Theorem mulmarep1el 22516

Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
mulmarep1el.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mulmarep1el.e	⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1el	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Proof of Theorem mulmarep1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐿 ∈ 𝑁)
2		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
4		marepvcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		marepvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		marepvcl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
7		ma1repvcl.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
8		mulmarep1el.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		mulmarep1el.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ma1repveval 22515	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
11	3, 10	syl3an3 1165	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
12	11	oveq2d 7374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
13		ovif2 7457	. . 3 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
15		ovif2 7457	. . . 4 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ))
16		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
18	17	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
19	1	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐿 ∈ 𝑁)
20	5	eleq2i 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25	4, 24	matecl 22369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
26	18, 19, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
27		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
28		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	24, 27, 28	ringridm 20205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
30	16, 26, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
31	24, 27, 8	ringrz 20229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
32	16, 26, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
33	30, 32	ifeq12d 4501	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
34	15, 33	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
35	34	ifeq2d 4500	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
36	12, 14, 35	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  1_rcur 20116  Ringcrg 20168   Mat cmat 22351   matRepV cmatrepV 22501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-mamu 22335  df-mat 22352  df-marepv 22503

This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum1  22517  mulmarep1gsum2  22518