MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmarep1el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulmarep1el 20655
Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
ma1repvcl.1 1 = (1r𝐴)
mulmarep1el.0 0 = (0g𝑅)
mulmarep1el.e 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
mulmarep1el ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Proof of Theorem mulmarep1el
StepHypRef Expression
1 simp3 1168 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → 𝐿𝑁)
2 simp2 1167 . . . . 5 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → 𝐽𝑁)
31, 2jca 507 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → (𝐿𝑁𝐽𝑁))
4 marepvcl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 marepvcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
6 marepvcl.v . . . . 5 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
7 ma1repvcl.1 . . . . 5 1 = (1r𝐴)
8 mulmarep1el.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
9 mulmarep1el.e . . . . 5 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
104, 5, 6, 7, 8, 9ma1repveval 20654 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐿𝑁𝐽𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )))
113, 10syl3an3 1205 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )))
1211oveq2d 6858 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))))
13 ovif2 6936 . . 3 ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )))
1413a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))))
15 ovif2 6936 . . . 4 ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 ))
16 simp1 1166 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
17 simp1 1166 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁) → 𝐼𝑁)
18173ad2ant3 1165 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝐼𝑁)
1913ad2ant3 1165 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝐿𝑁)
205eleq2i 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2120biimpi 207 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22213ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23223ad2ant2 1164 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
254, 24matecl 20507 . . . . . . 7 ((𝐼𝑁𝐿𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
2618, 19, 23, 25syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
27 eqid 2765 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
28 eqid 2765 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2924, 27, 28ringridm 18839 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
3016, 26, 29syl2anc 579 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
3124, 27, 8ringrz 18855 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3216, 26, 31syl2anc 579 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3330, 32ifeq12d 4263 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅) 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
3415, 33syl5eq 2811 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
3534ifeq2d 4262 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
3612, 14, 353eqtrd 2803 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐿𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r𝑅)(𝐶𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  ifcif 4243  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  Basecbs 16130  .rcmulr 16215  0gc0g 16366  1rcur 18768  Ringcrg 18814   Mat cmat 20489   matRepV cmatrepV 20640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-ot 4343  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-hom 16238  df-cco 16239  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-prds 16374  df-pws 16376  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-dsmm 20352  df-frlm 20367  df-mamu 20466  df-mat 20490  df-marepv 20642
This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum1  20656  mulmarep1gsum2  20657
  Copyright terms: Public domain W3C validator