Theorem pmatcollpwscmat 22977

Description: Write a scalar matrix over polynomials (over a commutative ring) as a sum of the product of variable powers and constant scalar matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpwscmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatcollpwscmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpwscmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpwscmat.m1	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
pmatcollpwscmat.e1	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpwscmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
pmatcollpwscmat.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
pmatcollpwscmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pmatcollpwscmat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)
pmatcollpwscmat.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
pmatcollpwscmat.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
pmatcollpwscmat.e2	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
pmatcollpwscmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
pmatcollpwscmat.1	⊢ 1 = (1r‘𝐶)
pmatcollpwscmat.m2	⊢ 𝑀 = (𝑄 ∗ 1 )

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpwscmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 )))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   ∗ (𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpwscmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20350	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		pmatcollpwscmat.m2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑄 ∗ 1 )
3		pmatcollpwscmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		pmatcollpwscmat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		pmatcollpwscmat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
6		pmatcollpwscmat.e2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
7		pmatcollpwscmat.m1	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
8		pmatcollpwscmat.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐶)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	1pmatscmul 22888	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝑄 ∗ 1 ) ∈ 𝐵)
10	2, 9	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 ∈ 𝐵)
11	1, 10	syl3an2 1182	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 ∈ 𝐵)
12		pmatcollpwscmat.e1	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13		pmatcollpwscmat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		pmatcollpwscmat.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
15	3, 4, 5, 7, 12, 13, 14	pmatcollpw 22967	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
16	11, 15	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
17	1	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
18	17	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
19		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑄 ∈ 𝐸)
20	19	anim1ci 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸))
21		pmatcollpwscmat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
22		pmatcollpwscmat.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)
23		pmatcollpwscmat.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
24		pmatcollpwscmat.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
25		pmatcollpwscmat.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
26	3, 4, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 6, 25, 8, 2	pmatcollpwscmatlem2 22976	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸)) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)) = ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 ))
27	18, 20, 26	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)) = ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 ))
28	27	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 )))
29	28	mpteq2dva 5206	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 ))))
30	29	oveq2d 7432	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 )))))
31	16, 30	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 )))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  ℕ₀cn0 12515  Basecbs 17286   ·_𝑠 cvsca 17331   Σ_g cgsu 17510  ._gcmg 19156  mulGrpcmgp 20239  1_rcur 20286  Ringcrg 20338  CRingccrg 20339  algSccascl 22031  var₁cv1 22365  Poly₁cpl1 22366  coe₁cco1 22367   Mat cmat 22593   matToPolyMat cmat2pmat 22890   decompPMat cdecpmat 22948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-srg 20292  df-ring 20340  df-cring 20341  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-dsmm 21911  df-frlm 21926  df-assa 22032  df-ascl 22034  df-psr 22088  df-mvr 22089  df-mpl 22090  df-opsr 22092  df-psr1 22369  df-vr1 22370  df-ply1 22371  df-coe1 22372  df-mamu 22577  df-mat 22594  df-mat2pmat 22893  df-decpmat 22949

This theorem is used by:  cpmidgsum  23054