Theorem perfect 15683

Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer 𝑁 is a perfect number (that is, its divisor sum is 2𝑁) if and only if it is of the form 2↑(𝑝 − 1) · (2↑𝑝 − 1), where 2↑𝑝 − 1 is prime (a Mersenne prime), and therefore 𝑝 is also prime, see mersenne 15679. This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
perfect	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem perfect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 2 ∥ 𝑁)
2		2prm 12657	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		pcelnn 12852	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁))
6	1, 5	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9576	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 9580	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
9		pcdvds 12846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
10	2, 3, 9	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
11		2nn 9280	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	6	nnnn0d 9430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 10782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ)
15		nndivdvds 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
16	3, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ))
17	10, 16	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℕ)
18		pcndvds2 12850	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
19	2, 3, 18	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ¬ 2 ∥ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))
20		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
21		nncn 9126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
23	14	nncnd 9132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) ∈ ℂ)
24	14	nnap0d 9164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) # 0)
25	22, 23, 24	divcanap2d 8947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = 𝑁)
26	25	oveq2d 6023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (1 σ 𝑁))
27	25	oveq2d 6023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · 𝑁))
28	20, 26, 27	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (1 σ ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))) = (2 · ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))))))
29	6, 17, 19, 28	perfectlem2 15682	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
30	29	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
31	29	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁))) ∈ ℙ)
32	30, 31	eqeltrrd 2307	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ)
33	6	nncnd 9132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ)
34		ax-1cn 8100	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		pncan 8360	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 pCnt 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
36	33, 34, 35	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1) = (2 pCnt 𝑁))
37	36	eqcomd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2 pCnt 𝑁) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
38	37	oveq2d 6023	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → (2↑(2 pCnt 𝑁)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
39	38, 30	oveq12d 6025	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ((2↑(2 pCnt 𝑁)) · (𝑁 / (2↑(2 pCnt 𝑁)))) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
40	25, 39	eqtr3d 2264	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
41		oveq2 6015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑𝑝) = (2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)))
42	41	oveq1d 6022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑𝑝) − 1) = ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))
43	42	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ↔ ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ))
44		oveq1 6014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑝 − 1) = (((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1))
45	44	oveq2d 6023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (2↑(𝑝 − 1)) = (2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)))
46	45, 42	oveq12d 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))
47	46	eqeq2d 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) ↔ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1))))
48	43, 47	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ((2 pCnt 𝑁) + 1) → ((((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) ↔ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))))
49	48	rspcev 2907	. . . 4 ⊢ ((((2 pCnt 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(((2 pCnt 𝑁) + 1) − 1)) · ((2↑((2 pCnt 𝑁) + 1)) − 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
50	8, 32, 40, 49	syl12anc 1269	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
51	50	ex 115	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
52		perfect1 15680	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)))
53		2cn 9189	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		mersenne 15679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
55		prmnn 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
57		expm1t 10797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
58	53, 56, 57	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = ((2↑(𝑝 − 1)) · 2))
59		nnm1nn0 9418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
60	56, 59	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
61		expcl 10787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
62	53, 60, 61	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
63		mulcom 8136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
64	62, 53, 63	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑝 − 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
65	58, 64	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑝) = (2 · (2↑(𝑝 − 1))))
66	65	oveq1d 6022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) · ((2↑𝑝) − 1)) = ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)))
67		2cnd 9191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
68		prmnn 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
69	68	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℕ)
70	69	nncnd 9132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℂ)
71	67, 62, 70	mulassd 8178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → ((2 · (2↑(𝑝 − 1))) · ((2↑𝑝) − 1)) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
72	52, 66, 71	3eqtrd 2266	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
73		oveq2 6015	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
74		oveq2 6015	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (2 · 𝑁) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))))
75	73, 74	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ (1 σ ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) = (2 · ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))
76	72, 75	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ) → (𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁)))
77	76	impr 379	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
78	77	rexlimiva 2643	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1))) → (1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁))
79	51, 78	impbid1 142	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁) → ((1 σ 𝑁) = (2 · 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ (((2↑𝑝) − 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ((2↑(𝑝 − 1)) · ((2↑𝑝) − 1)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012   − cmin 8325   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ↑cexp 10768   ∥ cdvds 12306  ℙcprime 12637   pCnt cpc 12815   σ csgm 15663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127  ax-pre-suploc 8128  ax-addf 8129  ax-mulf 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-xnn0 9441  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-xneg 9976  df-xadd 9977  df-ioo 10096  df-ico 10098  df-icc 10099  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-fac 10956  df-bc 10978  df-ihash 11006  df-shft 11334  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-ef 12167  df-e 12168  df-dvds 12307  df-gcd 12483  df-prm 12638  df-pc 12816  df-rest 13282  df-topgen 13301  df-psmet 14515  df-xmet 14516  df-met 14517  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-top 14680  df-topon 14693  df-bases 14725  df-ntr 14778  df-cn 14870  df-cnp 14871  df-tx 14935  df-cncf 15253  df-limced 15338  df-dvap 15339  df-relog 15540  df-rpcxp 15541  df-sgm 15664

This theorem is referenced by: (None)