MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmarep1el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulmarep1el 22448
Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1 1 = (1r𝐴)
mulmarep1el.0 0 = (0g𝑅)
mulmarep1el.e 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
mulmarep1el ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Proof of Theorem mulmarep1el
StepHypRef Expression
1 simp3 1136 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → 𝐿𝑁)
2 simp2 1135 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → 𝐽𝑁)
31, 2jca 511 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → (𝐿𝑁𝐽𝑁))
4 marepvcl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 marepvcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
6 marepvcl.v . . . . 5 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
7 ma1repvcl.1 . . . . 5 1 = (1r𝐴)
8 mulmarep1el.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
9 mulmarep1el.e . . . . 5 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
104, 5, 6, 7, 8, 9ma1repveval 22447 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐿𝑁𝐽𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )))
113, 10syl3an3 1163 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )))
1211oveq2d 7430 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))))
13 ovif2 7512 . . 3 ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )))
1413a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))))
15 ovif2 7512 . . . 4 ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 ))
16 simp1 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
17 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → 𝐼𝑁)
18173ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝐼𝑁)
1913ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝐿𝑁)
205eleq2i 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2120biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22213ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23223ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
254, 24matecl 22301 . . . . . . 7 ((𝐼𝑁𝐿𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
2618, 19, 23, 25syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
27 eqid 2727 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
28 eqid 2727 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2924, 27, 28ringridm 20188 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
3016, 26, 29syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
3124, 27, 8ringrz 20212 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3216, 26, 31syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3330, 32ifeq12d 4545 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
3415, 33eqtrid 2779 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
3534ifeq2d 4544 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
3612, 14, 353eqtrd 2771 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  ifcif 4524  cfv 6542  (class class class)co 7414  m cmap 8834  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  0gc0g 17406  1rcur 20105  Ringcrg 20157   Mat cmat 22281   matRepV cmatrepV 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-mamu 22260  df-mat 22282  df-marepv 22435
This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum1  22449  mulmarep1gsum2  22450
  Copyright terms: Public domain W3C validator