Theorem dia2dimlem12 39946

Description: Lemma for dia2dim 39948. Obtain subset relation. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem12.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem12.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem12.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem12.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem12.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.y	⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem12.pl	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem12.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem12.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem12.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem12.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem12.uv	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem12	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem12

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem12.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3		dia2dimlem12.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
4	3	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
5		dia2dimlem12.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
6	5	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
7		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		dia2dimlem12.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		dia2dimlem12.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	7, 8, 9	hlatjcl 38237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → (𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
11	2, 4, 6, 10	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
12	3	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)
13	5	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
14	2	hllatd 38234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
15	7, 9	atbase 38159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
16	4, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
17	7, 9	atbase 38159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
19	1	simprd 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
20		dia2dimlem12.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
21	7, 20	lhpbase 38869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
23		dia2dimlem12.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24	7, 23, 8	latjle12 18403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) ↔ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊))
25	14, 16, 18, 22, 24	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) ↔ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊))
26	12, 13, 25	mpbi2and 711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊)
27		dia2dimlem12.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28		dia2dimlem12.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
29	7, 23, 20, 27, 28	diass 39913	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ 𝑇)
30	1, 11, 26, 29	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ 𝑇)
31	30	sseld 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑇))
32		dia2dimlem12.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
33		dia2dimlem12.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
34		dia2dimlem12.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
35		dia2dimlem12.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
36		dia2dimlem12.pl	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
37		dia2dimlem12.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
38	1	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39	3	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
40	5	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
41		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝑇)
42		dia2dimlem12.uv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
43	42	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑈 ≠ 𝑉)
44		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)))
45	23, 8, 32, 9, 20, 27, 33, 34, 35, 36, 37, 28, 38, 39, 40, 41, 43, 44	dia2dimlem11 39945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
46	45	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) → (𝑓 ∈ 𝑇 → 𝑓 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))))
47	31, 46	mpdd 43	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) → 𝑓 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉))))
48	47	ssrdv 3989	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  LSSumclsm 19502  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029  DVecAcdveca 39873  DIsoAcdia 39899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tgrp 39614  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dveca 39874  df-disoa 39900

This theorem is referenced by:  dia2dimlem13  39947