MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatring 21294
Description: The set of polynomial matrices over a ring is a ring. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatring.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatring.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
pmatring ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)

Proof of Theorem pmatring
StepHypRef Expression
1 pmatring.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 20409 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3 pmatring.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
43matring 21045 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
52, 4sylan2 595 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7145  Fincfn 8499  Ringcrg 19293  Poly1cpl1 20338   Mat cmat 21009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-ot 4558  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-sup 8897  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-hash 13692  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psr 20129  df-mpl 20131  df-opsr 20133  df-psr1 20341  df-ply1 20343  df-dsmm 20869  df-frlm 20884  df-mamu 20988  df-mat 21010
This theorem is referenced by:  1pmatscmul  21303  1elcpmat  21316  cpmatacl  21317  cpmatinvcl  21318  cpmatmcl  21320  cpmatsubgpmat  21321  cpmatsrgpmat  21322  mat2pmatghm  21331  mat2pmat1  21333  decpmatid  21371  decpmatmullem  21372  decpmatmul  21373  decpmatmulsumfsupp  21374  pmatcollpwfi  21383  pmatcollpw3fi1lem1  21387  idpm2idmp  21402  pm2mpghm  21417  pm2mpmhmlem1  21419  pm2mpmhmlem2  21420  pm2mpmhm  21421  pm2mprhm  21422  pm2mprngiso  21423  pm2mp  21426  chmatcl  21429  chmatval  21430  chpdmatlem0  21438  chpdmatlem1  21439  chpdmatlem2  21440  chpdmatlem3  21441  chmaidscmat  21449  chfacfisf  21455  chfacfscmulgsum  21461  chfacfpmmulcl  21462  chfacfpmmul0  21463  chfacfpmmulgsum  21465  chfacfpmmulgsum2  21466  cayhamlem1  21467  cpmadugsumlemF  21477  cpmadugsumfi  21478  cpmidgsum2  21480  cayhamlem4  21489
  Copyright terms: Public domain W3C validator