Theorem aks5lem1 43016

Description: Section 5 of https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. Construction of a ring homomorphism out of Zn X to K. (Contributed by metakunt, 7-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem1.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem1.3	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
aks5lem1.4	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
aks5lem1.5	⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
aks5lem1.6	⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
aks5lem1.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem1	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝐾,𝑝   𝐾,𝑞   𝐾,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑝   𝑁,𝑞   𝜑,𝑝   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑃(𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝐹(𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝐺(𝑟, 𝑞)   𝐻(𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑀(𝑞, 𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (eval1‘𝐾) = (eval1‘𝐾)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
5		aks5lem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20897	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
7		aks5lem1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐾))
8		aks5lem1.6	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((eval1‘𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
9	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8	evl1maprhm 22594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾))
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
11		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
12		aks5lem1.4	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺 ∘ 𝑝))
13		crngring 20376	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
14	6, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
15		aks5lem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
16	15	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17		aks5lem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
18	17	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ (chr‘𝐾) = 𝑃
19	15	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
20		prmnn 16759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
23	18, 22	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℤ)
24	15	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
25	18, 24	eqbrtrid 5148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝐾) ∥ 𝑁)
26		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
27		aks5lem1.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ∪ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
28	14, 16, 23, 25, 26, 27	zndvdchrrhm 42803	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾))
29	10, 2, 11, 12, 28	rhmply1 22598	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾)))
30		rhmco 20642	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ ((Poly1‘𝐾) RingHom 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1‘𝐾))) → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))
31	9, 29, 30	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℕcn 12253  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16337  ℙcprime 16756  Basecbs 17296  Ringcrg 20364  CRingccrg 20365   RingHom crh 20602  Fieldcfield 20883  ℤRHomczrh 21704  chrcchr 21706  ℤ/nℤczn 21707  Poly₁cpl1 22392  eval₁ce1 22529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199  ax-mulf 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-ec 8703  df-qs 8707  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-rp 13038  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-fl 13848  df-mod 13926  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-dvds 16338  df-prm 16757  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-prds 17527  df-pws 17529  df-imas 17589  df-qus 17590  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-mhm 18883  df-submnd 18884  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-mulg 19183  df-subg 19238  df-nsg 19239  df-eqg 19240  df-ghm 19333  df-cntz 19436  df-od 19647  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-srg 20318  df-ring 20366  df-cring 20367  df-oppr 20470  df-rhm 20605  df-subrng 20700  df-subrg 20724  df-field 20885  df-lmod 21038  df-lss 21108  df-lsp 21148  df-sra 21349  df-rgmod 21350  df-lidl 21387  df-rsp 21388  df-2idl 21444  df-cnfld 21578  df-zring 21652  df-zrh 21708  df-chr 21710  df-zn 21711  df-assa 22058  df-asp 22059  df-ascl 22060  df-psr 22114  df-mvr 22115  df-mpl 22116  df-opsr 22118  df-evls 22280  df-evl 22281  df-psr1 22395  df-vr1 22396  df-ply1 22397  df-coe1 22398  df-evls1 22530  df-evl1 22531

This theorem is used by:  aks5lem2  43017  aks5lem3a  43019