Theorem esplyfvn 33879

Description: Express the last elementary symmetric polynomial, evaluated at a given set of points 𝑍, in terms of the last elementary symmetric polynomial with one less variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfvn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyfvn.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyfvn.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyfvn.4	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyfvn.5	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyfvn.6	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
esplyfvn.7	⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyfvn.8	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
esplyfvn.9	⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
esplyfvn.10	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyfvn.11	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfvn.12	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyfvn.13	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyfvn.14	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyfvn	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Proof of Theorem esplyfvn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfvn.11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		esplyfvn.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		hashdifsn 14439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
5		esplyfvn.9	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
6		esplyfvn.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
7	6	fveq2i 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐽) = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
8	5, 7	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
9		esplyfvn.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
10	9	oveq1i 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 − 1) = ((♯‘𝐼) − 1)
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐻 − 1))
12	11	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = ((𝐻 − 1) + 1))
13		hashcl 14380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
15	9, 14	eqeltrid 2869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12555	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
17		1cnd 11190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	npcand 11561	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 1) + 1) = 𝐻)
19	12, 18	eqtr2d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐾 + 1))
20	19	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐾 + 1)))
21	20	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝐻)) = (𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))
22	21	fveq1d 6873	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍))
23		esplyfvn.3	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
24		esplyfvn.12	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		esplyfvn.7	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
26		difssd 4093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
27	6, 26	eqsstrid 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
28	1, 27	ssfid 9217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
29		hashcl 14380	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
31	5, 30	eqeltrid 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
32		nn0fz0 13641	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (0...𝐾))
33	31, 32	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...𝐾))
34	5	oveq2i 7411	. . . 4 ⊢ (0...𝐾) = (0...(♯‘𝐽))
35	33, 34	eleqtrdi 2875	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
36		eqid 2765	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
37		esplyfvn.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
38	37	fveq1i 6872	. . 3 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
39		esplyfvn.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
40		esplyfvn.4	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
41		esplyfvn.5	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
42		esplyfvn.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
43		esplyfvn.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
44	23, 1, 24, 2, 6, 25, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43	esplyindfv 33878	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
45	25	fveq1i 6872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
46	24	crngringd 20316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47	19, 15	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
48		fzp1nel 13627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾)
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾))
50	34	eleq2i 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
51	49, 50	sylnib 331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
52	47, 51	eldifd 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐽))))
53		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅))
54	36, 28, 46, 52, 53	esplyfval2 33867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
55	45, 54	eqtrid 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
56		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
57		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))
58		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
59	56, 57, 58, 53, 28, 46	mplascl0 22132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
60	55, 59	eqtr4d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))
61	60	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1))) = (𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅))))
62	61	fveq1d 6873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
63	24	crnggrpd 20317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
64	39, 58	grpidcl 19020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
65	63, 64	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
66	43, 27	fssresd 6735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽):𝐽⟶𝐵)
67	41, 56, 39, 57, 28, 24, 65, 66	evlscaval 33842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
68	62, 67	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
69	68	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)))
70	43, 2	ffvelcdmd 7070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑌) ∈ 𝐵)
71		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
72	25	fveq1i 6872	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
73	36, 28, 46, 31, 71	esplympl 33869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
74	72, 73	eqeltrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
75	39	fvexi 6885	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
77	76, 28, 66	elmapdd 8826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽) ∈ (𝐵 ↑m 𝐽))
78	41, 56, 71, 39, 28, 24, 74, 77	evlcl 22210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
79	39, 23, 46, 70, 78	ringcld 20330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) ∈ 𝐵)
80	39, 42, 58, 63, 79	grpridd 19025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
81	69, 80	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	22, 44, 81	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↾ cres 5653  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429  ℕ₀cn0 12492  ...cfz 13523  ♯chash 14354  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17480  Grpcgrp 18988  CRingccrg 20304  algSccascl 21959   mPoly cmpl 22013   eval cevl 22181  eSymPolycesply 33858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-ind 12207  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-srg 20257  df-ring 20305  df-cring 20306  df-rhm 20542  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-cnfld 21480  df-zring 21554  df-zrh 21610  df-assa 21960  df-asp 21961  df-ascl 21962  df-psr 22016  df-mvr 22017  df-mpl 22018  df-evls 22182  df-evl 22183  df-extv 33832  df-esply 33860

This theorem is referenced by:  vietalem  33881