Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpwscmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpwscmat 21434
 Description: Write a scalar matrix over polynomials (over a commutative ring) as a sum of the product of variable powers and constant scalar matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpwscmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatcollpwscmat.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpwscmat.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpwscmat.m1 = ( ·𝑠𝐶)
pmatcollpwscmat.e1 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpwscmat.x 𝑋 = (var1𝑅)
pmatcollpwscmat.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
pmatcollpwscmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pmatcollpwscmat.d 𝐷 = (Base‘𝐴)
pmatcollpwscmat.u 𝑈 = (algSc‘𝑃)
pmatcollpwscmat.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
pmatcollpwscmat.e2 𝐸 = (Base‘𝑃)
pmatcollpwscmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
pmatcollpwscmat.1 1 = (1r𝐶)
pmatcollpwscmat.m2 𝑀 = (𝑄 1 )
Assertion
Ref Expression
pmatcollpwscmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝑛)) 1 )))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   (𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpwscmat
StepHypRef Expression
1 crngring 19320 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 pmatcollpwscmat.m2 . . . . 5 𝑀 = (𝑄 1 )
3 pmatcollpwscmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 pmatcollpwscmat.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
5 pmatcollpwscmat.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
6 pmatcollpwscmat.e2 . . . . . 6 𝐸 = (Base‘𝑃)
7 pmatcollpwscmat.m1 . . . . . 6 = ( ·𝑠𝐶)
8 pmatcollpwscmat.1 . . . . . 6 1 = (1r𝐶)
93, 4, 5, 6, 7, 81pmatscmul 21345 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → (𝑄 1 ) ∈ 𝐵)
102, 9eqeltrid 2894 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝐸) → 𝑀𝐵)
111, 10syl3an2 1161 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) → 𝑀𝐵)
12 pmatcollpwscmat.e1 . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13 pmatcollpwscmat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
14 pmatcollpwscmat.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
153, 4, 5, 7, 12, 13, 14pmatcollpw 21424 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
1611, 15syld3an3 1406 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
171anim2i 619 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
18173adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
19 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) → 𝑄𝐸)
2019anim1ci 618 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑄𝐸))
21 pmatcollpwscmat.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
22 pmatcollpwscmat.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐴)
23 pmatcollpwscmat.u . . . . . . 7 𝑈 = (algSc‘𝑃)
24 pmatcollpwscmat.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
25 pmatcollpwscmat.s . . . . . . 7 𝑆 = (algSc‘𝑃)
263, 4, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 6, 25, 8, 2pmatcollpwscmatlem2 21433 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0𝑄𝐸)) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)) = ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝑛)) 1 ))
2718, 20, 26syl2an2r 684 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)) = ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝑛)) 1 ))
2827oveq2d 7158 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))) = ((𝑛 𝑋) ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝑛)) 1 )))
2928mpteq2dva 5128 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝑛)) 1 ))))
3029oveq2d 7158 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) → (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝑛)) 1 )))))
3116, 30eqtrd 2833 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) ((𝑈‘((coe1𝑄)‘𝑛)) 1 )))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  Fincfn 8507  ℕ0cn0 11900  Basecbs 16492   ·𝑠 cvsca 16578   Σg cgsu 16723  .gcmg 18234  mulGrpcmgp 19250  1rcur 19262  Ringcrg 19308  CRingccrg 19309  algSccascl 20560  var1cv1 20843  Poly1cpl1 20844  coe1cco1 20845   Mat cmat 21050   matToPolyMat cmat2pmat 21347   decompPMat cdecpmat 21405 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-ot 4536  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7397  df-ofr 7398  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7824  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11987  df-dec 12104  df-uz 12249  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-seq 13382  df-hash 13704  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-ip 16592  df-tset 16593  df-ple 16594  df-ds 16596  df-hom 16598  df-cco 16599  df-0g 16724  df-gsum 16725  df-prds 16730  df-pws 16732  df-mre 16866  df-mrc 16867  df-acs 16869  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-mhm 17965  df-submnd 17966  df-grp 18115  df-minusg 18116  df-sbg 18117  df-mulg 18235  df-subg 18286  df-ghm 18366  df-cntz 18457  df-cmn 18918  df-abl 18919  df-mgp 19251  df-ur 19263  df-srg 19267  df-ring 19310  df-cring 19311  df-subrg 19544  df-lmod 19647  df-lss 19715  df-sra 19955  df-rgmod 19956  df-dsmm 20440  df-frlm 20455  df-assa 20561  df-ascl 20563  df-psr 20614  df-mvr 20615  df-mpl 20616  df-opsr 20618  df-psr1 20847  df-vr1 20848  df-ply1 20849  df-coe1 20850  df-mamu 21029  df-mat 21051  df-mat2pmat 21350  df-decpmat 21406 This theorem is referenced by:  cpmidgsum  21511
 Copyright terms: Public domain W3C validator