Theorem indlcim 21765

Description: An independent, spanning family extends to an isomorphism from a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
indlcim.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
indlcim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
indlcim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
indlcim.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
indlcim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑇)
indlcim.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
indlcim.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
indlcim.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
indlcim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
indlcim.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼–onto→𝐽)
indlcim.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 LIndF 𝑇)
indlcim.s	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐽) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
indlcim	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem indlcim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indlcim.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		indlcim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		indlcim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		indlcim.v	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		indlcim.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
6		indlcim.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
7		indlcim.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		indlcim.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
9		indlcim.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼–onto→𝐽)
10		fofn 6742	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝐼–onto→𝐽 → 𝐴 Fn 𝐼)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
12		indlcim.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 LIndF 𝑇)
13	3	lindff 21740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 LIndF 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ LMod) → 𝐴:dom 𝐴⟶𝐶)
14	12, 6, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:dom 𝐴⟶𝐶)
15	14	frnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ 𝐶)
16		df-f 6490	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝐼⟶𝐶 ↔ (𝐴 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐴 ⊆ 𝐶))
17	11, 15, 16	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	frlmup1 21723	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	islindf5 21764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))
20	12, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵–1-1→𝐶)
21		indlcim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑇)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 21	frlmup3 21725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝑁‘ran 𝐴))
23		forn 6743	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:𝐼–onto→𝐽 → ran 𝐴 = 𝐽)
24	9, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = 𝐽)
25	24	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ran 𝐴) = (𝑁‘𝐽))
26		indlcim.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐽) = 𝐶)
27	22, 25, 26	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = 𝐶)
28		dff1o5 6777	. . 3 ⊢ (𝐸:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ∧ ran 𝐸 = 𝐶))
29	20, 27, 28	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵–1-1-onto→𝐶)
30	2, 3	islmim 20984	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇) ↔ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ 𝐸:𝐵–1-1-onto→𝐶))
31	18, 29, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  ran crn 5624   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  –onto→wfo 6484  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183   Σ_g cgsu 17362  LModclmod 20781  LSpanclspn 20892   LMHom clmhm 20941   LMIso clmim 20942   freeLMod cfrlm 21671   LIndF clindf 21729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-nzr 20416  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lmhm 20944  df-lmim 20945  df-lbs 20997  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-uvc 21708  df-lindf 21731

This theorem is referenced by:  lbslcic  21766