Theorem ldepslinc 48997

Description: For (left) vector spaces, isldepslvec2 48973 provides an alternative definition of being a linearly dependent subset, whereas ldepsnlinc 48996 indicates that there is not an analogous alternative definition for arbitrary (left) modules. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ldepslinc	⊢ (∀𝑚 ∈ LVec ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∧ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑚,𝑠,𝑣

Proof of Theorem ldepslinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑚) = (Base‘𝑚)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑚) = (0g‘𝑚)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑚) = (Scalar‘𝑚)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑚)) = (Base‘(Scalar‘𝑚))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑚)) = (0g‘(Scalar‘𝑚))
6	1, 2, 3, 4, 5	isldepslvec2 48973	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)) → (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ↔ 𝑠 linDepS 𝑚))
7	6	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)) → (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
8	7	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ LVec ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
9		ldepsnlinc 48996	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
10		df-ne 2934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ ¬ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)
11	10	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → ¬ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
12		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → ¬ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ↔ ¬ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ¬ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
14	13	ralbii 3084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣})) ¬ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
15		ralnex 3064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣})) ¬ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
16	14, 15	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
17	16	ralbii 3084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑠 ¬ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
18		ralnex 3064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑠 ¬ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
19	17, 18	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
20	19	anbi2i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ (𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
21	20	2rexbii 3114	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
22	9, 21	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
23	22	orci 866	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚))
24		r19.43 3106	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)))
25	23, 24	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∃𝑚 ∈ LMod (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚))
26		r19.43 3106	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)))
27	26	rexbii 3085	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ LMod (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)))
28	25, 27	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚))
29		xor 1017	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ↔ ((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)))
30	29	bicomi 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ¬ (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
31	30	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚) ¬ (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
32		rexnal 3090	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚) ¬ (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
33	31, 32	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
34	33	rexbii 3085	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ LMod ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
35		rexnal 3090	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
36	34, 35	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
37	28, 36	mpbi 230	. 2 ⊢ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
38	8, 37	pm3.2i 470	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ LVec ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∧ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766   finSupp cfsupp 9267  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214  0_gc0g 17393  LModclmod 20846  LVecclvec 21089   linC clinc 48892   linDepS clindeps 48929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-nzr 20481  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lvec 21090  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-cnfld 21345  df-zring 21437  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-linc 48894  df-lininds 48930  df-lindeps 48932

This theorem is referenced by: (None)