Theorem evlscaval 33798

Description: Polynomial evaluation for scalars. See evlsscaval 22167. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlscafv.1	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evlscafv.2	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlscafv.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evlscafv.4	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlscafv.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlscafv.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlscafv.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evlscafv.8	⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlscaval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋)

Proof of Theorem evlscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlscafv.1	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
2		evlscafv.2	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		evlscafv.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		evlscafv.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
5		evlscafv.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		evlscafv.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		evlscafv.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	evlsca 22147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
9	8	fveq1d 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = (((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿))
10	3	fvexi 6876	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
12		evlscafv.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:𝐼⟶𝐵)
13	11, 5, 12	elmapdd 8816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
14		fvconst2g 7181	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
15	7, 13, 14	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
16	9, 15	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4579   × cxp 5641  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ↑_m cmap 8802  Basecbs 17236  CRingccrg 20271  algSccascl 21892   mPoly cmpl 21946   eval cevl 22114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-srg 20224  df-ring 20272  df-cring 20273  df-rhm 20508  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-assa 21893  df-asp 21894  df-ascl 21895  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-evls 22115  df-evl 22116

This theorem is referenced by:  esplyfvn  33835  vietalem  33837