Theorem pm2mprngiso 21586

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a ring isomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpmhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpmhm.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpmhm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpmhm.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpmhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mprngiso	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 RingIso 𝑄))

Proof of Theorem pm2mprngiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpmhm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpmhm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pm2mpmhm.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		pm2mpmhm.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
5		pm2mpmhm.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	pm2mprhm 21585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 RingHom 𝑄))
7		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑄) = ( ·𝑠 ‘𝑄)
9		eqid 2739	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑄)) = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
10		eqid 2739	. . 3 ⊢ (var1‘𝐴) = (var1‘𝐴)
11		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
12	1, 2, 7, 8, 9, 10, 3, 4, 11, 5	pm2mpf1o 21579	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑄))
13	1, 2	pmatring 21456	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
14	3	matring 21207	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
15	4	ply1ring 21036	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
17	7, 11	isrim 19620	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ Ring) → (𝑇 ∈ (𝐶 RingIso 𝑄) ↔ (𝑇 ∈ (𝐶 RingHom 𝑄) ∧ 𝑇:(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑄))))
18	13, 16, 17	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇 ∈ (𝐶 RingIso 𝑄) ↔ (𝑇 ∈ (𝐶 RingHom 𝑄) ∧ 𝑇:(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑄))))
19	6, 12, 18	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 RingIso 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  –1-1-onto→wf1o 6349  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  Fincfn 8568  Basecbs 16599   ·_𝑠 cvsca 16685  ._gcmg 18355  mulGrpcmgp 19371  Ringcrg 19429   RingHom crh 19599   RingIso crs 19600  var₁cv1 20964  Poly₁cpl1 20965   Mat cmat 21171   pMatToMatPoly cpm2mp 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-ofr 7439  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-sup 8992  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-hom 16705  df-cco 16706  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-prds 16837  df-pws 16839  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-ghm 18487  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-srg 19388  df-ring 19431  df-rnghom 19602  df-rngiso 19603  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-dsmm 20561  df-frlm 20576  df-ascl 20684  df-psr 20735  df-mvr 20736  df-mpl 20737  df-opsr 20739  df-psr1 20968  df-vr1 20969  df-ply1 20970  df-coe1 20971  df-mamu 21150  df-mat 21172  df-decpmat 21527  df-pm2mp 21557

This theorem is referenced by:  pmmpric  21587