MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpf1o 22745
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping polynomial matrices onto polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpfo.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpfo.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pm2mpfo.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
pm2mpfo.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
pm2mpfo.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
pm2mpfo.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpfo.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpfo.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
pm2mpfo.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
pm2mpf1o ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ฟ)

Proof of Theorem pm2mpf1o
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 pm2mpfo.c . . 3 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
3 pm2mpfo.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 pm2mpfo.m . . 3 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
5 pm2mpfo.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
6 pm2mpfo.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
7 pm2mpfo.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
8 pm2mpfo.q . . 3 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
9 pm2mpfo.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
10 pm2mpfo.l . . 3 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pm2mpf1 22729 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“1-1โ†’๐ฟ)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 9pm2mpfo 22744 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“ontoโ†’๐ฟ)
13 df-f1o 6560 . 2 (๐‘‡:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ฟ โ†” (๐‘‡:๐ตโ€“1-1โ†’๐ฟ โˆง ๐‘‡:๐ตโ€“ontoโ†’๐ฟ))
1411, 12, 13sylanbrc 581 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ฟ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€“1-1โ†’wf1 6550  โ€“ontoโ†’wfo 6551  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6552  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  Basecbs 17189   ยท๐‘  cvsca 17246  .gcmg 19037  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  var1cv1 22113  Poly1cpl1 22114   Mat cmat 22335   pMatToMatPoly cpm2mp 22722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-srg 20141  df-ring 20189  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22117  df-vr1 22118  df-ply1 22119  df-coe1 22120  df-mamu 22319  df-mat 22336  df-decpmat 22693  df-pm2mp 22723
This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  22747  pm2mprngiso  22752
  Copyright terms: Public domain W3C validator