Theorem vonvol2 45934

Description: The 1-dimensional Lebesgue measure agrees with the Lebesgue measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvol2.f	⊢ Ⅎ𝑓𝑌
vonvol2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvol2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
vonvol2.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvol2	⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem vonvol2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonvol2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vonvol2.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
3		snfi 9043	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
5		vonvol2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
6	4, 5	vonmblss2 45912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
7		vonvol2.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
8	2, 1, 6, 7	ssmapsn 44469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
9	8	eqcomd 2732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑m {𝐴}) = 𝑋)
10	9, 5	eqeltrd 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}))
11	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ 𝑋)
13	11, 12	sseldd 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
14		elmapi 8842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
15		frn 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
17	16	ralrimiva 3140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
18		iunss 5041	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
19	17, 18	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
20	7, 19	eqsstrid 4025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
21	1, 20	vonvolmbl 45931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
22	10, 21	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ dom vol)
23	1, 22	vonvol 45932	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})) = (vol‘𝑌))
24	9	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
25	24	fveq2d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})))
26		eqidd 2727	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑌) = (vol‘𝑌))
27	23, 25, 26	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2877  ∀wral 3055   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ∪ ciun 4990  dom cdm 5669  ran crn 5670  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  ℝcr 11108  volcvol 25342  volncvoln 45808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-prod 15853  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cmp 23241  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-sumge0 45633  df-ome 45760  df-caragen 45762  df-ovoln 45807  df-voln 45809

This theorem is referenced by: (None)