Theorem mulmarep1el 22074

Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
mulmarep1el.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mulmarep1el.e	⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1el	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Proof of Theorem mulmarep1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐿 ∈ 𝑁)
2		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
3	1, 2	jca 513	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
4		marepvcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		marepvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		marepvcl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
7		ma1repvcl.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
8		mulmarep1el.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		mulmarep1el.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ma1repveval 22073	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
11	3, 10	syl3an3 1166	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
12	11	oveq2d 7425	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
13		ovif2 7507	. . 3 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
15		ovif2 7507	. . . 4 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ))
16		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
18	17	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
19	1	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐿 ∈ 𝑁)
20	5	eleq2i 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25	4, 24	matecl 21927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
26	18, 19, 23, 25	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
27		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
28		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	24, 27, 28	ringridm 20087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
30	16, 26, 29	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
31	24, 27, 8	ringrz 20108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
32	16, 26, 31	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
33	30, 32	ifeq12d 4550	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
34	15, 33	eqtrid 2785	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
35	34	ifeq2d 4549	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
36	12, 14, 35	3eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820  Basecbs 17144  ._rcmulr 17198  0_gc0g 17385  1_rcur 20004  Ringcrg 20056   Mat cmat 21907   matRepV cmatrepV 22059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-mamu 21886  df-mat 21908  df-marepv 22061

This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum1  22075  mulmarep1gsum2  22076