Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  minplycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minplycl 33410
Description: The minimal polynomial is a polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1annig1p.o 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p 𝑃 = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
ply1annig1p.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
ply1annig1p.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
ply1annig1p.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
ply1annig1p.0 0 = (0gβ€˜πΈ)
ply1annig1p.q 𝑄 = {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = 0 }
ply1annig1p.k 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘ƒ)
ply1annig1p.g 𝐺 = (idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
minplyval.1 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
Assertion
Ref Expression
minplycl (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   0 ,π‘ž   𝐴,π‘ž   𝑂,π‘ž   𝑃,π‘ž   πœ‘,π‘ž   𝐸,π‘ž   𝐹,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘ž)   𝑄(π‘ž)   𝐺(π‘ž)   𝐾(π‘ž)   𝑀(π‘ž)

Proof of Theorem minplycl
StepHypRef Expression
1 ply1annig1p.o . . 3 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2 ply1annig1p.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
3 ply1annig1p.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
4 ply1annig1p.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
5 ply1annig1p.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
6 ply1annig1p.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
7 ply1annig1p.0 . . 3 0 = (0gβ€˜πΈ)
8 ply1annig1p.q . . 3 𝑄 = {π‘ž ∈ dom 𝑂 ∣ ((π‘‚β€˜π‘ž)β€˜π΄) = 0 }
9 ply1annig1p.k . . 3 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘ƒ)
10 ply1annig1p.g . . 3 𝐺 = (idlGen1pβ€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
11 minplyval.1 . . 3 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minplyval 33409 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = (πΊβ€˜π‘„))
134fldcrngd 20644 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ CRing)
14 issdrg 20683 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ) ∧ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing))
155, 14sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ) ∧ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing))
1615simp2d 1140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
171, 2, 3, 13, 16, 6, 7, 8ply1annidl 33406 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
18 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
19 eqid 2728 . . . . 5 (LIdealβ€˜π‘ƒ) = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
2018, 19lidlss 21115 . . . 4 (𝑄 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ) β†’ 𝑄 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
2117, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
2215simp3d 1141 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing)
232, 10, 19ig1pcl 26133 . . . 4 (((𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ)) β†’ (πΊβ€˜π‘„) ∈ 𝑄)
2422, 17, 23syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘„) ∈ 𝑄)
2521, 24sseldd 3983 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2612, 25eqeltrd 2829 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   βŠ† wss 3949  dom cdm 5682  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  0gc0g 17428  SubRingcsubrg 20513  DivRingcdr 20631  Fieldcfield 20632  SubDRingcsdrg 20681  LIdealclidl 21109  RSpancrsp 21110  Poly1cpl1 22103   evalSub1 ces1 22239  idlGen1pcig1p 26085   minPoly cminply 33403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-sdrg 20682  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rlreg 21237  df-cnfld 21287  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-evls 22025  df-evl 22026  df-psr1 22106  df-vr1 22107  df-ply1 22108  df-coe1 22109  df-evls1 22241  df-evl1 22242  df-mdeg 26008  df-deg1 26009  df-mon1 26086  df-uc1p 26087  df-ig1p 26090  df-minply 33404
This theorem is referenced by:  minplyirred  33414  minplym1p  33416  algextdeglem4  33421  algextdeglem6  33423  algextdeglem7  33424  algextdeglem8  33425
  Copyright terms: Public domain W3C validator