Theorem mulmarep1el 22779

Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
mulmarep1el.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mulmarep1el.e	⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1el	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Proof of Theorem mulmarep1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐿 ∈ 𝑁)
2		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
3	1, 2	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
4		marepvcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		marepvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		marepvcl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
7		ma1repvcl.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
8		mulmarep1el.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		mulmarep1el.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ma1repveval 22778	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
11	3, 10	syl3an3 1183	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
12	11	oveq2d 7435	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
13		ovif2 7518	. . 3 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
15		ovif2 7518	. . . 4 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ))
16		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
18	17	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
19	1	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐿 ∈ 𝑁)
20	5	eleq2i 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25	4, 24	matecl 22632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
26	18, 19, 23, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
27		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
28		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	24, 27, 28	ringridm 20398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
30	16, 26, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
31	24, 27, 8	ringrz 20423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
32	16, 26, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
33	30, 32	ifeq12d 4511	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
34	15, 33	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
35	34	ifeq2d 4510	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
36	12, 14, 35	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333  0_gc0g 17514  1_rcur 20307  Ringcrg 20359   Mat cmat 22614   matRepV cmatrepV 22764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-subrg 20719  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-dsmm 21932  df-frlm 21947  df-mamu 22598  df-mat 22615  df-marepv 22766

This theorem is used by:  mulmarep1gsum1  22780  mulmarep1gsum2  22781