Theorem iinllyconn 33204

Description: The unit interval is locally connected. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iinllyconn	⊢ II ∈ 𝑛-Locally Conn

Proof of Theorem iinllyconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconnpconn 33177	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ SConn → 𝑥 ∈ PConn)
2		pconnconn 33181	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ PConn → 𝑥 ∈ Conn)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ SConn → 𝑥 ∈ Conn)
4	3	ssriv 3930	. . 3 ⊢ SConn ⊆ Conn
5		nllyss 22621	. . 3 ⊢ (SConn ⊆ Conn → 𝑛-Locally SConn ⊆ 𝑛-Locally Conn)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑛-Locally SConn ⊆ 𝑛-Locally Conn
7		llyssnlly 22619	. . 3 ⊢ Locally SConn ⊆ 𝑛-Locally SConn
8		iillysconn 33203	. . 3 ⊢ II ∈ Locally SConn
9	7, 8	sselii 3923	. 2 ⊢ II ∈ 𝑛-Locally SConn
10	6, 9	sselii 3923	1 ⊢ II ∈ 𝑛-Locally Conn

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  Conncconn 22552  Locally clly 22605  𝑛-Locally cnlly 22606  IIcii 24028  PConncpconn 33169  SConncsconn 33170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942  ax-addf 10943  ax-mulf 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-supp 7963  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-2o 8283  df-er 8473  df-map 8592  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-fsupp 9099  df-fi 9140  df-sup 9171  df-inf 9172  df-oi 9239  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-q 12680  df-rp 12722  df-xneg 12839  df-xadd 12840  df-xmul 12841  df-ioo 13074  df-ico 13076  df-icc 13077  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-seq 13712  df-exp 13773  df-hash 14035  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-struct 16838  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-starv 16967  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-tset 16971  df-ple 16972  df-ds 16974  df-unif 16975  df-hom 16976  df-cco 16977  df-rest 17123  df-topn 17124  df-0g 17142  df-gsum 17143  df-topgen 17144  df-pt 17145  df-prds 17148  df-xrs 17203  df-qtop 17208  df-imas 17209  df-xps 17211  df-mre 17285  df-mrc 17286  df-acs 17288  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-submnd 18421  df-mulg 18691  df-cntz 18913  df-cmn 19378  df-psmet 20579  df-xmet 20580  df-met 20581  df-bl 20582  df-mopn 20583  df-cnfld 20588  df-top 22033  df-topon 22050  df-topsp 22072  df-bases 22086  df-cld 22160  df-nei 22239  df-cn 22368  df-cnp 22369  df-conn 22553  df-lly 22607  df-nlly 22608  df-tx 22703  df-hmeo 22896  df-xms 23463  df-ms 23464  df-tms 23465  df-ii 24030  df-htpy 24123  df-phtpy 24124  df-phtpc 24145  df-pconn 33171  df-sconn 33172

This theorem is referenced by:  cvmliftlem14  33247  cvmlift2lem13  33265  cvmliftphtlem  33267