Theorem minplycl 33691

Description: The minimal polynomial is a polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annig1p.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
ply1annig1p.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annig1p.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
ply1annig1p.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
minplyval.1	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
minplycl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞   𝐸,𝑞   𝐹,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝐺(𝑞)   𝐾(𝑞)   𝑀(𝑞)

Proof of Theorem minplycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		ply1annig1p.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		ply1annig1p.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		ply1annig1p.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
10		ply1annig1p.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplyval.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 33690	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝐺‘𝑄))
13	4	fldcrngd 20758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
14		issdrg 20805	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
15	5, 14	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
16	15	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
17	1, 2, 3, 13, 16, 6, 7, 8	ply1annidl 33687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))
18		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
19		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
20	18, 19	lidlss 21239	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑃))
21	17, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑃))
22	15	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
23	2, 10, 19	ig1pcl 26230	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝐺‘𝑄) ∈ 𝑄)
24	22, 17, 23	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑄) ∈ 𝑄)
25	21, 24	sseldd 4009	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑄) ∈ (Base‘𝑃))
26	12, 25	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ⊆ wss 3976  dom cdm 5695  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443  Basecbs 17252   ↾_s cress 17281  0_gc0g 17493  SubRingcsubrg 20589  DivRingcdr 20745  Fieldcfield 20746  SubDRingcsdrg 20803  LIdealclidl 21233  RSpancrsp 21234  Poly₁cpl1 22191   evalSub₁ ces1 22330  idlGen_1pcig1p 26181   minPoly cminply 33684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-pre-sup 11256  ax-addf 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-se 5651  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-isom 6577  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7708  df-ofr 7709  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-supp 8196  df-tpos 8261  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-2o 8517  df-er 8757  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8950  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-fsupp 9426  df-sup 9505  df-inf 9506  df-oi 9573  df-card 10002  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-7 12355  df-8 12356  df-9 12357  df-n0 12548  df-z 12634  df-dec 12753  df-uz 12898  df-fz 13562  df-fzo 13706  df-seq 14047  df-hash 14374  df-struct 17188  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-mhm 18812  df-submnd 18813  df-grp 18970  df-minusg 18971  df-sbg 18972  df-mulg 19102  df-subg 19157  df-ghm 19247  df-cntz 19351  df-cmn 19818  df-abl 19819  df-mgp 20156  df-rng 20174  df-ur 20203  df-srg 20208  df-ring 20256  df-cring 20257  df-oppr 20354  df-dvdsr 20377  df-unit 20378  df-invr 20408  df-rhm 20492  df-subrng 20566  df-subrg 20591  df-rlreg 20710  df-drng 20747  df-field 20748  df-sdrg 20804  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-cnfld 21382  df-assa 21890  df-asp 21891  df-ascl 21892  df-psr 21945  df-mvr 21946  df-mpl 21947  df-opsr 21949  df-evls 22114  df-evl 22115  df-psr1 22194  df-vr1 22195  df-ply1 22196  df-coe1 22197  df-evls1 22332  df-evl1 22333  df-mdeg 26106  df-deg1 26107  df-mon1 26182  df-uc1p 26183  df-ig1p 26186  df-minply 33685

This theorem is referenced by:  minplyirred  33696  minplym1p  33698  algextdeglem4  33703  algextdeglem6  33705  algextdeglem7  33706  algextdeglem8  33707  rtelextdg2lem  33709