Theorem mulmarep1el 22880

Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
mulmarep1el.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mulmarep1el.e	⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1el	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Proof of Theorem mulmarep1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐿 ∈ 𝑁)
2		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
3	1, 2	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
4		marepvcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		marepvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		marepvcl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
7		ma1repvcl.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
8		mulmarep1el.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		mulmarep1el.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ma1repveval 22879	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
11	3, 10	syl3an3 1183	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
12	11	oveq2d 7434	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
13		ovif2 7517	. . 3 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
15		ovif2 7517	. . . 4 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ))
16		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
18	17	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
19	1	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐿 ∈ 𝑁)
20	5	eleq2i 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25	4, 24	matecl 22733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
26	18, 19, 23, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
27		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
28		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	24, 27, 28	ringridm 20492	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
30	16, 26, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
31	24, 27, 8	ringrz 20518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
32	16, 26, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
33	30, 32	ifeq12d 4504	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
34	15, 33	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
35	34	ifeq2d 4503	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
36	12, 14, 35	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603  1_rcur 20400  Ringcrg 20452   Mat cmat 22715   matRepV cmatrepV 22865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-dsmm 22031  df-frlm 22046  df-mamu 22699  df-mat 22716  df-marepv 22867

This theorem is used by:  mulmarep1gsum1  22881  mulmarep1gsum2  22882