MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpwscmat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pmatcollpwscmat 22514
Description: Write a scalar matrix over polynomials (over a commutative ring) as a sum of the product of variable powers and constant scalar matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpwscmat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
pmatcollpwscmat.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpwscmat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
pmatcollpwscmat.m1 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
pmatcollpwscmat.e1 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
pmatcollpwscmat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
pmatcollpwscmat.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
pmatcollpwscmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pmatcollpwscmat.d 𝐷 = (Baseβ€˜π΄)
pmatcollpwscmat.u π‘ˆ = (algScβ€˜π‘ƒ)
pmatcollpwscmat.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
pmatcollpwscmat.e2 𝐸 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
pmatcollpwscmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
pmatcollpwscmat.1 1 = (1rβ€˜πΆ)
pmatcollpwscmat.m2 𝑀 = (𝑄 βˆ— 1 )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpwscmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ 𝑀 = (𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— ((π‘ˆβ€˜((coe1β€˜π‘„)β€˜π‘›)) βˆ— 1 )))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   ↑ ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐢(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   π‘ˆ(𝑛)   1 (𝑛)   βˆ— (𝑛)   𝐾(𝑛)
Proof of Theorem pmatcollpwscmat
StepHypRef Expression
1 crngring 20140 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 pmatcollpwscmat.m2 . . . . 5 𝑀 = (𝑄 βˆ— 1 )
3 pmatcollpwscmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 pmatcollpwscmat.c . . . . . 6 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
5 pmatcollpwscmat.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
6 pmatcollpwscmat.e2 . . . . . 6 𝐸 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 pmatcollpwscmat.m1 . . . . . 6 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
8 pmatcollpwscmat.1 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜πΆ)
93, 4, 5, 6, 7, 81pmatscmul 22425 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ (𝑄 βˆ— 1 ) ∈ 𝐡)
102, 9eqeltrid 2836 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
111, 10syl3an2 1163 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
12 pmatcollpwscmat.e1 . . . 4 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
13 pmatcollpwscmat.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
14 pmatcollpwscmat.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
153, 4, 5, 7, 12, 13, 14pmatcollpw 22504 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 = (𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— (π‘‡β€˜(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
1611, 15syld3an3 1408 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ 𝑀 = (𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— (π‘‡β€˜(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
171anim2i 616 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
18173adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
19 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ 𝑄 ∈ 𝐸)
2019anim1ci 615 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸))
21 pmatcollpwscmat.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
22 pmatcollpwscmat.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜π΄)
23 pmatcollpwscmat.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (algScβ€˜π‘ƒ)
24 pmatcollpwscmat.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
25 pmatcollpwscmat.s . . . . . . 7 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
263, 4, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 6, 25, 8, 2pmatcollpwscmatlem2 22513 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘‡β€˜(𝑀 decompPMat 𝑛)) = ((π‘ˆβ€˜((coe1β€˜π‘„)β€˜π‘›)) βˆ— 1 ))
2718, 20, 26syl2an2r 682 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘‡β€˜(𝑀 decompPMat 𝑛)) = ((π‘ˆβ€˜((coe1β€˜π‘„)β€˜π‘›)) βˆ— 1 ))
2827oveq2d 7428 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— (π‘‡β€˜(𝑀 decompPMat 𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— ((π‘ˆβ€˜((coe1β€˜π‘„)β€˜π‘›)) βˆ— 1 )))
2928mpteq2dva 5248 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— (π‘‡β€˜(𝑀 decompPMat 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— ((π‘ˆβ€˜((coe1β€˜π‘„)β€˜π‘›)) βˆ— 1 ))))
3029oveq2d 7428 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ (𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— (π‘‡β€˜(𝑀 decompPMat 𝑛))))) = (𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— ((π‘ˆβ€˜((coe1β€˜π‘„)β€˜π‘›)) βˆ— 1 )))))
3116, 30eqtrd 2771 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ 𝑀 = (𝐢 Ξ£g (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) βˆ— ((π‘ˆβ€˜((coe1β€˜π‘„)β€˜π‘›)) βˆ— 1 )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  β„•0cn0 12477  Basecbs 17149   ·𝑠 cvsca 17206   Ξ£g cgsu 17391  .gcmg 18987  mulGrpcmgp 20029  1rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  algSccascl 21627  var1cv1 21920  Poly1cpl1 21921  coe1cco1 21922   Mat cmat 22128   matToPolyMat cmat2pmat 22427   decompPMat cdecpmat 22485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-assa 21628  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-vr1 21925  df-ply1 21926  df-coe1 21927  df-mamu 22107  df-mat 22129  df-mat2pmat 22430  df-decpmat 22486
This theorem is referenced by:  cpmidgsum  22591
  Copyright terms: Public domain W3C validator