Theorem minplycl 33071

Description: The minimal polynomial is a polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annig1p.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
ply1annig1p.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annig1p.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
ply1annig1p.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
minplyval.1	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
minplycl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞   𝐸,𝑞   𝐹,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝐺(𝑞)   𝐾(𝑞)   𝑀(𝑞)

Proof of Theorem minplycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		ply1annig1p.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		ply1annig1p.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		ply1annig1p.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
10		ply1annig1p.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplyval.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 33070	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝐺‘𝑄))
13	4	fldcrngd 20517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
14		issdrg 20551	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
15	5, 14	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
16	15	simp2d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
17	1, 2, 3, 13, 16, 6, 7, 8	ply1annidl 33067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))
18		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
19		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
20	18, 19	lidlss 20982	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑃))
21	17, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑃))
22	15	simp3d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
23	2, 10, 19	ig1pcl 25942	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝐺‘𝑄) ∈ 𝑄)
24	22, 17, 23	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑄) ∈ 𝑄)
25	21, 24	sseldd 3983	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑄) ∈ (Base‘𝑃))
26	12, 25	eqeltrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ⊆ wss 3948  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151   ↾_s cress 17180  0_gc0g 17392  SubRingcsubrg 20461  DivRingcdr 20504  Fieldcfield 20505  SubDRingcsdrg 20549  LIdealclidl 20932  RSpancrsp 20933  Poly₁cpl1 21933   evalSub₁ ces1 22065  idlGen_1pcig1p 25896   minPoly cminply 33060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-mulg 18991  df-subg 19043  df-ghm 19132  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-srg 20085  df-ring 20133  df-cring 20134  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-rhm 20367  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-drng 20506  df-field 20507  df-sdrg 20550  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-lsp 20731  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-lidl 20936  df-rlreg 21103  df-cnfld 21149  df-assa 21631  df-asp 21632  df-ascl 21633  df-psr 21685  df-mvr 21686  df-mpl 21687  df-opsr 21689  df-evls 21859  df-evl 21860  df-psr1 21936  df-vr1 21937  df-ply1 21938  df-coe1 21939  df-evls1 22067  df-evl1 22068  df-mdeg 25819  df-deg1 25820  df-mon1 25897  df-uc1p 25898  df-ig1p 25901  df-minply 33061

This theorem is referenced by:  minplyirred  33074  minplym1p  33076  algextdeglem4  33080  algextdeglem6  33082  algextdeglem7  33083  algextdeglem8  33084