Theorem esplyfvn 33721

Description: Express the last elementary symmetric polynomial, evaluated at a given set of points 𝑍, in terms of the last elementary symmetric polynomial with one less variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfvn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyfvn.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyfvn.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyfvn.4	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyfvn.5	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyfvn.6	⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
esplyfvn.7	⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyfvn.8	⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
esplyfvn.9	⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
esplyfvn.10	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyfvn.11	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfvn.12	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyfvn.13	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyfvn.14	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyfvn	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Proof of Theorem esplyfvn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfvn.11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		esplyfvn.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		hashdifsn 14376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌})) = ((♯‘𝐼) − 1))
5		esplyfvn.9	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (♯‘𝐽)
6		esplyfvn.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
7	6	fveq2i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐽) = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
8	5, 7	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (♯‘(𝐼 ∖ {𝑌}))
9		esplyfvn.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (♯‘𝐼)
10	9	oveq1i 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 − 1) = ((♯‘𝐼) − 1)
11	4, 8, 10	3eqtr4g 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐻 − 1))
12	11	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = ((𝐻 − 1) + 1))
13		hashcl 14318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
15	9, 14	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
17		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	npcand 11509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 1) + 1) = 𝐻)
19	12, 18	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐾 + 1))
20	19	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐾 + 1)))
21	20	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝐻)) = (𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))
22	21	fveq1d 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍))
23		esplyfvn.3	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
24		esplyfvn.12	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25		esplyfvn.7	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐽eSymPoly𝑅)
26		difssd 4077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
27	6, 26	eqsstrid 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
28	1, 27	ssfid 9179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
29		hashcl 14318	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
31	5, 30	eqeltrid 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
32		nn0fz0 13579	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (0...𝐾))
33	31, 32	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...𝐾))
34	5	oveq2i 7378	. . . 4 ⊢ (0...𝐾) = (0...(♯‘𝐽))
35	33, 34	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
36		eqid 2736	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
37		esplyfvn.6	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼eSymPoly𝑅)
38	37	fveq1i 6841	. . 3 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
39		esplyfvn.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
40		esplyfvn.4	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
41		esplyfvn.5	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
42		esplyfvn.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
43		esplyfvn.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
44	23, 1, 24, 2, 6, 25, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43	esplyindfv 33720	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
45	25	fveq1i 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
46	24	crngringd 20227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47	19, 15	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
48		fzp1nel 13565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾)
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾))
50	34	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (0...𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
51	49, 50	sylnib 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐾 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐽)))
52	47, 51	eldifd 3900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐽))))
53		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅))
54	36, 28, 46, 52, 53	esplyfval2 33709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
55	45, 54	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
56		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
57		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))
58		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
59	56, 57, 58, 53, 28, 46	mplascl0 22003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
60	55, 59	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐾 + 1)) = ((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))
61	60	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1))) = (𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅))))
62	61	fveq1d 6842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
63	24	crnggrpd 20228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
64	39, 58	grpidcl 18941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
66	43, 27	fssresd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽):𝐽⟶𝐵)
67	41, 56, 39, 57, 28, 24, 65, 66	evlscaval 33684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(𝐽 mPoly 𝑅))‘(0g‘𝑅)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
68	62, 67	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) = (0g‘𝑅))
69	68	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)))
70	43, 2	ffvelcdmd 7037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑌) ∈ 𝐵)
71		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
72	25	fveq1i 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
73	36, 28, 46, 31, 71	esplympl 33711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
74	72, 73	eqeltrid 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
75	39	fvexi 6854	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
77	76, 28, 66	elmapdd 8788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ↾ 𝐽) ∈ (𝐵 ↑m 𝐽))
78	41, 56, 71, 39, 28, 24, 74, 77	evlcl 22080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
79	39, 23, 46, 70, 78	ringcld 20241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) ∈ 𝐵)
80	39, 42, 58, 63, 79	grpridd 18946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + (0g‘𝑅)) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
81	69, 80	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐹‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	22, 44, 81	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐸‘𝐻))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐹‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↾ cres 5633  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  ♯chash 14292  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  CRingccrg 20215  algSccascl 21832   mPoly cmpl 21886   eval cevl 22051  eSymPolycesply 33700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-ind 12160  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-evls 22052  df-evl 22053  df-extv 33674  df-esply 33702

This theorem is referenced by:  vietalem  33723