Theorem pmat1opsc 20875

Description: The identity polynomial matrix over a ring represented as operation with "lifted scalars". (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmat0opsc.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmat0opsc.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmat0opsc.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
pmat0opsc.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
pmat1opsc.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pmat1opsc	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝐴‘ 1 ), (𝐴‘ 0 ))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   1 (𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem pmat1opsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmat0opsc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pmat0opsc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		eqid 2826	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		eqid 2826	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	pmat1op 20872	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃))))
6		pmat0opsc.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
7		pmat1opsc.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 6, 7, 4	ply1scl1 20023	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = (1r‘𝑃))
9	8	eqcomd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) = (𝐴‘ 1 ))
10		pmat0opsc.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11	1, 6, 10, 3	ply1scl0 20021	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
12	11	eqcomd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑃) = (𝐴‘ 0 ))
13	9, 12	ifeq12d 4327	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐴‘ 1 ), (𝐴‘ 0 )))
14	13	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐴‘ 1 ), (𝐴‘ 0 )))
15	14	mpt2eq3dv 6982	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝐴‘ 1 ), (𝐴‘ 0 ))))
16	5, 15	eqtrd 2862	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝐴‘ 1 ), (𝐴‘ 0 ))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ifcif 4307  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↦ cmpt2 6908  Fincfn 8223  0_gc0g 16454  1_rcur 18856  Ringcrg 18902  algSccascl 19673  Poly₁cpl1 19908   Mat cmat 20581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-ofr 7159  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-hash 13412  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-hom 16330  df-cco 16331  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-prds 16462  df-pws 16464  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mhm 17689  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-mulg 17896  df-subg 17943  df-ghm 18010  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-subrg 19135  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-ascl 19676  df-psr 19718  df-mpl 19720  df-opsr 19722  df-psr1 19911  df-ply1 19913  df-dsmm 20440  df-frlm 20455  df-mamu 20558  df-mat 20582

This theorem is referenced by: (None)