Theorem pmatcollpwscmat 23153

Description: Write a scalar matrix over polynomials (over a commutative ring) as a sum of the product of variable powers and constant scalar matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpwscmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatcollpwscmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpwscmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpwscmat.m1	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
pmatcollpwscmat.e1	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpwscmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
pmatcollpwscmat.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
pmatcollpwscmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pmatcollpwscmat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)
pmatcollpwscmat.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
pmatcollpwscmat.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
pmatcollpwscmat.e2	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
pmatcollpwscmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
pmatcollpwscmat.1	⊢ 1 = (1r‘𝐶)
pmatcollpwscmat.m2	⊢ 𝑀 = (𝑄 ∗ 1 )

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpwscmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 )))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   ↑ ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   ∗ (𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpwscmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20514	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		pmatcollpwscmat.m2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑄 ∗ 1 )
3		pmatcollpwscmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		pmatcollpwscmat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		pmatcollpwscmat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
6		pmatcollpwscmat.e2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
7		pmatcollpwscmat.m1	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
8		pmatcollpwscmat.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐶)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	1pmatscmul 23064	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝑄 ∗ 1 ) ∈ 𝐵)
10	2, 9	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 ∈ 𝐵)
11	1, 10	syl3an2 1182	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 ∈ 𝐵)
12		pmatcollpwscmat.e1	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13		pmatcollpwscmat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		pmatcollpwscmat.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
15	3, 4, 5, 7, 12, 13, 14	pmatcollpw 23143	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
16	11, 15	syld3an3 1437	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))))
17	1	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
18	17	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
19		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑄 ∈ 𝐸)
20	19	anim1ci 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸))
21		pmatcollpwscmat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
22		pmatcollpwscmat.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)
23		pmatcollpwscmat.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
24		pmatcollpwscmat.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
25		pmatcollpwscmat.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
26	3, 4, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 6, 25, 8, 2	pmatcollpwscmatlem2 23152	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸)) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)) = ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 ))
27	18, 20, 26	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)) = ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 ))
28	27	oveq2d 7465	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 )))
29	28	mpteq2dva 5202	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 ))))
30	29	oveq2d 7465	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑀 decompPMat 𝑛))))) = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 )))))
31	16, 30	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ ((𝑈‘((coe1‘𝑄)‘𝑛)) ∗ 1 )))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Fincfn 9009  ℕ₀cn0 12644  Basecbs 17428   ·_𝑠 cvsca 17473   Σ_g cgsu 17652  ._gcmg 19318  mulGrpcmgp 20402  1_rcur 20449  Ringcrg 20501  CRingccrg 20502  algSccascl 22204  var₁cv1 22538  Poly₁cpl1 22539  coe₁cco1 22540   Mat cmat 22766   matToPolyMat cmat2pmat 23066   decompPMat cdecpmat 23124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-ofr 7724  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-hash 14514  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-prds 17659  df-pws 17661  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-srg 20455  df-ring 20503  df-cring 20504  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-lmod 21179  df-lss 21249  df-sra 21490  df-rgmod 21491  df-dsmm 22082  df-frlm 22097  df-assa 22205  df-ascl 22207  df-psr 22261  df-mvr 22262  df-mpl 22263  df-opsr 22265  df-psr1 22542  df-vr1 22543  df-ply1 22544  df-coe1 22545  df-mamu 22750  df-mat 22767  df-mat2pmat 23069  df-decpmat 23125

This theorem is used by:  cpmidgsum  23230