Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmqusspan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmqusspan 42187
Description: Ring homomorphism out of a quotient given an ideal spanned by a singleton. (Contributed by metakunt, 7-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmqusspan.1 0 = (0g𝐻)
rhmqusspan.2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusspan.3 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
rhmqusspan.4 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
rhmqusspan.5 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
rhmqusspan.6 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
rhmqusspan.7 𝑁 = ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})
rhmqusspan.8 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
rhmqusspan.9 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
Assertion
Ref Expression
rhmqusspan (𝜑 → (𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻) ∧ ∀𝑔 ∈ (Base‘𝐺)(𝐽‘[𝑔](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹𝑔)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐻,𝑞   𝐽,𝑞   𝐾,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝜑,𝑔,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐽(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑋(𝑔,𝑞)   0 (𝑔,𝑞)

Proof of Theorem rhmqusspan
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmqusspan.1 . . 3 0 = (0g𝐻)
2 rhmqusspan.2 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
3 rhmqusspan.3 . . 3 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
4 rhmqusspan.4 . . 3 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
5 rhmqusspan.5 . . 3 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
6 rhmqusspan.6 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
7 rhmqusspan.7 . . . 4 𝑁 = ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})
86crngringd 20244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ Ring)
9 rhmqusspan.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
10 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (RSpan‘𝐺) = (RSpan‘𝐺)
12 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∥r𝐺) = (∥r𝐺)
1310, 11, 12rspsn 21344 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) = {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦})
148, 9, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) = {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦})
1514eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦}))
1615biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦}))
1716imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → 𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦})
18 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑥 ∈ V)
20 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋(∥r𝐺)𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑥))
2120elabg 3675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦} ↔ 𝑋(∥r𝐺)𝑥))
2221biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦} → 𝑋(∥r𝐺)𝑥))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦} → 𝑋(∥r𝐺)𝑥))
2423imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦}) → 𝑋(∥r𝐺)𝑥)
25 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (.r𝐺) = (.r𝐺)
2610, 12, 25dvdsr 20363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋(∥r𝐺)𝑥 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥))
2726biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋(∥r𝐺)𝑥 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥))
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋(∥r𝐺)𝑥) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥))
29 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧(.r𝐺)𝑋)) = (𝐹𝑥))
3029eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑧(.r𝐺)𝑋)))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑧(.r𝐺)𝑋)))
322ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
349ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
35 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (.r𝐻) = (.r𝐻)
3610, 25, 35rhmmul 20487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(𝑧(.r𝐺)𝑋)) = ((𝐹𝑧)(.r𝐻)(𝐹𝑋)))
3732, 33, 34, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(𝑧(.r𝐺)𝑋)) = ((𝐹𝑧)(.r𝐻)(𝐹𝑋)))
38 rhmqusspan.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
3938ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹𝑋) = 0 )
4039oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹𝑧)(.r𝐻)(𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑧)(.r𝐻) 0 ))
41 rhmrcl2 20478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Ring)
42 ringsrg 20295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐻 ∈ Ring → 𝐻 ∈ SRing)
4332, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐻 ∈ SRing)
44 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4510, 44rhmf 20486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
462, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
4847ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
4944, 35, 1srgrz 20205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐻 ∈ SRing ∧ (𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹𝑧)(.r𝐻) 0 ) = 0 )
5043, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹𝑧)(.r𝐻) 0 ) = 0 )
5140, 50eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹𝑧)(.r𝐻)(𝐹𝑋)) = 0 )
5237, 51eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(𝑧(.r𝐺)𝑋)) = 0 )
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥) → (𝐹‘(𝑧(.r𝐺)𝑋)) = 0 )
5431, 53eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )
55 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥
56 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦(𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥
57 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦(.r𝐺)𝑋) = (𝑧(.r𝐺)𝑋))
5857eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥 ↔ (𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥))
5955, 56, 58cbvrexw 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐺)(𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)
6059biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐺)(𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐺)(𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)
6261adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐺)(𝑧(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)
6354, 62r19.29a 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥)) → (𝐹𝑥) = 0 )
6463ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑋(∥r𝐺)𝑥) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑦(.r𝐺)𝑋) = 𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))
6628, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋(∥r𝐺)𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )
6766ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(∥r𝐺)𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦}) → (𝑋(∥r𝐺)𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
6924, 68mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦}) → (𝐹𝑥) = 0 )
7069ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦} → (𝐹𝑥) = 0 ))
7170adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → (𝑥 ∈ {𝑦𝑋(∥r𝐺)𝑦} → (𝐹𝑥) = 0 ))
7217, 71mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → (𝐹𝑥) = 0 )
73 fvexd 6920 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → (𝐹𝑥) ∈ V)
74 elsng 4639 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝐹𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → ((𝐹𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
7672, 75mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → (𝐹𝑥) ∈ { 0 })
7746ffund 6739 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
7877adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → Fun 𝐹)
79 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (LIdeal‘𝐺) = (LIdeal‘𝐺)
8079, 10lidl1 21244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Ring → (Base‘𝐺) ∈ (LIdeal‘𝐺))
818, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ (LIdeal‘𝐺))
829snssd 4808 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
8311, 79rspssp 21250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐺) ∈ (LIdeal‘𝐺) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)) → ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺))
848, 81, 82, 83syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺))
8584sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
86 fdm 6744 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻) → dom 𝐹 = (Base‘𝐺))
8746, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝐺))
8887adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → dom 𝐹 = (Base‘𝐺))
8985, 88eleqtrrd 2843 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
90 fvimacnv 7072 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑥) ∈ { 0 } ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })))
9178, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → ((𝐹𝑥) ∈ { 0 } ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })))
9276, 91mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋})) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }))
9392ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })))
9493ssrdv 3988 . . . . 5 (𝜑 → ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) ⊆ (𝐹 “ { 0 }))
953eqcomi 2745 . . . . 5 (𝐹 “ { 0 }) = 𝐾
9694, 95sseqtrdi 4023 . . . 4 (𝜑 → ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) ⊆ 𝐾)
977, 96eqsstrid 4021 . . 3 (𝜑𝑁𝐾)
9811, 10, 79rspcl 21246 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)) → ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝐺))
998, 82, 98syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((RSpan‘𝐺)‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝐺))
1007, 99eqeltrid 2844 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (LIdeal‘𝐺))
1011, 2, 3, 4, 5, 6, 97, 100rhmqusnsg 21296 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻))
1022adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
103 rhmghm 20485 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
104102, 103syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
10597adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑁𝐾)
106 lidlnsg 21259 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ (LIdeal‘𝐺)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1078, 100, 106syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
108107adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
109 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐺))
1101, 104, 3, 4, 5, 105, 108, 109ghmqusnsglem1 19299 . . 3 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐽‘[𝑔](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹𝑔))
111110ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (Base‘𝐺)(𝐽‘[𝑔](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹𝑔))
112101, 111jca 511 1 (𝜑 → (𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻) ∧ ∀𝑔 ∈ (Base‘𝐺)(𝐽‘[𝑔](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐹𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {cab 2713  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  {csn 4625   cuni 4906   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ccnv 5683  dom cdm 5684  cima 5687  Fun wfun 6554  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744  Basecbs 17248  .rcmulr 17299  0gc0g 17485   /s cqus 17551  NrmSGrpcnsg 19140   ~QG cqg 19141   GrpHom cghm 19231  SRingcsrg 20184  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  rcdsr 20355   RingHom crh 20470  LIdealclidl 21217  RSpancrsp 21218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-rhm 20473  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-2idl 21261
This theorem is referenced by:  aks5lem2  42189
  Copyright terms: Public domain W3C validator