MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indlcim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indlcim 21781
Description: An independent, spanning family extends to an isomorphism from a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
indlcim.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
indlcim.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
indlcim.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
indlcim.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
indlcim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‡)
indlcim.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
indlcim.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
indlcim.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
indlcim.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
indlcim.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼–onto→𝐽)
indlcim.l (πœ‘ β†’ 𝐴 LIndF 𝑇)
indlcim.s (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π½) = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
indlcim (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑇   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐸(π‘₯)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem indlcim
StepHypRef Expression
1 indlcim.f . . 3 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 indlcim.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 indlcim.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 indlcim.v . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
5 indlcim.e . . 3 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
6 indlcim.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
7 indlcim.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 indlcim.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
9 indlcim.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼–onto→𝐽)
10 fofn 6818 . . . . 5 (𝐴:𝐼–onto→𝐽 β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
119, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
12 indlcim.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 LIndF 𝑇)
133lindff 21756 . . . . . 6 ((𝐴 LIndF 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ 𝐴:dom 𝐴⟢𝐢)
1412, 6, 13syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:dom 𝐴⟢𝐢)
1514frnd 6735 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 βŠ† 𝐢)
16 df-f 6557 . . . 4 (𝐴:𝐼⟢𝐢 ↔ (𝐴 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐴 βŠ† 𝐢))
1711, 15, 16sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17frlmup1 21739 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17islindf5 21780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐡–1-1→𝐢))
2012, 19mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡–1-1→𝐢)
21 indlcim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‡)
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 21frlmup3 21741 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (π‘β€˜ran 𝐴))
23 forn 6819 . . . . . 6 (𝐴:𝐼–onto→𝐽 β†’ ran 𝐴 = 𝐽)
249, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 = 𝐽)
2524fveq2d 6906 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜ran 𝐴) = (π‘β€˜π½))
26 indlcim.s . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π½) = 𝐢)
2722, 25, 263eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = 𝐢)
28 dff1o5 6853 . . 3 (𝐸:𝐡–1-1-onto→𝐢 ↔ (𝐸:𝐡–1-1→𝐢 ∧ ran 𝐸 = 𝐢))
2920, 27, 28sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡–1-1-onto→𝐢)
302, 3islmim 20954 . 2 (𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇) ↔ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ 𝐸:𝐡–1-1-onto→𝐢))
3118, 29, 30sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 LMIso 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  ran crn 5683   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“1-1β†’wf1 6550  β€“ontoβ†’wfo 6551  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244   Ξ£g cgsu 17429  LModclmod 20750  LSpanclspn 20862   LMHom clmhm 20911   LMIso clmim 20912   freeLMod cfrlm 21687   LIndF clindf 21745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20459  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lmhm 20914  df-lmim 20915  df-lbs 20967  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-uvc 21724  df-lindf 21747
This theorem is referenced by:  lbslcic  21782
  Copyright terms: Public domain W3C validator