Theorem unitscyglem1 42943

Description: Lemma for unitscyg . (Contributed by metakunt, 13-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitscyglem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
unitscyglem1.2	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
unitscyglem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
unitscyglem1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
unitscyglem1.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
unitscyglem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
unitscyglem1	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑛,𝑥   𝐴,𝑛,𝑥   𝐵,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem unitscyglem1

Dummy variables 𝑖 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → (𝑛 ↑ 𝑥) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥))
2	1	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → ((𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺) ↔ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)))
3	2	rabbidv 3423	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
4	3	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → 𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴))
6	4, 5	breq12d 5123	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((od‘𝐺)‘𝐴) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴)))
7		unitscyglem1.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑛 ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑛)
8		unitscyglem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		unitscyglem1.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
10		unitscyglem1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		unitscyglem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
13	11, 12	odcl2 19636	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ)
14	8, 9, 10, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℕ)
15	6, 7, 14	rspcdva 3583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴))
16		unitscyglem1.2	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) = (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))
18	11, 12, 16, 17	dfod2 19635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))), 0))
19	8, 10, 18	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = if(ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))), 0))
20	8	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
21		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
22	10	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝐵)
23	11, 16, 20, 21, 22	mulgcld 19163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
24	23	fmpttd 7112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)):ℤ⟶𝐵)
25		frn 6715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)):ℤ⟶𝐵 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ 𝐵)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ 𝐵)
27	9, 26	ssfid 9230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin)
28	27	iftrued 4496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))), 0) = (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))))
29	19, 28	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) = (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))))
30		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}
31		fvexd 6898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ V)
32	11, 31	eqeltrid 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
33	30, 32	rabexd 5312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
34		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ↑ 𝐴) ∈ V)
35	34	fmpttd 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)):ℤ⟶V)
36	35	ffnd 6708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) Fn ℤ)
37		fvelrnb 6943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) Fn ℤ → (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦))
39	38	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦)
40		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦 → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
41	40	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦 → 𝑦 = ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤))
42	41	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦) → 𝑦 = ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤))
43		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝜑)
44		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
45	43, 44	jca 520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ))
46		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) = (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)))
47		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = 𝑤) → 𝑖 = 𝑤)
48	47	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 = 𝑤) → (𝑖 ↑ 𝐴) = (𝑤 ↑ 𝐴))
49		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝑤 ∈ ℤ)
50		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ 𝐴) ∈ V)
51	46, 48, 49, 50	fvmptd 6999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = (𝑤 ↑ 𝐴))
52		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ↑ 𝐴) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)))
53	52	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑤 ↑ 𝐴) → ((((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺) ↔ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)) = (0g‘𝐺)))
54	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
55	10	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝐵)
56	11, 16, 54, 49, 55	mulgcld 19163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ 𝐴) ∈ 𝐵)
57	14	nnzd 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
58	57	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
59	49, 58, 55	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
60	11, 16	mulgass 19178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)))
61	54, 59, 60	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)))
62		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
63	11, 12, 16, 62	odid 19609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴) = (0g‘𝐺))
64	55, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴) = (0g‘𝐺))
65	64	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)) = (𝑤 ↑ (0g‘𝐺)))
66	11, 16, 62	mulgz 19169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
67	8, 66	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
68	65, 67	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
69	61, 68	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) = ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴))
70	59	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ)
71	70, 49, 55	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
72	11, 16	mulgassr 19179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)))
73	54, 71, 72	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑤 · ((od‘𝐺)‘𝐴)) ↑ 𝐴) = (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)))
74	69, 73	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ (𝑤 ↑ 𝐴)) = (0g‘𝐺))
75	53, 56, 74	elrabd 3653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑤 ↑ 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
76	51, 75	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
77	45, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
78	77	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦) → ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
79	42, 78	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
80		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑤((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦
81		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦
82		fveqeq2 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦))
83	80, 81, 82	cbvrexw 3308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
84	83	bilani 509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑤) = 𝑦)
85	79, 84	r19.29a 3173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
86	85	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
87	86	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) → (∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
88	39, 87	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
89	88	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
90	89	ssrdv 3944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})
91		hashss 14447	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴)) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) → (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
92	33, 90, 91	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑖 ∈ ℤ ↦ (𝑖 ↑ 𝐴))) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
93	29, 92	eqbrtrd 5134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))
94	15, 93	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)})))
95		ssrab2 4035	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵
96	95	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
97	9, 96	ssfid 9230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ Fin)
98		hashcl 14394	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℕ0)
99	97, 98	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℕ0)
100	99	nn0red 12567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ)
101	14	nnred 12249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℝ)
102	100, 101	letri3d 11353	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴) ↔ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) ≤ ((od‘𝐺)‘𝐴) ∧ ((od‘𝐺)‘𝐴) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}))))
103	94, 102	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (((od‘𝐺)‘𝐴) ↑ 𝑥) = (0g‘𝐺)}) = ((od‘𝐺)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ifcif 4488   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5664   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  0cc0 11101   · cmul 11106   ≤ cle 11245  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ♯chash 14368  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  Grpcgrp 19001  ._gcmg 19134  odcod 19595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-od 19599

This theorem is referenced by:  unitscyglem2  42944