Theorem vonvol2 46081

Description: The 1-dimensional Lebesgue measure agrees with the Lebesgue measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvol2.f	⊢ Ⅎ𝑓𝑌
vonvol2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvol2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
vonvol2.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvol2	⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem vonvol2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonvol2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vonvol2.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
3		snfi 9075	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
5		vonvol2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
6	4, 5	vonmblss2 46059	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
7		vonvol2.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
8	2, 1, 6, 7	ssmapsn 44619	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
9	8	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑m {𝐴}) = 𝑋)
10	9, 5	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}))
11	6	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
12		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ 𝑋)
13	11, 12	sseldd 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
14		elmapi 8874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
15		frn 6734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
17	16	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
18		iunss 5052	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
19	17, 18	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
20	7, 19	eqsstrid 4030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
21	1, 20	vonvolmbl 46078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
22	10, 21	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ dom vol)
23	1, 22	vonvol 46079	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})) = (vol‘𝑌))
24	9	eqcomd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
25	24	fveq2d 6906	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})))
26		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑌) = (vol‘𝑌))
27	23, 25, 26	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2879  ∀wral 3058   ⊆ wss 3949  {csn 4632  ∪ ciun 5000  dom cdm 5682  ran crn 5683  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑_m cmap 8851  Fincfn 8970  ℝcr 11145  volcvol 25412  volncvoln 45955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-prod 15890  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-0g 17430  df-topgen 17432  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cmp 23311  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-sumge0 45780  df-ome 45907  df-caragen 45909  df-ovoln 45954  df-voln 45956

This theorem is referenced by: (None)