Theorem aks5lem1 42168

Description: Section 5 of https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. Construction of a ring homomorphism out of Zn X to K. (Contributed by metakunt, 7-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem1.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem1.3	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
aks5lem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
aks5lem1.5	⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
aks5lem1.6	⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
aks5lem1.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem1	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝐾,𝑝   𝐾,𝑞   𝐾,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑝   𝑁,𝑞   𝜑,𝑝   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑃(𝑟,𝑞,𝑝)   𝐹(𝑟,𝑞,𝑝)   𝐺(𝑟,𝑞)   𝐻(𝑟,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑞,𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
5		aks5lem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
7		aks5lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))
8		aks5lem1.6	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
9	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8	evl1maprhm 22399	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾))
10		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
12		aks5lem1.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
13		crngring 20263	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
15		aks5lem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
16	15	simp2d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17		aks5lem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
18	17	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (chr‘𝐾) = 𝑃
19	15	simp1d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
20		prmnn 16708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
23	18, 22	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℤ)
24	15	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
25	18, 24	eqbrtrid 5183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∥ 𝑁)
26		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
27		aks5lem1.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
28	14, 16, 23, 25, 26, 27	zndvdchrrhm 41953	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾))
29	10, 2, 11, 12, 28	rhmply1 22406	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾)))
30		rhmco 20518	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾))) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))
31	9, 29, 30	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   “ cima 5692   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕcn 12264  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287  ℙcprime 16705  Basecbs 17245  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  Fieldcfield 20747  ℤRHomczrh 21528  chrcchr 21530  ℤ/nℤczn 21531  Poly₁cpl1 22194  eval₁ce1 22334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-field 20749  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-chr 21534  df-zn 21535  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evls1 22335  df-evl1 22336

This theorem is referenced by:  aks5lem2  42169  aks5lem3a  42171