Theorem vonvol2 45380

Description: The 1-dimensional Lebesgue measure agrees with the Lebesgue measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvol2.f	⊢ Ⅎ𝑓𝑌
vonvol2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvol2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
vonvol2.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvol2	⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem vonvol2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonvol2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vonvol2.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
3		snfi 9044	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
5		vonvol2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
6	4, 5	vonmblss2 45358	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
7		vonvol2.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
8	2, 1, 6, 7	ssmapsn 43915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
9	8	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑m {𝐴}) = 𝑋)
10	9, 5	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}))
11	6	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
12		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ 𝑋)
13	11, 12	sseldd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
14		elmapi 8843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
15		frn 6725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
17	16	ralrimiva 3147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
18		iunss 5049	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
19	17, 18	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
20	7, 19	eqsstrid 4031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
21	1, 20	vonvolmbl 45377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
22	10, 21	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ dom vol)
23	1, 22	vonvol 45378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})) = (vol‘𝑌))
24	9	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
25	24	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})))
26		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑌) = (vol‘𝑌))
27	23, 25, 26	3eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949  {csn 4629  ∪ ciun 4998  dom cdm 5677  ran crn 5678  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  ℝcr 11109  volcvol 24980  volncvoln 45254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-sumge0 45079  df-ome 45206  df-caragen 45208  df-ovoln 45253  df-voln 45255

This theorem is referenced by: (None)