Theorem m2cpmf1o 22569

Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices onto the constant polynomial matrices. (Contributed by AV, 19-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpmfo.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpmfo.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
m2cpmf1o	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–1-1-onto→𝑆)

Proof of Theorem m2cpmf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpmfo.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		m2cpmfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3		m2cpmfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		m2cpmfo.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
5	1, 2, 3, 4	m2cpmf1 22555	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–1-1→𝑆)
6	1, 2, 3, 4	m2cpmfo 22568	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–onto→𝑆)
7		df-f1o 6540	. 2 ⊢ (𝑇:𝐾–1-1-onto→𝑆 ↔ (𝑇:𝐾–1-1→𝑆 ∧ 𝑇:𝐾–onto→𝑆))
8	5, 6, 7	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–1-1-onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  –1-1→wf1 6530  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8934  Basecbs 17140  Ringcrg 20123   Mat cmat 22217   ConstPolyMat ccpmat 22515   matToPolyMat cmat2pmat 22516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18983  df-subg 19035  df-ghm 19124  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-srg 20077  df-ring 20125  df-subrng 20431  df-subrg 20456  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-sra 21006  df-rgmod 21007  df-dsmm 21587  df-frlm 21602  df-ascl 21710  df-psr 21762  df-mvr 21763  df-mpl 21764  df-opsr 21766  df-psr1 22013  df-vr1 22014  df-ply1 22015  df-coe1 22016  df-mat 22218  df-cpmat 22518  df-mat2pmat 22519  df-cpmat2mat 22520

This theorem is referenced by:  m2cpmrngiso  22570