Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks5lem2 42169
Description: Lemma for section 5 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. Construct the quotient for the AKS reduction. (Contributed by metakunt, 7-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5lem1.1 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks5lem1.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem1.3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝑁))
aks5lem1.4 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺𝑝))
aks5lem1.5 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
aks5lem1.6 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↦ (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
aks5lem2.1 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks5lem2.2 𝐼 = (𝑠 ∈ (Base‘𝐴) ↦ ((𝐻𝐹) “ 𝑠))
aks5lem2.3 𝐴 = ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) /s ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
aks5lem2.4 𝐿 = ((RSpan‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))})
aks5lem2.5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
aks5lem2 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐴 RingHom 𝐾) ∧ ∀𝑔 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝐼‘[𝑔]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘𝑔)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑝   𝐻,𝑠   𝐼,𝑠   𝐾,𝑝   𝐾,𝑞   𝐾,𝑟   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑀,𝑟   𝑁,𝑝   𝑁,𝑞   𝑁,𝑠   𝑅,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑔,𝑠   𝜑,𝑝   𝜑,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐴(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑃(𝑔,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑔,𝑠,𝑞)   𝐹(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐼(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑔,𝑠,𝑞,𝑝)   𝑁(𝑔,𝑟)

Proof of Theorem aks5lem2
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 (0g𝐾) = (0g𝐾)
2 aks5lem1.1 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Field)
3 aks5lem1.2 . . 3 𝑃 = (chr‘𝐾)
4 aks5lem1.3 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝑁))
5 aks5lem1.4 . . 3 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺𝑝))
6 aks5lem1.5 . . 3 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
7 aks5lem1.6 . . 3 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↦ (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
8 aks5lem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
92fldcrngd 20759 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
10 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
1110crngmgp 20259 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ CRing → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
13 aks5lem2.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
1413nnnn0d 12585 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
15 eqid 2735 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
1612, 14, 15isprimroot 42075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) → 𝑅𝑙))))
178, 16mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) → 𝑅𝑙)))
1817simp1d 1141 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
19 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2010, 19mgpbas 20158 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
2120eqcomi 2744 . . . 4 (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝐾)
2218, 21eleqtrdi 2849 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘𝐾))
232, 3, 4, 5, 6, 7, 22aks5lem1 42168 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))
24 eqid 2735 . 2 ((𝐻𝐹) “ {(0g𝐾)}) = ((𝐻𝐹) “ {(0g𝐾)})
25 aks5lem2.3 . 2 𝐴 = ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) /s ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
26 aks5lem2.2 . 2 𝐼 = (𝑠 ∈ (Base‘𝐴) ↦ ((𝐻𝐹) “ 𝑠))
274simp2d 1142 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2827nnnn0d 12585 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
29 eqid 2735 . . . . 5 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3029zncrng 21581 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
3128, 30syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
32 eqid 2735 . . . 4 (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
3332ply1crng 22216 . . 3 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ CRing)
3431, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ CRing)
35 aks5lem2.4 . 2 𝐿 = ((RSpan‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))})
3634crnggrpd 20265 . . 3 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Grp)
37 eqid 2735 . . . . 5 (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
38 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
3937, 38mgpbas 20158 . . . 4 (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
40 eqid 2735 . . . 4 (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
4134crngringd 20264 . . . . 5 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring)
4237ringmgp 20257 . . . . 5 ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Mnd)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Mnd)
4431crngringd 20264 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
45 eqid 2735 . . . . . 6 (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
4645, 32, 38vr1cl 22235 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
4744, 46syl 17 . . . 4 (𝜑 → (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
4839, 40, 43, 14, 47mulgnn0cld 19126 . . 3 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
49 eqid 2735 . . . . 5 (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
5038, 49ringidcl 20280 . . . 4 ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring → (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5141, 50syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
52 eqid 2735 . . . 4 (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
5338, 52grpsubcl 19051 . . 3 (((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Grp ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5436, 48, 51, 53syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
55 fvexd 6922 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
5655mptexd 7244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞)) ∈ V)
576, 56eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ V)
5857adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝐺 ∈ V)
59 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑝 ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑝 ∈ V)
6158, 60coexd 7954 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝐺𝑝) ∈ V)
6261, 5fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑𝐹:(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))⟶V)
6362ffund 6741 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
6462fdmd 6747 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
6554, 64eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ dom 𝐹)
66 fvco 7007 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ dom 𝐹) → ((𝐻𝐹)‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘(𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
6763, 65, 66syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘(𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
68 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Poly1𝐾) = (Poly1𝐾)
699crngringd 20264 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
704simp1d 1141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
71 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
733, 72eqeltrrid 2844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℕ)
7473nnzd 12638 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℤ)
754simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑁)
763, 75eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (chr‘𝐾) ∥ 𝑁)
7769, 27, 74, 76, 29, 6zndvdchrrhm 41953 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾))
7832, 68, 38, 5, 77rhmply1 22406 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)))
79 rhmghm 20501 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)) → 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)))
81 eqid 2735 . . . . . . 7 (-g‘(Poly1𝐾)) = (-g‘(Poly1𝐾))
8238, 52, 81ghmsub 19255 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = ((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
8380, 48, 51, 82syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = ((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
8483fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = (𝐻‘((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
85 eqid 2735 . . . . . . . 8 (eval1𝐾) = (eval1𝐾)
86 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(Poly1𝐾))
8785, 68, 19, 86, 9, 22, 7evl1maprhm 22399 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) RingHom 𝐾))
88 rhmghm 20501 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) RingHom 𝐾) → 𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) GrpHom 𝐾))
8987, 88syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) GrpHom 𝐾))
9038, 86rhmf 20502 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)) → 𝐹:(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
9178, 90syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
9291, 48ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
9391, 51ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
94 eqid 2735 . . . . . . 7 (-g𝐾) = (-g𝐾)
9586, 81, 94ghmsub 19255 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) GrpHom 𝐾) ∧ (𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → (𝐻‘((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = ((𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))(-g𝐾)(𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
9689, 92, 93, 95syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻‘((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = ((𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))(-g𝐾)(𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
97 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9838, 97, 49, 41, 48ringlidmd 20286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
9998eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
10031elexd 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V)
10132ply1sca 22270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V → (ℤ/nℤ‘𝑁) = (Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) = (Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
103102fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
104103fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
105 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
106 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
10732ply1lmod 22269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ LMod)
10844, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ LMod)
109105, 106, 108, 41ascl1 21923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
110104, 109eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
111110eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
112111oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
11399, 112eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
11432ply1assa 22217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ AssAlg)
11531, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ AssAlg)
116 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
117 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
118116, 117ringidcl 20280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
11944, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
120102fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
121119, 120eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
122 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
123 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
124105, 106, 122, 38, 97, 123asclmul1 21924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ AssAlg ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = ((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
125115, 121, 48, 124syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = ((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
126113, 125eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
127126fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (𝐹‘((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
128 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (var1𝐾) = (var1𝐾)
129 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾)) = ( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))
130 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘(Poly1𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1𝐾))
131 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
13232, 68, 38, 116, 5, 45, 128, 123, 129, 37, 130, 40, 131, 77, 119, 14rhmply1mon 22409 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = ((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
133127, 132eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = ((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
134133fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))))
135 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝐾) = (1r𝐾)
136117, 135rhm1 20506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾) → (𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (1r𝐾))
13777, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (1r𝐾))
138137oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = ((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
139138fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻‘((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (𝐻‘((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))))
14068ply1assa 22217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ AssAlg)
1419, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ AssAlg)
14219, 135ringidcl 20280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Ring → (1r𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
14369, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1r𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
14468ply1sca 22270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ Field → 𝐾 = (Scalar‘(Poly1𝐾)))
1452, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 = (Scalar‘(Poly1𝐾)))
146145fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾))))
147143, 146eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1r𝐾) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾))))
148130, 86mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
14968ply1crng 22216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
1509, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
151 crngring 20263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Poly1𝐾) ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
153130ringmgp 20257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Poly1𝐾) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
155128, 68, 86vr1cl 22235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Ring → (var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
15669, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
157148, 131, 154, 14, 156mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
158 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (algSc‘(Poly1𝐾)) = (algSc‘(Poly1𝐾))
159 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘(Poly1𝐾)) = (Scalar‘(Poly1𝐾))
160 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾))) = (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾)))
161 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r‘(Poly1𝐾)) = (.r‘(Poly1𝐾))
162158, 159, 160, 86, 161, 129asclmul1 21924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Poly1𝐾) ∈ AssAlg ∧ (1r𝐾) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾))) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → (((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = ((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
163141, 147, 157, 162syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = ((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
164163eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = (((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
165164fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻‘((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (𝐻‘(((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))))
166 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r‘(Poly1𝐾)) = (1r‘(Poly1𝐾))
16768, 158, 135, 166, 69ply1ascl1 22273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾)) = (1r‘(Poly1𝐾)))
168167oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = ((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
169168fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐻‘(((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (𝐻‘((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))))
17086, 161, 166, 152, 157ringlidmd 20286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))
171170fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻‘((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (𝐻‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
1727a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↦ (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀)))
173 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) → 𝑟 = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))
174173fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) → ((eval1𝐾)‘𝑟) = ((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
175174fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) → (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀))
176 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀) ∈ V)
177172, 175, 157, 176fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀))
17885, 128, 19, 68, 86, 9, 22evl1vard 22357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(var1𝐾))‘𝑀) = 𝑀))
17985, 68, 19, 86, 9, 22, 178, 131, 15, 14evl1expd 22365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
180179simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
18117simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
18210, 135ringidval 20201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1r𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
183182eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (1r𝐾)
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (1r𝐾))
185181, 184eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (1r𝐾))
186180, 185eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀) = (1r𝐾))
187177, 186eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = (1r𝐾))
188171, 187eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐻‘((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (1r𝐾))
189169, 188eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻‘(((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (1r𝐾))
190165, 189eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻‘((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (1r𝐾))
191139, 190eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻‘((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (1r𝐾))
192134, 191eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (1r𝐾))
193166, 135rhm1 20506 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) RingHom 𝐾) → (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))) = (1r𝐾))
19487, 193syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))) = (1r𝐾))
195194eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝐾) = (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))))
196192, 195eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))))
197196, 194eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (1r𝐾))
19849, 166rhm1 20506 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)) → (𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (1r‘(Poly1𝐾)))
19978, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (1r‘(Poly1𝐾)))
200199fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))))
201200, 194eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (1r𝐾))
202197, 201oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))(-g𝐾)(𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = ((1r𝐾)(-g𝐾)(1r𝐾)))
20369ringgrpd 20260 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Grp)
20419, 1, 94grpsubid 19055 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Grp ∧ (1r𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((1r𝐾)(-g𝐾)(1r𝐾)) = (0g𝐾))
205203, 143, 204syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((1r𝐾)(-g𝐾)(1r𝐾)) = (0g𝐾))
206202, 205eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))(-g𝐾)(𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = (0g𝐾))
20796, 206eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = (0g𝐾))
20884, 207eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = (0g𝐾))
20967, 208eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (0g𝐾))
2101, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 54, 209rhmqusspan 42167 1 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐴 RingHom 𝐾) ∧ ∀𝑔 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝐼‘[𝑔]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692  ccom 5693  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742  cn 12264  0cn0 12524  cdvds 16287  cprime 16705  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  .gcmg 19098   ~QG cqg 19153   GrpHom cghm 19243  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  Fieldcfield 20747  LModclmod 20875  RSpancrsp 21235  ℤRHomczrh 21528  chrcchr 21530  ℤ/nczn 21531  AssAlgcasa 21888  algSccascl 21890  var1cv1 22193  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334   PrimRoots cprimroots 42073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-field 20749  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-chr 21534  df-zn 21535  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evls1 22335  df-evl1 22336  df-primroots 42074
This theorem is referenced by:  aks5lem3a  42171
  Copyright terms: Public domain W3C validator