Theorem ldepslinc 48637

Description: For (left) vector spaces, isldepslvec2 48613 provides an alternative definition of being a linearly dependent subset, whereas ldepsnlinc 48636 indicates that there is not an analogous alternative definition for arbitrary (left) modules. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ldepslinc	⊢ (∀𝑚 ∈ LVec ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∧ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑚,𝑠,𝑣

Proof of Theorem ldepslinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑚) = (Base‘𝑚)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑚) = (0g‘𝑚)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑚) = (Scalar‘𝑚)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑚)) = (Base‘(Scalar‘𝑚))
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑚)) = (0g‘(Scalar‘𝑚))
6	1, 2, 3, 4, 5	isldepslvec2 48613	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)) → (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ↔ 𝑠 linDepS 𝑚))
7	6	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)) → (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
8	7	rgen2 3173	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ LVec ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
9		ldepsnlinc 48636	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
10		df-ne 2930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ ¬ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)
11	10	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → ¬ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
12		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → ¬ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ↔ ¬ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ¬ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
14	13	ralbii 3079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣})) ¬ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
15		ralnex 3059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣})) ¬ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
16	14, 15	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
17	16	ralbii 3079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑠 ¬ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
18		ralnex 3059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑠 ¬ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
19	17, 18	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
20	19	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ (𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
21	20	2rexbii 3109	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
22	9, 21	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
23	22	orci 865	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚))
24		r19.43 3101	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)))
25	23, 24	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∃𝑚 ∈ LMod (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚))
26		r19.43 3101	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)))
27	26	rexbii 3080	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ LMod (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)))
28	25, 27	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚))
29		xor 1016	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ↔ ((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)))
30	29	bicomi 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ¬ (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
31	30	rexbii 3080	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚) ¬ (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
32		rexnal 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚) ¬ (𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
33	31, 32	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
34	33	rexbii 3080	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ LMod ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
35		rexnal 3085	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ¬ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
36	34, 35	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∨ (∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣) ∧ ¬ 𝑠 linDepS 𝑚)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))
37	28, 36	mpbi 230	. 2 ⊢ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣))
38	8, 37	pm3.2i 470	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ LVec ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)) ∧ ¬ ∀𝑚 ∈ LMod ∀𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑m (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ∧ (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = 𝑣)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∖ cdif 3895  𝒫 cpw 4551  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ↑_m cmap 8758   finSupp cfsupp 9254  Basecbs 17124  Scalarcsca 17168  0_gc0g 17347  LModclmod 20797  LVecclvec 21040   linC clinc 48532   linDepS clindeps 48569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094  ax-mulf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-tpos 8164  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-sup 9335  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-dvds 16168  df-prm 16587  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-prds 17355  df-pws 17357  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-mhm 18695  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18985  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-cring 20158  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-nzr 20432  df-subrng 20465  df-subrg 20489  df-drng 20650  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lvec 21041  df-sra 21111  df-rgmod 21112  df-cnfld 21296  df-zring 21388  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-linc 48534  df-lininds 48570  df-lindeps 48572

This theorem is referenced by: (None)