MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmat1opsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmat1opsc 22044
Description: The identity polynomial matrix over a ring represented as operation with "lifted scalars". (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmat0opsc.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmat0opsc.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmat0opsc.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
pmat0opsc.z 0 = (0g𝑅)
pmat1opsc.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
pmat1opsc ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝐴1 ), (𝐴0 ))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   1 (𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem pmat1opsc
StepHypRef Expression
1 pmat0opsc.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pmat0opsc.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3 eqid 2736 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4 eqid 2736 . . 3 (1r𝑃) = (1r𝑃)
51, 2, 3, 4pmat1op 22041 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃))))
6 pmat0opsc.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑃)
7 pmat1opsc.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
81, 6, 7, 4ply1scl1 21659 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝐴1 ) = (1r𝑃))
98eqcomd 2742 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑃) = (𝐴1 ))
10 pmat0opsc.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
111, 6, 10, 3ply1scl0 21657 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝐴0 ) = (0g𝑃))
1211eqcomd 2742 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑃) = (𝐴0 ))
139, 12ifeq12d 4506 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃)) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐴1 ), (𝐴0 )))
1413adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃)) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐴1 ), (𝐴0 )))
1514mpoeq3dv 7433 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝐴1 ), (𝐴0 ))))
165, 15eqtrd 2776 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝐴1 ), (𝐴0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4485  cfv 6494  (class class class)co 7354  cmpo 7356  Fincfn 8880  0gc0g 17318  1rcur 19909  Ringcrg 19960  algSccascl 21254  Poly1cpl1 21544   Mat cmat 21750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-ofr 7615  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-supp 8090  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8833  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fsupp 9303  df-sup 9375  df-oi 9443  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-seq 13904  df-hash 14228  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-hom 17154  df-cco 17155  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-prds 17326  df-pws 17328  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-mhm 18598  df-submnd 18599  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-sbg 18750  df-mulg 18869  df-subg 18921  df-ghm 19002  df-cntz 19093  df-cmn 19560  df-abl 19561  df-mgp 19893  df-ur 19910  df-ring 19962  df-subrg 20216  df-lmod 20320  df-lss 20389  df-sra 20629  df-rgmod 20630  df-dsmm 21134  df-frlm 21149  df-ascl 21257  df-psr 21307  df-mpl 21309  df-opsr 21311  df-psr1 21547  df-ply1 21549  df-mamu 21729  df-mat 21751
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator