Theorem qqhvq 33964

Description: The image of a quotient by the ℚHom homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhvq	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

Proof of Theorem qqhvq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12970	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
3	1, 2	sselid 3956	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℚ)
4		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℤ)
5	1, 4	sselid 3956	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℚ)
6		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ≠ 0)
7		qdivcl 12984	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℚ)
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 / 𝑌) ∈ ℚ)
9		qqhval2.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
11		qqhval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
12	9, 10, 11	qqhvval 33960	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 / 𝑌) ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
13	8, 12	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
14	9, 10, 11	qqhval2lem 33958	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))
15	13, 14	eqtrd 2770	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127   / cdiv 11892  ℤcz 12586  ℚcq 12962  numercnumer 16750  denomcdenom 16751  Basecbs 17226  /_rcdvr 20358  DivRingcdr 20687  ℤRHomczrh 21458  chrcchr 21460  ℚHomcqqh 33947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16271  df-gcd 16512  df-numer 16752  df-denom 16753  df-gz 16948  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-ghm 19194  df-od 19507  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-oppr 20295  df-dvdsr 20315  df-unit 20316  df-invr 20346  df-dvr 20359  df-rhm 20430  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-drng 20689  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-chr 21464  df-qqh 33948

This theorem is referenced by:  qqhghm  33965  qqhrhm  33966