Theorem vonvolmbl2 47264

Description: A subset 𝑋 of the space of 1-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its projection 𝑌 on the Real numbers is Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbl2.f	⊢ Ⅎ𝑓𝑌
vonvolmbl2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
vonvolmbl2.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbl2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem vonvolmbl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonvolmbl2.f	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
2		vonvolmbl2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		vonvolmbl2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
4		vonvolmbl2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
5	1, 2, 3, 4	ssmapsn 45819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
6	5	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ (𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴})))
7	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
8		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ 𝑋)
9	7, 8	sseldd 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
10		elmapi 8842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
11		frn 6711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
13	12	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14		iunss 5010	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15	13, 14	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	4, 15	eqsstrid 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
17	2, 16	vonvolmbl 47262	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
18	6, 17	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Ⅎwnfc 2916  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ∪ ciun 4957  dom cdm 5659  ran crn 5660  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  ℝcr 11095  volcvol 25587  volncvoln 47139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cc 10415  ax-ac2 10443  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-prod 15954  df-rest 17471  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-top 23016  df-topon 23033  df-bases 23068  df-cmp 23509  df-ovol 25588  df-vol 25589  df-sumge0 46964  df-ome 47091  df-caragen 47093  df-ovoln 47138  df-voln 47140

This theorem is referenced by: (None)