Theorem esplyfvn 33733

Description: Express the last elementary symmetric polynomial, evaluated at a given set of points 𝑍, in terms of the last elementary symmetric polynomial with one less variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfvn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyfvn.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyfvn.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyfvn.4	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyfvn.5	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyfvn.6	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
esplyfvn.7	⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyfvn.8	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
esplyfvn.9	⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
esplyfvn.10	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyfvn.11	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfvn.12	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyfvn.13	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyfvn.14	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyfvn	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Proof of Theorem esplyfvn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfvn.11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		esplyfvn.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		hashdifsn 14337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
5		esplyfvn.9	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
6		esplyfvn.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
7	6	fveq2i 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐽) = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
8	5, 7	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
9		esplyfvn.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
10	9	oveq1i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 − 1) = ((♯‘𝐼) − 1)
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐻 − 1))
12	11	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = ((𝐻 − 1) + 1))
13		hashcl 14279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
15	9, 14	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
17		1cnd 11127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	npcand 11496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 1) + 1) = 𝐻)
19	12, 18	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐾 + 1))
20	19	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐾 + 1)))
21	20	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝐻)) = (𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))
22	21	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍))
23		esplyfvn.3	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
24		esplyfvn.12	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		esplyfvn.7	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
26		difssd 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
27	6, 26	eqsstrid 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
28	1, 27	ssfid 9169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
29		hashcl 14279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
31	5, 30	eqeltrid 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
32		nn0fz0 13541	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (0...𝐾))
33	31, 32	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...𝐾))
34	5	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (0...𝐾) = (0...(♯‘𝐽))
35	33, 34	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
36		eqid 2736	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
37		esplyfvn.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
38	37	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
39		esplyfvn.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
40		esplyfvn.4	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
41		esplyfvn.5	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
42		esplyfvn.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
43		esplyfvn.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
44	23, 1, 24, 2, 6, 25, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43	esplyindfv 33732	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
45	25	fveq1i 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
46	24	crngringd 20181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47	19, 15	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
48		fzp1nel 13527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾)
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾))
50	34	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
51	49, 50	sylnib 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
52	47, 51	eldifd 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐽))))
53		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅))
54	36, 28, 46, 52, 53	esplyfval2 33723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
55	45, 54	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
56		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
57		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))
58		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
59	56, 57, 58, 53, 28, 46	mplascl0 21980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
60	55, 59	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))
61	60	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1))) = (𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅))))
62	61	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
63	24	crnggrpd 20182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
64	39, 58	grpidcl 18895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
66	43, 27	fssresd 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽):𝐽⟶𝐵)
67	41, 56, 39, 57, 28, 24, 65, 66	evlscaval 33705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
68	62, 67	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
69	68	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)))
70	43, 2	ffvelcdmd 7030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑌) ∈ 𝐵)
71		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
72	25	fveq1i 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
73	36, 28, 46, 31, 71	esplympl 33725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
74	72, 73	eqeltrid 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
75	39	fvexi 6848	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
77	76, 28, 66	elmapdd 8778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽) ∈ (𝐵 ↑m 𝐽))
78	41, 56, 71, 39, 28, 24, 74, 77	evlcl 22057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
79	39, 23, 46, 70, 78	ringcld 20195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) ∈ 𝐵)
80	39, 42, 58, 63, 79	grpridd 18900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
81	69, 80	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	22, 44, 81	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364  ℕ₀cn0 12401  ...cfz 13423  ♯chash 14253  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  CRingccrg 20169  algSccascl 21807   mPoly cmpl 21862   eval cevl 22028  eSymPolycesply 33714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-evls 22029  df-evl 22030  df-ind 32930  df-extv 33695  df-esply 33716

This theorem is referenced by:  vietalem  33735