Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isncvsngpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isncvsngpd 23758
 Description: Properties that determine a normed subcomplex vector space. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s · = ( ·𝑠𝑊)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
isncvsngpd.v (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
isncvsngpd.g (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
isncvsngpd.t ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
Assertion
Ref Expression
isncvsngpd (𝜑𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Proof of Theorem isncvsngpd
StepHypRef Expression
1 isncvsngpd.v . 2 (𝜑𝑊 ∈ ℂVec)
2 isncvsngpd.g . 2 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
3 isncvsngpd.t . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑘𝐾)) → (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
43ralrimivva 3159 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
5 isncvsngp.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 isncvsngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
7 isncvsngp.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
8 isncvsngp.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9 isncvsngp.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
105, 6, 7, 8, 9isncvsngp 23757 . 2 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
111, 2, 4, 10syl3anbrc 1340 1 (𝜑𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ∩ cin 3883  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   · cmul 10535  abscabs 14588  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  normcnm 23186  NrmGrpcngp 23187  NrmVeccnvc 23191  ℂVecccvs 23731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-topgen 16712  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cmn 18903  df-mgp 19236  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-abv 19584  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-xms 22930  df-ms 22931  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-nrg 23195  df-nlm 23196  df-nvc 23197  df-clm 23671  df-cvs 23732 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator