Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhvq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem qqhvq 33431
Description: The image of a quotient by the β„šHom homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qqhval2.1 / = (/rβ€˜π‘…)
qqhval2.2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
qqhvq (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(𝑋 / π‘Œ)) = ((πΏβ€˜π‘‹) / (πΏβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem qqhvq
StepHypRef Expression
1 zssq 12947 . . . . 5 β„€ βŠ† β„š
2 simpr1 1193 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
31, 2sselid 3980 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝑋 ∈ β„š)
4 simpr2 1194 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
51, 4sselid 3980 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ π‘Œ ∈ β„š)
6 simpr3 1195 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ π‘Œ β‰  0)
7 qdivcl 12961 . . . 4 ((𝑋 ∈ β„š ∧ π‘Œ ∈ β„š ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (𝑋 / π‘Œ) ∈ β„š)
83, 5, 6, 7syl3anc 1370 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 / π‘Œ) ∈ β„š)
9 qqhval2.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
10 qqhval2.1 . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
11 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
129, 10, 11qqhvval 33427 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 / π‘Œ) ∈ β„š) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(𝑋 / π‘Œ)) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))))
138, 12syldan 590 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(𝑋 / π‘Œ)) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))))
149, 10, 11qqhval2lem 33425 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜π‘‹) / (πΏβ€˜π‘Œ)))
1513, 14eqtrd 2771 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((β„šHomβ€˜π‘…)β€˜(𝑋 / π‘Œ)) = ((πΏβ€˜π‘‹) / (πΏβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116   / cdiv 11878  β„€cz 12565  β„šcq 12939  numercnumer 16676  denomcdenom 16677  Basecbs 17151  /rcdvr 20298  DivRingcdr 20583  β„€RHomczrh 21359  chrcchr 21361  β„šHomcqqh 33416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16678  df-denom 16679  df-gz 16870  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-od 19444  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-cnfld 21234  df-zring 21307  df-zrh 21363  df-chr 21365  df-qqh 33417
This theorem is referenced by:  qqhghm  33432  qqhrhm  33433
  Copyright terms: Public domain W3C validator