Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  minplycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minplycl 33677
Description: The minimal polynomial is a polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1annig1p.o 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p 𝑃 = (Poly1‘(𝐸s 𝐹))
ply1annig1p.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e (𝜑𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a (𝜑𝐴𝐵)
ply1annig1p.0 0 = (0g𝐸)
ply1annig1p.q 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annig1p.k 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
ply1annig1p.g 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸s 𝐹))
minplyval.1 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
Assertion
Ref Expression
minplycl (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞   𝐸,𝑞   𝐹,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝐺(𝑞)   𝐾(𝑞)   𝑀(𝑞)

Proof of Theorem minplycl
StepHypRef Expression
1 ply1annig1p.o . . 3 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2 ply1annig1p.p . . 3 𝑃 = (Poly1‘(𝐸s 𝐹))
3 ply1annig1p.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐸)
4 ply1annig1p.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ Field)
5 ply1annig1p.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6 ply1annig1p.a . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
7 ply1annig1p.0 . . 3 0 = (0g𝐸)
8 ply1annig1p.q . . 3 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = 0 }
9 ply1annig1p.k . . 3 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
10 ply1annig1p.g . . 3 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸s 𝐹))
11 minplyval.1 . . 3 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minplyval 33676 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) = (𝐺𝑄))
134fldcrngd 20740 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ CRing)
14 issdrg 20787 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸s 𝐹) ∈ DivRing))
155, 14sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸s 𝐹) ∈ DivRing))
1615simp2d 1141 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
171, 2, 3, 13, 16, 6, 7, 8ply1annidl 33673 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))
18 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
19 eqid 2733 . . . . 5 (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
2018, 19lidlss 21221 . . . 4 (𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑃))
2117, 20syl 17 . . 3 (𝜑𝑄 ⊆ (Base‘𝑃))
2215simp3d 1142 . . . 4 (𝜑 → (𝐸s 𝐹) ∈ DivRing)
232, 10, 19ig1pcl 26214 . . . 4 (((𝐸s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝐺𝑄) ∈ 𝑄)
2422, 17, 23syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑄) ∈ 𝑄)
2521, 24sseldd 3996 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑄) ∈ (Base‘𝑃))
2612, 25eqeltrd 2837 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1535  wcel 2104  {crab 3432  wss 3963  dom cdm 5683  cfv 6558  (class class class)co 7425  Basecbs 17234  s cress 17263  0gc0g 17475  SubRingcsubrg 20571  DivRingcdr 20727  Fieldcfield 20728  SubDRingcsdrg 20785  LIdealclidl 21215  RSpancrsp 21216  Poly1cpl1 22175   evalSub1 ces1 22314  idlGen1pcig1p 26165   minPoly cminply 33670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-supp 8179  df-tpos 8244  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-seq 14029  df-hash 14356  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-prds 17483  df-pws 17485  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18794  df-submnd 18795  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-mulg 19084  df-subg 19139  df-ghm 19229  df-cntz 19333  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-srg 20190  df-ring 20238  df-cring 20239  df-oppr 20336  df-dvdsr 20359  df-unit 20360  df-invr 20390  df-rhm 20474  df-subrng 20548  df-subrg 20573  df-rlreg 20692  df-drng 20729  df-field 20730  df-sdrg 20786  df-lmod 20858  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21171  df-rgmod 21172  df-lidl 21217  df-cnfld 21364  df-assa 21872  df-asp 21873  df-ascl 21874  df-psr 21928  df-mvr 21929  df-mpl 21930  df-opsr 21932  df-evls 22097  df-evl 22098  df-psr1 22178  df-vr1 22179  df-ply1 22180  df-coe1 22181  df-evls1 22316  df-evl1 22317  df-mdeg 26090  df-deg1 26091  df-mon1 26166  df-uc1p 26167  df-ig1p 26170  df-minply 33671
This theorem is referenced by:  minplyirred  33682  minplym1p  33684  algextdeglem4  33689  algextdeglem6  33691  algextdeglem7  33692  algextdeglem8  33693  rtelextdg2lem  33695
  Copyright terms: Public domain W3C validator