MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isncvsngpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isncvsngpd 24596
Description: Properties that determine a normed subcomplex vector space. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s · = ( ·𝑠𝑊)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
isncvsngpd.v (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
isncvsngpd.g (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
isncvsngpd.t ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
Assertion
Ref Expression
isncvsngpd (𝜑𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngpd
StepHypRef Expression
1 isncvsngpd.v . 2 (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
2 isncvsngpd.g . 2 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
3 isncvsngpd.t . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
43ralrimivva 3199 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
5 isncvsngp.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 isncvsngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
7 isncvsngp.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
8 isncvsngp.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9 isncvsngp.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
105, 6, 7, 8, 9isncvsngp 24595 . 2 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
111, 2, 4, 10syl3anbrc 1343 1 (𝜑𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  cin 3943  cfv 6532  (class class class)co 7393   · cmul 11097  abscabs 15163  Basecbs 17126  Scalarcsca 17182   ·𝑠 cvsca 17183  normcnm 24014  NrmGrpcngp 24015  NrmVeccnvc 24019  ℂVecccvs 24568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ico 13312  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-topgen 17371  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-cmn 19614  df-mgp 19947  df-ring 20016  df-cring 20017  df-subrg 20310  df-abv 20374  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-xms 23755  df-ms 23756  df-nm 24020  df-ngp 24021  df-nrg 24023  df-nlm 24024  df-nvc 24025  df-clm 24508  df-cvs 24569
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator