Theorem pmatring 23015

Description: The set of polynomial matrices over a ring is a ring. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatring.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
pmatring	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)

Proof of Theorem pmatring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmatring.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22570	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3		pmatring.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4	3	matring 22763	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
5	2, 4	sylan2 605	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8976  Ringcrg 20464  Poly₁cpl1 22500   Mat cmat 22727

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-dsmm 22043  df-frlm 22058  df-psr 22222  df-mpl 22224  df-opsr 22226  df-psr1 22503  df-ply1 22505  df-mamu 22711  df-mat 22728

This theorem is used by:  1pmatscmul  23025  1elcpmat  23038  cpmatacl  23039  cpmatinvcl  23040  cpmatmcl  23042  cpmatsubgpmat  23043  cpmatsrgpmat  23044  mat2pmatghm  23053  mat2pmat1  23055  decpmatid  23093  decpmatmullem  23094  decpmatmul  23095  decpmatmulsumfsupp  23096  pmatcollpwfi  23105  pmatcollpw3fi1lem1  23109  idpm2idmp  23124  pm2mpghm  23139  pm2mpmhmlem1  23141  pm2mpmhmlem2  23142  pm2mpmhm  23143  pm2mprhm  23144  pm2mp  23148  chmatcl  23151  chmatval  23152  chpdmatlem0  23160  chpdmatlem1  23161  chpdmatlem2  23162  chpdmatlem3  23163  chmaidscmat  23171  chfacfisf  23177  chfacfscmulgsum  23183  chfacfpmmulcl  23184  chfacfpmmul0  23185  chfacfpmmulgsum  23187  chfacfpmmulgsum2  23188  cayhamlem1  23189  cpmadugsumlemF  23199  cpmadugsumfi  23200  cpmidgsum2  23202  cayhamlem4  23211