Theorem cnmptlimc 24959

Description: If 𝐹 is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptlimc.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ (𝐴–cn→𝐷))
cnmptlimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
cnmptlimc.1	⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cnmptlimc	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cnmptlimc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
2		cnmptlimc.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑋 = 𝑌)
3		cnmptlimc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4	2	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ 𝑌 ∈ 𝐷))
5		cnmptlimc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ (𝐴–cn→𝐷))
6		cncff 23962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ (𝐴–cn→𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐷)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐷)
8	1	fmpt 6966	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐷)
9	7, 8	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ 𝐷)
10	4, 9, 3	rspcdva 3554	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
11	1, 2, 3, 10	fvmptd3 6880	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)‘𝐵) = 𝑌)
12	5, 3	cnlimci 24958	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)‘𝐵) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limℂ 𝐵))
13	11, 12	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  –cn→ccncf 23945   lim_ℂ climc 24931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-topn 17051  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-xms 23381  df-ms 23382  df-cncf 23947  df-limc 24935

This theorem is referenced by:  dvidlem  24984  dvcnp2  24989  dvmulbr  25008  dvrec  25024  lhop1lem  25082  lhop2  25084  taylthlem2  25438  fourierdlem62  43599  fourierdlem73  43610  fourierdlem76  43613