Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbl2 43727
Description: A subset 𝑋 of the space of 1-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its projection 𝑌 on the Real numbers is Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbl2.f 𝑓𝑌
vonvolmbl2.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbl2.x (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
vonvolmbl2.y 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvolmbl2 (𝜑 → (𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem vonvolmbl2
StepHypRef Expression
1 vonvolmbl2.f . . . 4 𝑓𝑌
2 vonvolmbl2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 vonvolmbl2.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
4 vonvolmbl2.y . . . 4 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
51, 2, 3, 4ssmapsn 42278 . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑌m {𝐴}))
65eleq1d 2817 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ (𝑌m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴})))
73adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
8 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓𝑋)
97, 8sseldd 3876 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
10 elmapi 8452 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
11 frn 6505 . . . . . . 7 (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
129, 10, 113syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1312ralrimiva 3096 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14 iunss 4928 . . . . 5 ( 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1513, 14sylibr 237 . . . 4 (𝜑 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
164, 15eqsstrid 3923 . . 3 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
172, 16vonvolmbl 43725 . 2 (𝜑 → ((𝑌m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
186, 17bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wnfc 2879  wral 3053  wss 3841  {csn 4513   ciun 4878  dom cdm 5519  ran crn 5520  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164  m cmap 8430  cr 10607  volcvol 24208  volncvoln 43602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cc 9928  ax-ac2 9956  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-disj 4993  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-dju 9396  df-card 9434  df-acn 9437  df-ac 9609  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-prod 15345  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-rest 16792  df-0g 16811  df-topgen 16813  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-subg 18387  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-bases 21690  df-cmp 22131  df-ovol 24209  df-vol 24210  df-sumge0 43427  df-ome 43554  df-caragen 43556  df-ovoln 43601  df-voln 43603
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator