Theorem indlcim 21787

Description: An independent, spanning family extends to an isomorphism from a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
indlcim.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
indlcim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
indlcim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
indlcim.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
indlcim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑇)
indlcim.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
indlcim.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
indlcim.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
indlcim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
indlcim.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼–onto→𝐽)
indlcim.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 LIndF 𝑇)
indlcim.s	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐽) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
indlcim	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem indlcim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indlcim.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		indlcim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		indlcim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		indlcim.v	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		indlcim.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
6		indlcim.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
7		indlcim.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		indlcim.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
9		indlcim.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼–onto→𝐽)
10		fofn 6789	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝐼–onto→𝐽 → 𝐴 Fn 𝐼)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
12		indlcim.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 LIndF 𝑇)
13	3	lindff 21762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 LIndF 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ LMod) → 𝐴:dom 𝐴⟶𝐶)
14	12, 6, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:dom 𝐴⟶𝐶)
15	14	frnd 6711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ 𝐶)
16		df-f 6532	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝐼⟶𝐶 ↔ (𝐴 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐴 ⊆ 𝐶))
17	11, 15, 16	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	frlmup1 21745	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	islindf5 21786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))
20	12, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵–1-1→𝐶)
21		indlcim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑇)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 21	frlmup3 21747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝑁‘ran 𝐴))
23		forn 6790	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:𝐼–onto→𝐽 → ran 𝐴 = 𝐽)
24	9, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = 𝐽)
25	24	fveq2d 6877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ran 𝐴) = (𝑁‘𝐽))
26		indlcim.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐽) = 𝐶)
27	22, 25, 26	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = 𝐶)
28		dff1o5 6824	. . 3 ⊢ (𝐸:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ∧ ran 𝐸 = 𝐶))
29	20, 27, 28	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵–1-1-onto→𝐶)
30	2, 3	islmim 21007	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇) ↔ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ 𝐸:𝐵–1-1-onto→𝐶))
31	18, 29, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3924   class class class wbr 5117   ↦ cmpt 5199  dom cdm 5652  ran crn 5653   Fn wfn 6523  ⟶wf 6524  –1-1→wf1 6525  –onto→wfo 6526  –1-1-onto→wf1o 6527  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7664  Basecbs 17215  Scalarcsca 17261   ·_𝑠 cvsca 17262   Σ_g cgsu 17441  LModclmod 20804  LSpanclspn 20915   LMHom clmhm 20964   LMIso clmim 20965   freeLMod cfrlm 21693   LIndF clindf 21751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-iin 4968  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7666  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-supp 8155  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-er 8714  df-map 8837  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-fsupp 9369  df-sup 9449  df-oi 9517  df-card 9946  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14010  df-hash 14339  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19750  df-abl 19751  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20460  df-subrg 20517  df-lmod 20806  df-lss 20876  df-lsp 20916  df-lmhm 20967  df-lmim 20968  df-lbs 21020  df-sra 21118  df-rgmod 21119  df-dsmm 21679  df-frlm 21694  df-uvc 21730  df-lindf 21753

This theorem is referenced by:  lbslcic  21788