Theorem extdg1b 33624

Description: The degree of the extension 𝐸/_FldExt𝐹 is 1 iff 𝐸 and 𝐹 are the same structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdg1b	⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((𝐸[:]𝐹) = 1 ↔ 𝐸 = 𝐹))

Proof of Theorem extdg1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extdg1id 33623	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ (𝐸[:]𝐹) = 1) → 𝐸 = 𝐹)
2		oveq1 7406	. . . 4 ⊢ (𝐸 = 𝐹 → (𝐸[:]𝐹) = (𝐹[:]𝐹))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐸 = 𝐹) → (𝐸[:]𝐹) = (𝐹[:]𝐹))
4		fldextfld2 33606	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 𝐹 ∈ Field)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐸 = 𝐹) → 𝐹 ∈ Field)
6		extdgid 33618	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (𝐹[:]𝐹) = 1)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐸 = 𝐹) → (𝐹[:]𝐹) = 1)
8	3, 7	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐸 = 𝐹) → (𝐸[:]𝐹) = 1)
9	1, 8	impbida 800	1 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → ((𝐸[:]𝐹) = 1 ↔ 𝐸 = 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5116  (class class class)co 7399  1c1 11122  Fieldcfield 20675  /_FldExtcfldext 33594  [:]cextdg 33597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-reg 9598  ax-inf2 9647  ax-ac2 10469  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-rpss 7711  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-tpos 8219  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-oadd 8478  df-er 8713  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-sup 9448  df-oi 9516  df-r1 9770  df-rank 9771  df-dju 9907  df-card 9945  df-acn 9948  df-ac 10122  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14009  df-hash 14337  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ocomp 17277  df-ds 17278  df-hom 17280  df-cco 17281  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-prds 17446  df-pws 17448  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-mri 17585  df-acs 17586  df-proset 18291  df-drs 18292  df-poset 18310  df-ipo 18523  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20282  df-dvdsr 20302  df-unit 20303  df-invr 20333  df-nzr 20458  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-field 20677  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lmhm 20965  df-lbs 21018  df-lvec 21046  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-lidl 21154  df-rsp 21155  df-dsmm 21677  df-frlm 21692  df-uvc 21728  df-lindf 21751  df-linds 21752  df-dim 33555  df-fldext 33598  df-extdg 33599

This theorem is referenced by: (None)