Theorem esplyfvn 33948

Description: Express the last elementary symmetric polynomial, evaluated at a given set of points 𝑍, in terms of the last elementary symmetric polynomial with one less variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfvn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyfvn.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyfvn.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyfvn.4	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyfvn.5	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyfvn.6	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
esplyfvn.7	⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyfvn.8	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
esplyfvn.9	⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
esplyfvn.10	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyfvn.11	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfvn.12	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyfvn.13	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyfvn.14	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyfvn	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Proof of Theorem esplyfvn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfvn.11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		esplyfvn.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		hashdifsn 14453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
5		esplyfvn.9	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
6		esplyfvn.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
7	6	fveq2i 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐽) = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
8	5, 7	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
9		esplyfvn.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
10	9	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 − 1) = ((♯‘𝐼) − 1)
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐻 − 1))
12	11	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = ((𝐻 − 1) + 1))
13		hashcl 14394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
15	9, 14	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
17		1cnd 11203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	npcand 11574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 1) + 1) = 𝐻)
19	12, 18	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐾 + 1))
20	19	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐾 + 1)))
21	20	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝐻)) = (𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))
22	21	fveq1d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍))
23		esplyfvn.3	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
24		esplyfvn.12	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		esplyfvn.7	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
26		difssd 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
27	6, 26	eqsstrid 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
28	1, 27	ssfid 9230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
29		hashcl 14394	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
31	5, 30	eqeltrid 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
32		nn0fz0 13655	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (0...𝐾))
33	31, 32	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...𝐾))
34	5	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (0...𝐾) = (0...(♯‘𝐽))
35	33, 34	eleqtrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
36		eqid 2763	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
37		esplyfvn.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
38	37	fveq1i 6884	. . 3 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
39		esplyfvn.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
40		esplyfvn.4	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
41		esplyfvn.5	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
42		esplyfvn.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
43		esplyfvn.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
44	23, 1, 24, 2, 6, 25, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43	esplyindfv 33947	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
45	25	fveq1i 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
46	24	crngringd 20329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47	19, 15	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
48		fzp1nel 13641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾)
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾))
50	34	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
51	49, 50	sylnib 331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
52	47, 51	eldifd 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐽))))
53		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅))
54	36, 28, 46, 52, 53	esplyfval2 33936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
55	45, 54	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
56		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
57		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))
58		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
59	56, 57, 58, 53, 28, 46	mplascl0 22156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
60	55, 59	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))
61	60	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1))) = (𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅))))
62	61	fveq1d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
63	24	crnggrpd 20330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
64	39, 58	grpidcl 19033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
65	63, 64	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
66	43, 27	fssresd 6747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽):𝐽⟶𝐵)
67	41, 56, 39, 57, 28, 24, 65, 66	evlscaval 33911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
68	62, 67	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
69	68	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)))
70	43, 2	ffvelcdmd 7082	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑌) ∈ 𝐵)
71		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
72	25	fveq1i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
73	36, 28, 46, 31, 71	esplympl 33938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
74	72, 73	eqeltrid 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
75	39	fvexi 6897	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
77	76, 28, 66	elmapdd 8839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽) ∈ (𝐵 ↑m 𝐽))
78	41, 56, 71, 39, 28, 24, 74, 77	evlcl 22234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
79	39, 23, 46, 70, 78	ringcld 20343	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) ∈ 𝐵)
80	39, 42, 58, 63, 79	grpridd 19038	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
81	69, 80	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	22, 44, 81	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903  {csn 4590   class class class wbr 5110   ↾ cres 5665  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944   finSupp cfsupp 9322  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   − cmin 11442  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13536  ♯chash 14368  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493  Grpcgrp 19001  CRingccrg 20317  algSccascl 21983   mPoly cmpl 22037   eval cevl 22205  eSymPolycesply 33927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-ind 12220  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-srg 20270  df-ring 20318  df-cring 20319  df-rhm 20555  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-cnfld 21504  df-zring 21578  df-zrh 21634  df-assa 21984  df-asp 21985  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-evls 22206  df-evl 22207  df-extv 33901  df-esply 33929

This theorem is referenced by:  vietalem  33950