Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks5lem2 42189
Description: Lemma for section 5 https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf. Construct the quotient for the AKS reduction. (Contributed by metakunt, 7-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5lem1.1 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks5lem1.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem1.3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝑁))
aks5lem1.4 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺𝑝))
aks5lem1.5 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
aks5lem1.6 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↦ (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
aks5lem2.1 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks5lem2.2 𝐼 = (𝑠 ∈ (Base‘𝐴) ↦ ((𝐻𝐹) “ 𝑠))
aks5lem2.3 𝐴 = ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) /s ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
aks5lem2.4 𝐿 = ((RSpan‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))})
aks5lem2.5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
aks5lem2 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐴 RingHom 𝐾) ∧ ∀𝑔 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝐼‘[𝑔]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘𝑔)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑝   𝐻,𝑠   𝐼,𝑠   𝐾,𝑝   𝐾,𝑞   𝐾,𝑟   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑀,𝑟   𝑁,𝑝   𝑁,𝑞   𝑁,𝑠   𝑅,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑔,𝑠   𝜑,𝑝   𝜑,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐴(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑃(𝑔,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑔,𝑠,𝑞)   𝐹(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐼(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑔,𝑠,𝑞,𝑝)   𝑁(𝑔,𝑟)

Proof of Theorem aks5lem2
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (0g𝐾) = (0g𝐾)
2 aks5lem1.1 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Field)
3 aks5lem1.2 . . 3 𝑃 = (chr‘𝐾)
4 aks5lem1.3 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝑁))
5 aks5lem1.4 . . 3 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↦ (𝐺𝑝))
6 aks5lem1.5 . . 3 𝐺 = (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞))
7 aks5lem1.6 . . 3 𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↦ (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀))
8 aks5lem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
92fldcrngd 20743 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
10 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
1110crngmgp 20239 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ CRing → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
13 aks5lem2.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
1413nnnn0d 12589 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
15 eqid 2736 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
1612, 14, 15isprimroot 42095 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) → 𝑅𝑙))))
178, 16mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) → 𝑅𝑙)))
1817simp1d 1142 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
19 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2010, 19mgpbas 20143 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
2120eqcomi 2745 . . . 4 (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝐾)
2218, 21eleqtrdi 2850 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘𝐾))
232, 3, 4, 5, 6, 7, 22aks5lem1 42188 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom 𝐾))
24 eqid 2736 . 2 ((𝐻𝐹) “ {(0g𝐾)}) = ((𝐻𝐹) “ {(0g𝐾)})
25 aks5lem2.3 . 2 𝐴 = ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) /s ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿))
26 aks5lem2.2 . 2 𝐼 = (𝑠 ∈ (Base‘𝐴) ↦ ((𝐻𝐹) “ 𝑠))
274simp2d 1143 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2827nnnn0d 12589 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
29 eqid 2736 . . . . 5 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3029zncrng 21564 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
3128, 30syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
32 eqid 2736 . . . 4 (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
3332ply1crng 22201 . . 3 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ CRing)
3431, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ CRing)
35 aks5lem2.4 . 2 𝐿 = ((RSpan‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))})
3634crnggrpd 20245 . . 3 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Grp)
37 eqid 2736 . . . . 5 (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
38 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
3937, 38mgpbas 20143 . . . 4 (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
40 eqid 2736 . . . 4 (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
4134crngringd 20244 . . . . 5 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring)
4237ringmgp 20237 . . . . 5 ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Mnd)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Mnd)
4431crngringd 20244 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
45 eqid 2736 . . . . . 6 (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
4645, 32, 38vr1cl 22220 . . . . 5 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
4744, 46syl 17 . . . 4 (𝜑 → (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
4839, 40, 43, 14, 47mulgnn0cld 19114 . . 3 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
49 eqid 2736 . . . . 5 (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
5038, 49ringidcl 20263 . . . 4 ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Ring → (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5141, 50syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
52 eqid 2736 . . . 4 (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
5338, 52grpsubcl 19039 . . 3 (((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Grp ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
5436, 48, 51, 53syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
55 fvexd 6920 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
5655mptexd 7245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑞 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ ((ℤRHom‘𝐾) “ 𝑞)) ∈ V)
576, 56eqeltrid 2844 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ V)
5857adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝐺 ∈ V)
59 vex 3483 . . . . . . . 8 𝑝 ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → 𝑝 ∈ V)
6158, 60coexd 7954 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝐺𝑝) ∈ V)
6261, 5fmptd 7133 . . . . 5 (𝜑𝐹:(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))⟶V)
6362ffund 6739 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
6462fdmd 6745 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
6554, 64eleqtrrd 2843 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ dom 𝐹)
66 fvco 7006 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ dom 𝐹) → ((𝐻𝐹)‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘(𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
6763, 65, 66syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘(𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
68 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Poly1𝐾) = (Poly1𝐾)
699crngringd 20244 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
704simp1d 1142 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
71 prmnn 16712 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
733, 72eqeltrrid 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℕ)
7473nnzd 12642 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (chr‘𝐾) ∈ ℤ)
754simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑁)
763, 75eqbrtrrid 5178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (chr‘𝐾) ∥ 𝑁)
7769, 27, 74, 76, 29, 6zndvdchrrhm 41973 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾))
7832, 68, 38, 5, 77rhmply1 22391 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)))
79 rhmghm 20485 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)) → 𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)))
81 eqid 2736 . . . . . . 7 (-g‘(Poly1𝐾)) = (-g‘(Poly1𝐾))
8238, 52, 81ghmsub 19243 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) GrpHom (Poly1𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = ((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
8380, 48, 51, 82syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = ((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
8483fveq2d 6909 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = (𝐻‘((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
85 eqid 2736 . . . . . . . 8 (eval1𝐾) = (eval1𝐾)
86 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(Poly1𝐾))
8785, 68, 19, 86, 9, 22, 7evl1maprhm 22384 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) RingHom 𝐾))
88 rhmghm 20485 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) RingHom 𝐾) → 𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) GrpHom 𝐾))
8987, 88syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) GrpHom 𝐾))
9038, 86rhmf 20486 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)) → 𝐹:(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
9178, 90syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
9291, 48ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
9391, 51ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
94 eqid 2736 . . . . . . 7 (-g𝐾) = (-g𝐾)
9586, 81, 94ghmsub 19243 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) GrpHom 𝐾) ∧ (𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → (𝐻‘((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = ((𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))(-g𝐾)(𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
9689, 92, 93, 95syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻‘((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = ((𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))(-g𝐾)(𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))))
97 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9838, 97, 49, 41, 48ringlidmd 20270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
9998eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
10031elexd 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V)
10132ply1sca 22255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V → (ℤ/nℤ‘𝑁) = (Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℤ/nℤ‘𝑁) = (Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
103102fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
104103fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
105 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
106 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
10732ply1lmod 22254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ LMod)
10844, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ LMod)
109105, 106, 108, 41ascl1 21906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
110104, 109eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
111110eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
112111oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
11399, 112eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
11432ply1assa 22202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ AssAlg)
11531, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ AssAlg)
116 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
117 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
118116, 117ringidcl 20263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
11944, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
120102fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
121119, 120eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
122 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
123 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
124105, 106, 122, 38, 97, 123asclmul1 21907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ AssAlg ∧ (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) → (((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = ((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
125115, 121, 48, 124syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((algSc‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(.r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = ((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
126113, 125eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
127126fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (𝐹‘((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
128 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (var1𝐾) = (var1𝐾)
129 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾)) = ( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))
130 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘(Poly1𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1𝐾))
131 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
13232, 68, 38, 116, 5, 45, 128, 123, 129, 37, 130, 40, 131, 77, 119, 14rhmply1mon 22394 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))( ·𝑠 ‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = ((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
133127, 132eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = ((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
134133fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))))
135 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝐾) = (1r𝐾)
136117, 135rhm1 20490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ((ℤ/nℤ‘𝑁) RingHom 𝐾) → (𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (1r𝐾))
13777, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (1r𝐾))
138137oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = ((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
139138fveq2d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻‘((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (𝐻‘((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))))
14068ply1assa 22202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ AssAlg)
1419, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ AssAlg)
14219, 135ringidcl 20263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Ring → (1r𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
14369, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1r𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
14468ply1sca 22255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ Field → 𝐾 = (Scalar‘(Poly1𝐾)))
1452, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 = (Scalar‘(Poly1𝐾)))
146145fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾))))
147143, 146eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1r𝐾) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾))))
148130, 86mgpbas 20143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
14968ply1crng 22201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
1509, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
151 crngring 20243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Poly1𝐾) ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
153130ringmgp 20237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Poly1𝐾) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
155128, 68, 86vr1cl 22220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Ring → (var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
15669, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
157148, 131, 154, 14, 156mulgnn0cld 19114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
158 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (algSc‘(Poly1𝐾)) = (algSc‘(Poly1𝐾))
159 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘(Poly1𝐾)) = (Scalar‘(Poly1𝐾))
160 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾))) = (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾)))
161 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r‘(Poly1𝐾)) = (.r‘(Poly1𝐾))
162158, 159, 160, 86, 161, 129asclmul1 21907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Poly1𝐾) ∈ AssAlg ∧ (1r𝐾) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1𝐾))) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → (((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = ((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
163141, 147, 157, 162syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = ((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
164163eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = (((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
165164fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻‘((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (𝐻‘(((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))))
166 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r‘(Poly1𝐾)) = (1r‘(Poly1𝐾))
16768, 158, 135, 166, 69ply1ascl1 22258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾)) = (1r‘(Poly1𝐾)))
168167oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = ((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
169168fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐻‘(((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (𝐻‘((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))))
17086, 161, 166, 152, 157ringlidmd 20270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))
171170fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻‘((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (𝐻‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
1727a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐻 = (𝑟 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↦ (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀)))
173 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) → 𝑟 = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))
174173fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) → ((eval1𝐾)‘𝑟) = ((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
175174fveq1d 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 = (𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) → (((eval1𝐾)‘𝑟)‘𝑀) = (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀))
176 fvexd 6920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀) ∈ V)
177172, 175, 157, 176fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀))
17885, 128, 19, 68, 86, 9, 22evl1vard 22342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(var1𝐾))‘𝑀) = 𝑀))
17985, 68, 19, 86, 9, 22, 178, 131, 15, 14evl1expd 22350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
180179simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
18117simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
18210, 135ringidval 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1r𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
183182eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (1r𝐾)
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (1r𝐾))
185181, 184eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (1r𝐾))
186180, 185eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))‘𝑀) = (1r𝐾))
187177, 186eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = (1r𝐾))
188171, 187eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐻‘((1r‘(Poly1𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (1r𝐾))
189169, 188eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻‘(((algSc‘(Poly1𝐾))‘(1r𝐾))(.r‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (1r𝐾))
190165, 189eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻‘((1r𝐾)( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (1r𝐾))
191139, 190eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻‘((𝐺‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))( ·𝑠 ‘(Poly1𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))) = (1r𝐾))
192134, 191eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (1r𝐾))
193166, 135rhm1 20490 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ ((Poly1𝐾) RingHom 𝐾) → (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))) = (1r𝐾))
19487, 193syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))) = (1r𝐾))
195194eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝐾) = (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))))
196192, 195eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))))
197196, 194eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (1r𝐾))
19849, 166rhm1 20490 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) RingHom (Poly1𝐾)) → (𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (1r‘(Poly1𝐾)))
19978, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (1r‘(Poly1𝐾)))
200199fveq2d 6909 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (𝐻‘(1r‘(Poly1𝐾))))
201200, 194eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (1r𝐾))
202197, 201oveq12d 7450 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))(-g𝐾)(𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = ((1r𝐾)(-g𝐾)(1r𝐾)))
20369ringgrpd 20240 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Grp)
20419, 1, 94grpsubid 19043 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Grp ∧ (1r𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((1r𝐾)(-g𝐾)(1r𝐾)) = (0g𝐾))
205203, 143, 204syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((1r𝐾)(-g𝐾)(1r𝐾)) = (0g𝐾))
206202, 205eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻‘(𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))(-g𝐾)(𝐻‘(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = (0g𝐾))
20796, 206eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘((𝐹‘(𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(-g‘(Poly1𝐾))(𝐹‘(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = (0g𝐾))
20884, 207eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘(𝐹‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))) = (0g𝐾))
20967, 208eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝐹)‘((𝑅(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(1r‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))) = (0g𝐾))
2101, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 54, 209rhmqusspan 42187 1 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐴 RingHom 𝐾) ∧ ∀𝑔 ∈ (Base‘(Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(𝐼‘[𝑔]((Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ~QG 𝐿)) = ((𝐻𝐹)‘𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  {csn 4625   cuni 4906   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ccnv 5683  dom cdm 5684  cima 5687  ccom 5688  Fun wfun 6554  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744  cn 12267  0cn0 12528  cdvds 16291  cprime 16709  Basecbs 17248  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17485   /s cqus 17551  Mndcmnd 18748  Grpcgrp 18952  -gcsg 18954  .gcmg 19086   ~QG cqg 19141   GrpHom cghm 19231  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232   RingHom crh 20470  Fieldcfield 20731  LModclmod 20859  RSpancrsp 21218  ℤRHomczrh 21511  chrcchr 21513  ℤ/nczn 21514  AssAlgcasa 21871  algSccascl 21873  var1cv1 22178  Poly1cpl1 22179  eval1ce1 22319   PrimRoots cprimroots 42093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-prm 16710  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-od 19547  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-field 20733  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-2idl 21261  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-chr 21517  df-zn 21518  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evls1 22320  df-evl1 22321  df-primroots 42094
This theorem is referenced by:  aks5lem3a  42191
  Copyright terms: Public domain W3C validator