18, 24	eqbrtrid 5140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∥ 𝑁)
26		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
27		aks5lem1.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
28	14, 16, 23, 25, 26, 27	zndvdchrrhm 42904	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾))
29	10, 2, 11, 12, 28	rhmply1 22640	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾)))
30		rhmco 20678	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾))) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))
31	9, 29, 30	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℕcn 12282  ℤcz 12640   ∥ cdvds 16367  ℙcprime 16786  Basecbs 17326  Ringcrg 20398  CRingccrg 20399   RingHom crh 20638  Fieldcfield 20920  ℤRHomczrh 21744  chrcchr 21746  ℤ/nℤczn 21747  Poly₁cpl1 22434  eval₁ce1 22571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-rp 13068  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-mod 13956  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-dvds 16368  df-prm 16787  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-prds 17557  df-pws 17559  df-imas 17619  df-qus 17620  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-nsg 19273  df-eqg 19274  df-ghm 19367  df-cntz 19470  df-od 19681  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-srg 20352  df-ring 20400  df-cring 20401  df-oppr 20506  df-rhm 20641  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-field 20922  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lsp 21186  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-lidl 21425  df-rsp 21426  df-2idl 21482  df-cnfld 21618  df-zring 21692  df-zrh 21748  df-chr 21750  df-zn 21751  df-assa 22100  df-asp 22101  df-ascl 22102  df-psr 22156  df-mvr 22157  df-mpl 22158  df-opsr 22160  df-evls 22322  df-evl 22323  df-psr1 22437  df-vr1 22438  df-ply1 22439  df-coe1 22440  df-evls1 22572  df-evl1 22573

This theorem is used by:  aks5lem2  43118  aks5lem3a  43120