Theorem dia2dimlem11 41881

Description: Lemma for dia2dim 41884. Convert ordering hypothesis on 𝑅‘𝐹 to subspace membership 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)). (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem11.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem11.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem11.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem11.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem11.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem11.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem11.y	⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem11.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem11.pl	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem11.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem11.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem11.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem11.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
dia2dimlem11.uv	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
dia2dimlem11.fe	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)))

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem11	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem11.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dia2dimlem11.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		dia2dimlem11.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		dia2dimlem11.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		dia2dimlem11.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		dia2dimlem11.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		dia2dimlem11.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		dia2dimlem11.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
9		dia2dimlem11.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
10		dia2dimlem11.pl	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
11		dia2dimlem11.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
12		dia2dimlem11.i	. 2 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13		dia2dimlem11.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		dia2dimlem11.u	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
15		dia2dimlem11.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
16		dia2dimlem11.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
17		dia2dimlem11.fe	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)))
18	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	dia2dimlem10 41880	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
19		dia2dimlem11.uv	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19	dia2dimlem9 41879	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  lecple 17334  joincjn 18384  meetcmee 18385  LSSumclsm 19727  LSubSpclss 21081  LSpanclspn 21121  Atomscatm 40070  HLchlt 40157  LHypclh 40791  LTrncltrn 40908  trLctrl 40965  DVecAcdveca 41809  DIsoAcdia 41835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-0g 17511  df-proset 18367  df-poset 18386  df-plt 18401  df-lub 18417  df-glb 18418  df-join 18419  df-meet 18420  df-p0 18496  df-p1 18497  df-lat 18505  df-clat 18572  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-cntz 19410  df-lsm 19729  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lvec 21253  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tgrp 41550  df-tendo 41562  df-edring 41564  df-dveca 41810  df-disoa 41836

This theorem is used by:  dia2dimlem12  41882