Theorem vonvolmbl2 47815

Description: A subset 𝑋 of the space of 1-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its projection 𝑌 on the Real numbers is Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbl2.f	⊢ Ⅎ𝑓𝑌
vonvolmbl2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
vonvolmbl2.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbl2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem vonvolmbl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonvolmbl2.f	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
2		vonvolmbl2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		vonvolmbl2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
4		vonvolmbl2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
5	1, 2, 3, 4	ssmapsn 46371	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
6	5	eleq1d 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ (𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴})))
7	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
8		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ 𝑋)
9	7, 8	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
10		elmapi 8883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
11		frn 6728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
13	12	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14		iunss 5006	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15	13, 14	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	4, 15	eqsstrid 3951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
17	2, 16	vonvolmbl 47813	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
18	6, 17	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2911  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ∪ ciun 4954  dom cdm 5655  ran crn 5656  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8861  ℝcr 11212  volcvol 25799  volncvoln 47690

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cc 10526  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-prod 16088  df-rest 17608  df-topgen 17629  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-top 23227  df-topon 23244  df-bases 23279  df-cmp 23720  df-ovol 25800  df-vol 25801  df-sumge0 47515  df-ome 47642  df-caragen 47644  df-ovoln 47689  df-voln 47691

This theorem is used by: (None)