Theorem dia2dimlem12 38709

Description: Lemma for dia2dim 38711. Obtain subset relation. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem12.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem12.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem12.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem12.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem12.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.y	⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem12.pl	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem12.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem12.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem12.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem12.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem12.uv	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem12	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem12

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem12.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3		dia2dimlem12.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
4	3	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
5		dia2dimlem12.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
6	5	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		dia2dimlem12.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		dia2dimlem12.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	7, 8, 9	hlatjcl 37001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → (𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
11	2, 4, 6, 10	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
12	3	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)
13	5	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
14	2	hllatd 36998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
15	7, 9	atbase 36923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
16	4, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
17	7, 9	atbase 36923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
19	1	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
20		dia2dimlem12.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
21	7, 20	lhpbase 37632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
23		dia2dimlem12.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24	7, 23, 8	latjle12 17789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) ↔ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊))
25	14, 16, 18, 22, 24	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) ↔ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊))
26	12, 13, 25	mpbi2and 712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊)
27		dia2dimlem12.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
28		dia2dimlem12.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
29	7, 23, 20, 27, 28	diass 38676	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ 𝑇)
30	1, 11, 26, 29	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ 𝑇)
31	30	sseld 3877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑇))
32		dia2dimlem12.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
33		dia2dimlem12.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
34		dia2dimlem12.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
35		dia2dimlem12.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
36		dia2dimlem12.pl	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
37		dia2dimlem12.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
38	1	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39	3	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
40	5	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
41		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ 𝑇)
42		dia2dimlem12.uv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
43	42	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑈 ≠ 𝑉)
44		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)))
45	23, 8, 32, 9, 20, 27, 33, 34, 35, 36, 37, 28, 38, 39, 40, 41, 43, 44	dia2dimlem11 38708	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝑓 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
46	45	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) → (𝑓 ∈ 𝑇 → 𝑓 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))))
47	31, 46	mpdd 43	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) → 𝑓 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉))))
48	47	ssrdv 3884	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3844   class class class wbr 5031  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  Basecbs 16587  lecple 16676  joincjn 17671  meetcmee 17672  Latclat 17772  LSSumclsm 18878  LSubSpclss 19823  LSpanclspn 19863  Atomscatm 36897  HLchlt 36984  LHypclh 37618  LTrncltrn 37735  trLctrl 37792  DVecAcdveca 38636  DIsoAcdia 38662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-riotaBAD 36587

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-tpos 7922  df-undef 7969  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-fz 12983  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-0g 16819  df-proset 17655  df-poset 17673  df-plt 17685  df-lub 17701  df-glb 17702  df-join 17703  df-meet 17704  df-p0 17766  df-p1 17767  df-lat 17773  df-clat 17835  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-submnd 18074  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-sbg 18225  df-subg 18395  df-cntz 18566  df-lsm 18880  df-cmn 19027  df-abl 19028  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-oppr 19496  df-dvdsr 19514  df-unit 19515  df-invr 19545  df-dvr 19556  df-drng 19624  df-lmod 19756  df-lss 19824  df-lsp 19864  df-lvec 19995  df-oposet 36810  df-ol 36812  df-oml 36813  df-covers 36900  df-ats 36901  df-atl 36932  df-cvlat 36956  df-hlat 36985  df-llines 37132  df-lplanes 37133  df-lvols 37134  df-lines 37135  df-psubsp 37137  df-pmap 37138  df-padd 37430  df-lhyp 37622  df-laut 37623  df-ldil 37738  df-ltrn 37739  df-trl 37793  df-tgrp 38377  df-tendo 38389  df-edring 38391  df-dveca 38637  df-disoa 38663

This theorem is referenced by:  dia2dimlem13  38710