Theorem unitscyglem1 42208

Description: Lemma for unitscyg. (Contributed by metakunt, 13-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitscyglem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
unitscyglem1.2	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
unitscyglem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
unitscyglem1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
unitscyglem1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
unitscyglem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
unitscyglem1	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑛,𝑥   𝐴,𝑛,𝑥   𝐵,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem unitscyglem1

Dummy variables 𝑖 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → (𝑛 ↑ 𝑥) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥))
2	1	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → ((𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺) ↔ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)))
3	2	rabbidv 3423	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
4	3	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → 𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴))
6	4, 5	breq12d 5132	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴)))
7		unitscyglem1.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
8		unitscyglem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		unitscyglem1.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
10		unitscyglem1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		unitscyglem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
13	11, 12	odcl2 19546	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ)
14	8, 9, 10, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ)
15	6, 7, 14	rspcdva 3602	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴))
16		unitscyglem1.2	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
17		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) = (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))
18	11, 12, 16, 17	dfod2 19545	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))), 0))
19	8, 10, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))), 0))
20	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
21		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
22	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝐵)
23	11, 16, 20, 21, 22	mulgcld 19079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
24	23	fmpttd 7105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)):ℤ⟶𝐵)
25		frn 6713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)):ℤ⟶𝐵 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ 𝐵)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ 𝐵)
27	9, 26	ssfid 9273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin)
28	27	iftrued 4508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))), 0) = (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))))
29	19, 28	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))))
30		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}
31		fvexd 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ V)
32	11, 31	eqeltrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
33	30, 32	rabexd 5310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
34		ovexd 7440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ↑ 𝐴) ∈ V)
35	34	fmpttd 7105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)):ℤ⟶V)
36	35	ffnd 6707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) Fn ℤ)
37		fvelrnb 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) Fn ℤ → (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦))
39	38	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦)
40		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦 → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
41	40	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦 → 𝑦 = ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤))
43		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝜑)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
45	43, 44	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ))
46		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) = (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)))
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = 𝑤) → 𝑖 = 𝑤)
48	47	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = 𝑤) → (𝑖 ↑ 𝐴) = (𝑤 ↑ 𝐴))
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
50		ovexd 7440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ 𝐴) ∈ V)
51	46, 48, 49, 50	fvmptd 6993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = (𝑤 ↑ 𝐴))
52		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ↑ 𝐴) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)))
53	52	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ↑ 𝐴) → ((((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺) ↔ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)) = (0g‘𝐺)))
54	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
55	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝐵)
56	11, 16, 54, 49, 55	mulgcld 19079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
57	14	nnzd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
59	49, 58, 55	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
60	11, 16	mulgass 19094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)))
61	54, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)))
62		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
63	11, 12, 16, 62	odid 19519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴) = (0g‘𝐺))
64	55, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴) = (0g‘𝐺))
65	64	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)) = (𝑤 ↑ (0g‘𝐺)))
66	11, 16, 62	mulgz 19085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
67	8, 66	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
68	65, 67	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
69	61, 68	eqtr2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) = ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴))
70	59	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
71	70, 49, 55	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
72	11, 16	mulgassr 19095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)))
73	54, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)))
74	69, 73	eqtr2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
75	53, 56, 74	elrabd 3673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
76	51, 75	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
77	45, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
79	42, 78	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
80		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑤((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦
81		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦
82		fveqeq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦))
83	80, 81, 82	cbvrexw 3287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
84	83	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 → ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
85	84	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
86	79, 85	r19.29a 3148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
87	86	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
88	87	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
89	39, 88	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
90	89	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
91	90	ssrdv 3964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
92		hashss 14427	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) → (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
93	33, 91, 92	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
94	29, 93	eqbrtrd 5141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
95	15, 94	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})))
96		ssrab2 4055	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵
97	96	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
98	9, 97	ssfid 9273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ Fin)
99		hashcl 14374	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℕ0)
100	98, 99	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℕ0)
101	100	nn0red 12563	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ)
102	14	nnred 12255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℝ)
103	101, 102	letri3d 11377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))))
104	95, 103	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  0cc0 11129   · cmul 11134   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ♯chash 14348  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  Grpcgrp 18916  ._gcmg 19050  odcod 19505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-od 19509

This theorem is referenced by:  unitscyglem2  42209