Theorem indlcim 22201

Description: An independent, spanning family extends to an isomorphism from a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
indlcim.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
indlcim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
indlcim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
indlcim.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
indlcim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑇)
indlcim.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
indlcim.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
indlcim.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
indlcim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
indlcim.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶onto𝐽)
indlcim.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 LIndF 𝑇)
indlcim.s	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐽) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
indlcim	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem indlcim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indlcim.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		indlcim.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		indlcim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		indlcim.v	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		indlcim.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
6		indlcim.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
7		indlcim.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		indlcim.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
9		indlcim.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶onto𝐽)
10		fofn 6828	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝐼⟶onto𝐽 → 𝐴 Fn 𝐼)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
12		indlcim.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 LIndF 𝑇)
13	3	lindff 22176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 LIndF 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ LMod) → 𝐴:dom 𝐴⟶𝐶)
14	12, 6, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:dom 𝐴⟶𝐶)
15	14	frnd 6748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ 𝐶)
16		df-f 6570	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝐼⟶𝐶 ↔ (𝐴 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐴 ⊆ 𝐶))
17	11, 15, 16	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	frlmup1 22159	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	islindf5 22200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵⟶1-1𝐶))
20	12, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶1-1𝐶)
21		indlcim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑇)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 21	frlmup3 22161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝑁‘ran 𝐴))
23		forn 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝐴:𝐼⟶onto𝐽 → ran 𝐴 = 𝐽)
24	9, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = 𝐽)
25	24	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ran 𝐴) = (𝑁‘𝐽))
26		indlcim.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐽) = 𝐶)
27	22, 25, 26	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = 𝐶)
28		dff1o5 6864	. . 3 ⊢ (𝐸:𝐵⟶1-1onto𝐶 ↔ (𝐸:𝐵⟶1-1𝐶 ∧ ran 𝐸 = 𝐶))
29	20, 27, 28	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶1-1onto𝐶)
30	2, 3	islmim 21388	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇) ↔ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ 𝐸:𝐵⟶1-1onto𝐶))
31	18, 29, 30	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ran crn 5659   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ⟶1-1wf1 6563  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476   Σ_g cgsu 17661  LModclmod 21186  LSpanclspn 21297   LMHom clmhm 21345   LMIso clmim 21346   freeLMod cfrlm 22107   LIndF clindf 22165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-nzr 20814  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lmhm 21348  df-lmim 21349  df-lbs 21401  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108  df-uvc 22144  df-lindf 22167

This theorem is used by:  lbslcic  22202