Theorem esplyfvn 33768

Description: Express the last elementary symmetric polynomial, evaluated at a given set of points 𝑍, in terms of the last elementary symmetric polynomial with one less variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfvn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyfvn.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyfvn.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyfvn.4	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyfvn.5	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyfvn.6	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
esplyfvn.7	⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyfvn.8	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
esplyfvn.9	⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
esplyfvn.10	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyfvn.11	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfvn.12	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyfvn.13	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyfvn.14	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyfvn	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Proof of Theorem esplyfvn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfvn.11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		esplyfvn.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		hashdifsn 14374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
5		esplyfvn.9	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
6		esplyfvn.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
7	6	fveq2i 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐽) = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
8	5, 7	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
9		esplyfvn.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
10	9	oveq1i 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 − 1) = ((♯‘𝐼) − 1)
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐻 − 1))
12	11	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = ((𝐻 − 1) + 1))
13		hashcl 14316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
15	9, 14	eqeltrid 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
17		1cnd 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	npcand 11507	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 1) + 1) = 𝐻)
19	12, 18	eqtr2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐾 + 1))
20	19	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐾 + 1)))
21	20	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝐻)) = (𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))
22	21	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍))
23		esplyfvn.3	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
24		esplyfvn.12	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		esplyfvn.7	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
26		difssd 4074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
27	6, 26	eqsstrid 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
28	1, 27	ssfid 9176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
29		hashcl 14316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
31	5, 30	eqeltrid 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
32		nn0fz0 13577	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (0...𝐾))
33	31, 32	sylib 219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...𝐾))
34	5	oveq2i 7374	. . . 4 ⊢ (0...𝐾) = (0...(♯‘𝐽))
35	33, 34	eleqtrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
36		eqid 2740	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
37		esplyfvn.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
38	37	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
39		esplyfvn.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
40		esplyfvn.4	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
41		esplyfvn.5	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
42		esplyfvn.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
43		esplyfvn.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
44	23, 1, 24, 2, 6, 25, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43	esplyindfv 33767	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
45	25	fveq1i 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
46	24	crngringd 20225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47	19, 15	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
48		fzp1nel 13563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾)
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾))
50	34	eleq2i 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
51	49, 50	sylnib 329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
52	47, 51	eldifd 3901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐽))))
53		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅))
54	36, 28, 46, 52, 53	esplyfval2 33756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
55	45, 54	eqtrid 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
56		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
57		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))
58		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
59	56, 57, 58, 53, 28, 46	mplascl0 22007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
60	55, 59	eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))
61	60	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1))) = (𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅))))
62	61	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
63	24	crnggrpd 20226	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
64	39, 58	grpidcl 18939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
66	43, 27	fssresd 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽):𝐽⟶𝐵)
67	41, 56, 39, 57, 28, 24, 65, 66	evlscaval 33731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
68	62, 67	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
69	68	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)))
70	43, 2	ffvelcdmd 7033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑌) ∈ 𝐵)
71		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
72	25	fveq1i 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
73	36, 28, 46, 31, 71	esplympl 33758	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
74	72, 73	eqeltrid 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
75	39	fvexi 6848	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
77	76, 28, 66	elmapdd 8785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽) ∈ (𝐵 ↑m 𝐽))
78	41, 56, 71, 39, 28, 24, 74, 77	evlcl 22085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
79	39, 23, 46, 70, 78	ringcld 20239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) ∈ 𝐵)
80	39, 42, 58, 63, 79	grpridd 18944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
81	69, 80	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	22, 44, 81	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↾ cres 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   − cmin 11375  ℕ₀cn0 12435  ...cfz 13459  ♯chash 14290  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  CRingccrg 20213  algSccascl 21834   mPoly cmpl 21888   eval cevl 22056  eSymPolycesply 33747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-ind 12158  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-cnfld 21355  df-zring 21429  df-zrh 21485  df-assa 21835  df-asp 21836  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-evls 22057  df-evl 22058  df-extv 33721  df-esply 33749

This theorem is referenced by:  vietalem  33770