Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvol2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvol2 44991
Description: The 1-dimensional Lebesgue measure agrees with the Lebesgue measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvol2.f β„²π‘“π‘Œ
vonvol2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvol2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom (volnβ€˜{𝐴}))
vonvol2.y π‘Œ = βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvol2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜{𝐴})β€˜π‘‹) = (volβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝑋   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   π‘Œ(𝑓)

Proof of Theorem vonvol2
StepHypRef Expression
1 vonvol2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 vonvol2.f . . . . . . 7 β„²π‘“π‘Œ
3 snfi 8991 . . . . . . . . 9 {𝐴} ∈ Fin
43a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐴} ∈ Fin)
5 vonvol2.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom (volnβ€˜{𝐴}))
64, 5vonmblss2 44969 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (ℝ ↑m {𝐴}))
7 vonvol2.y . . . . . . 7 π‘Œ = βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
82, 1, 6, 7ssmapsn 43524 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘Œ ↑m {𝐴}))
98eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ↑m {𝐴}) = 𝑋)
109, 5eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ↑m {𝐴}) ∈ dom (volnβ€˜{𝐴}))
116adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† (ℝ ↑m {𝐴}))
12 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ 𝑋)
1311, 12sseldd 3946 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
14 elmapi 8790 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) β†’ 𝑓:{𝐴}βŸΆβ„)
15 frn 6676 . . . . . . . . 9 (𝑓:{𝐴}βŸΆβ„ β†’ ran 𝑓 βŠ† ℝ)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ ran 𝑓 βŠ† ℝ)
1716ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ)
18 iunss 5006 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ)
1917, 18sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ)
207, 19eqsstrid 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
211, 20vonvolmbl 44988 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ↑m {𝐴}) ∈ dom (volnβ€˜{𝐴}) ↔ π‘Œ ∈ dom vol))
2210, 21mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ dom vol)
231, 22vonvol 44989 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜{𝐴})β€˜(π‘Œ ↑m {𝐴})) = (volβ€˜π‘Œ))
249eqcomd 2739 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘Œ ↑m {𝐴}))
2524fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜{𝐴})β€˜π‘‹) = ((volnβ€˜{𝐴})β€˜(π‘Œ ↑m {𝐴})))
26 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (volβ€˜π‘Œ) = (volβ€˜π‘Œ))
2723, 25, 263eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜{𝐴})β€˜π‘‹) = (volβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βˆͺ ciun 4955  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  β„cr 11055  volcvol 24843  volncvoln 44865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-rest 17309  df-0g 17328  df-topgen 17330  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-subg 18930  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-sumge0 44690  df-ome 44817  df-caragen 44819  df-ovoln 44864  df-voln 44866
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator