Theorem unitscyglem1 43225

Description: Lemma for unitscyg . (Contributed by metakunt, 13-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitscyglem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
unitscyglem1.2	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
unitscyglem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
unitscyglem1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
unitscyglem1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
unitscyglem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
unitscyglem1	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑛,𝑥   𝐴,𝑛,𝑥   𝐵,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem unitscyglem1

Dummy variables 𝑖 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → (𝑛 ↑ 𝑥) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥))
2	1	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → ((𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺) ↔ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)))
3	2	rabbidv 3420	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
4	3	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → 𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴))
6	4, 5	breq12d 5116	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴)))
7		unitscyglem1.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
8		unitscyglem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		unitscyglem1.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
10		unitscyglem1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		unitscyglem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
13	11, 12	odcl2 19772	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ)
14	8, 9, 10, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ)
15	6, 7, 14	rspcdva 3578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴))
16		unitscyglem1.2	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
17		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) = (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))
18	11, 12, 16, 17	dfod2 19771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))), 0))
19	8, 10, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))), 0))
20	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
21		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
22	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝐵)
23	11, 16, 20, 21, 22	mulgcld 19299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
24	23	fmpttd 7113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)):ℤ⟶𝐵)
25		frn 6715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)):ℤ⟶𝐵 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ 𝐵)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ 𝐵)
27	9, 26	ssfid 9253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin)
28	27	iftrued 4490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))), 0) = (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))))
29	19, 28	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))))
30		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}
31		fvexd 6898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ V)
32	11, 31	eqeltrid 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
33	30, 32	rabexd 5301	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
34		ovexd 7453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ↑ 𝐴) ∈ V)
35	34	fmpttd 7113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)):ℤ⟶V)
36	35	ffnd 6708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) Fn ℤ)
37		fvelrnb 6943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) Fn ℤ → (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦))
39	38	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦)
40		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦 → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
41	40	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦 → 𝑦 = ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤))
42	41	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤))
43		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝜑)
44		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
45	43, 44	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ))
46		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) = (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)))
47		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = 𝑤) → 𝑖 = 𝑤)
48	47	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = 𝑤) → (𝑖 ↑ 𝐴) = (𝑤 ↑ 𝐴))
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
50		ovexd 7453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ 𝐴) ∈ V)
51	46, 48, 49, 50	fvmptd 6999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = (𝑤 ↑ 𝐴))
52		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ↑ 𝐴) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)))
53	52	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ↑ 𝐴) → ((((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺) ↔ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)) = (0g‘𝐺)))
54	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
55	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝐵)
56	11, 16, 54, 49, 55	mulgcld 19299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
57	14	nnzd 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
58	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
59	49, 58, 55	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
60	11, 16	mulgass 19314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)))
61	54, 59, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)))
62		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
63	11, 12, 16, 62	odid 19745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴) = (0g‘𝐺))
64	55, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴) = (0g‘𝐺))
65	64	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)) = (𝑤 ↑ (0g‘𝐺)))
66	11, 16, 62	mulgz 19305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
67	8, 66	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
68	65, 67	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
69	61, 68	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) = ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴))
70	59	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
71	70, 49, 55	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
72	11, 16	mulgassr 19315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)))
73	54, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)))
74	69, 73	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
75	53, 56, 74	elrabd 3647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
76	51, 75	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
77	45, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
79	42, 78	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
80		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑤((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦
81		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦
82		fveqeq2 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦))
83	80, 81, 82	cbvrexw 3306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
84	83	bilani 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
85	79, 84	r19.29a 3171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
86	85	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
87	86	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
88	39, 87	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
89	88	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
90	89	ssrdv 3937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
91		hashss 14546	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) → (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
92	33, 90, 91	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
93	29, 92	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
94	15, 93	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})))
95		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵
96	95	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
97	9, 96	ssfid 9253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ Fin)
98		hashcl 14493	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℕ0)
99	97, 98	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℕ0)
100	99	nn0red 12661	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ)
101	14	nnred 12343	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℝ)
102	100, 101	letri3d 11445	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))))
103	94, 102	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  0cc0 11193   · cmul 11198   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ♯chash 14467  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  Grpcgrp 19137  ._gcmg 19270  odcod 19731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-od 19735

This theorem is used by:  unitscyglem2  43226