Theorem dia2dimlem12 41739

Description: Lemma for dia2dim 41741. Obtain subset relation. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem12.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem12.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem12.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem12.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem12.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.y	⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem12.pl	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem12.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem12.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem12.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem12.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem12.uv	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem12	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem12

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem12.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3		dia2dimlem12.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
4	3	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
5		dia2dimlem12.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
6	5	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
7		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		dia2dimlem12.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		dia2dimlem12.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	7, 8, 9	hlatjcl 40031	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → (𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
11	2, 4, 6, 10	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
12	3	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)
13	5	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
14	2	hllatd 40028	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
15	7, 9	atbase 39953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
16	4, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
17	7, 9	atbase 39953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
18	6, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
19	1	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
20		dia2dimlem12.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
21	7, 20	lhpbase 40662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
23		dia2dimlem12.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24	7, 23, 8	latjle12 18506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) ↔ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊))
25	14, 16, 18, 22, 24	syl13anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) ↔ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊))
26	12, 13, 25	mpbi2and 724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊)
27		dia2dimlem12.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28		dia2dimlem12.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
29	7, 23, 20, 27, 28	diass 41706	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ 𝑇)
30	1, 11, 26, 29	syl12anc 849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ 𝑇)
31	30	sseld 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑇))
32		dia2dimlem12.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
33		dia2dimlem12.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
34		dia2dimlem12.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
35		dia2dimlem12.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
36		dia2dimlem12.pl	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
37		dia2dimlem12.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
38	1	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39	3	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
40	5	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
41		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝑇)
42		dia2dimlem12.uv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
43	42	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑈 ≠ 𝑉)
44		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)))
45	23, 8, 32, 9, 20, 27, 33, 34, 35, 36, 37, 28, 38, 39, 40, 41, 43, 44	dia2dimlem11 41738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
46	45	3exp 1135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) → (𝑓 ∈ 𝑇 → 𝑓 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))))
47	31, 46	mpdd 44	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) → 𝑓 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉))))
48	47	ssrdv 3951	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  lecple 17317  joincjn 18367  meetcmee 18368  Latclat 18487  LSSumclsm 19704  LSubSpclss 21030  LSpanclspn 21070  Atomscatm 39927  HLchlt 40014  LHypclh 40648  LTrncltrn 40765  trLctrl 40822  DVecAcdveca 41666  DIsoAcdia 41692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-riotaBAD 39617

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-undef 8269  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-0g 17494  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-lsm 19706  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-drng 20815  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lvec 21202  df-oposet 39840  df-ol 39842  df-oml 39843  df-covers 39930  df-ats 39931  df-atl 39962  df-cvlat 39986  df-hlat 40015  df-llines 40162  df-lplanes 40163  df-lvols 40164  df-lines 40165  df-psubsp 40167  df-pmap 40168  df-padd 40460  df-lhyp 40652  df-laut 40653  df-ldil 40768  df-ltrn 40769  df-trl 40823  df-tgrp 41407  df-tendo 41419  df-edring 41421  df-dveca 41667  df-disoa 41693

This theorem is referenced by:  dia2dimlem13  41740